1
00:00:00,000 --> 00:00:00,500


2
00:00:00,500 --> 00:00:04,270
여기 노란색으로 그린 것은 y=f(x)의 그래프 입니다

3
00:00:04,270 --> 00:00:06,350
여기 연보라색으로 그린 것은

4
00:00:06,350 --> 00:00:09,310
y=f'(x)의 그래프입니다

5
00:00:09,310 --> 00:00:10,870


6
00:00:10,870 --> 00:00:12,580
여기 파란색으로 그린 것은

7
00:00:12,580 --> 00:00:15,740
y=f''(x)의 그래프 입니다

8
00:00:15,740 --> 00:00:18,380
즉 여기 그린 것이

9
00:00:18,380 --> 00:00:21,550
이계도함수입니다

10
00:00:21,550 --> 00:00:23,830
그리고 우리는 이미 예시를 봤습니다

11
00:00:23,830 --> 00:00:25,345
최소와 최대점을 구하는 방법에 관한

12
00:00:25,345 --> 00:00:27,220
사실 우리 앞에 그래프가 있으면

13
00:00:27,220 --> 00:00:29,850
알아내는 것이 어렵지 않습니다

14
00:00:29,850 --> 00:00:31,950
이 점은 최대점이고

15
00:00:31,950 --> 00:00:34,530
함수는 나중에 더 큰 값을 가질 수 있습니다

16
00:00:34,530 --> 00:00:37,540
이것은 극소점입니다

17
00:00:37,540 --> 00:00:40,242
나중에 함수는 더 작은 값을 가질 수 있습니다

18
00:00:40,242 --> 00:00:42,700
하지만 그래프 없이도

19
00:00:42,700 --> 00:00:45,347
함수의 미분을 할 수 있다면

20
00:00:45,347 --> 00:00:47,180
혹은 함수의 미분을

21
00:00:47,180 --> 00:00:48,638
하지 못하더라도

22
00:00:48,638 --> 00:00:51,501
이 점들이 최소와 최대점인 것을 알 수 있습니다

23
00:00:51,501 --> 00:00:53,000
우리가 한 방법으로

24
00:00:53,000 --> 00:00:55,070
이 함수의 임계점은 어디인가요?

25
00:00:55,070 --> 00:00:58,360
임계점은 함수의 미분이

26
00:00:58,360 --> 00:01:00,099
정의되지 않거나 0인 점입니다

27
00:01:00,099 --> 00:01:01,515
이것이 함수의 미분입니다

28
00:01:01,515 --> 00:01:04,170
여기랑 여기서 0입니다

29
00:01:04,170 --> 00:01:05,810
우리는 이 점들을 임계점이라고 할 수 있습니다

30
00:01:05,810 --> 00:01:08,530
저는 아직 미분값이 정의되지 않은 점을

31
00:01:08,530 --> 00:01:10,590
찾지 못했습니다

32
00:01:10,590 --> 00:01:15,590
그래서 우리는 이 점들을 임계점이라고 할 수 있습니다

33
00:01:15,590 --> 00:01:19,740
그래서 이 점들이 후보점들입니다

34
00:01:19,740 --> 00:01:21,800
함수값이 최대 혹은 최소가 될 수 있는

35
00:01:21,800 --> 00:01:23,550
우리가 저 점에서

36
00:01:23,550 --> 00:01:25,220
최소 혹은 최댓값을 갖는지 아는 방법은

37
00:01:25,220 --> 00:01:29,320
그 점 주변에서의 미분값을 살펴보는 것입니다

38
00:01:29,320 --> 00:01:36,320
여기서 미분값이 양수인 것을 알 수 있습니다

39
00:01:36,320 --> 00:01:37,715
이 점에 접근하면서

40
00:01:37,715 --> 00:01:41,210


41
00:01:41,210 --> 00:01:42,800
그리곤 음수가 됩니다

42
00:01:42,800 --> 00:01:44,800
미분값이 양수에서 음수가 됩니다

43
00:01:44,800 --> 00:01:46,500
이 점을 지나면서

44
00:01:46,500 --> 00:01:48,760
미분값이 양수라는 것은

45
00:01:48,760 --> 00:01:50,679
함수가 양수라는 것을 의미하고

46
00:01:50,679 --> 00:01:52,970
그것은 함수가 증가한다는 것을 의미합니다

47
00:01:52,970 --> 00:01:56,310
저 점에 도달하면서 그리고 저 점을 떠나면서 음수가 됩니다

48
00:01:56,310 --> 00:01:58,544
이것은 꽤 좋은 방법입니다

49
00:01:58,544 --> 00:01:59,460
최대점이 되는

50
00:01:59,460 --> 00:02:00,765
이 점에 접근하면서 증가하고

51
00:02:00,765 --> 00:02:02,630
떠나면서 감소하면

52
00:02:02,630 --> 00:02:06,490
이 점은 최대점이 될 것입니다

53
00:02:06,490 --> 00:02:09,330
비슷하게 여기에서

54
00:02:09,330 --> 00:02:14,630
이 점에 접근하면서 마분값은 음수이고

55
00:02:14,630 --> 00:02:17,420
이것은 함숫값이 감소하는 것을 의미하고

56
00:02:17,420 --> 00:02:19,780
이 점을 떠나면서 미분값이

57
00:02:19,780 --> 00:02:20,940
양수인 것을 알 수 있습니다

58
00:02:20,940 --> 00:02:22,710
우리는 음수인 미분값에서

59
00:02:22,710 --> 00:02:24,530
양수인 미분값으로 갑니다

60
00:02:24,530 --> 00:02:27,930
이것은 함수가 감소하다가 증가하는 것을 의미하고

61
00:02:27,930 --> 00:02:30,680
이것은 꽤 좋은 지표가 됩니다

62
00:02:30,680 --> 00:02:33,590
혹은 이 점은 이것이 임계점이라는 지표가 됩니다

63
00:02:33,590 --> 00:02:38,710
함숫값이 최소가 되는

64
00:02:38,710 --> 00:02:41,150
이제 제가 알고 싶은 것은

65
00:02:41,150 --> 00:02:43,270
볼록성을 이용해서 이 생각을 확장하는 것입니다

66
00:02:43,270 --> 00:02:46,365


67
00:02:46,365 --> 00:02:47,740
제가 지금 잘못 발음하고 있는 것을 알고 있습니다

68
00:02:47,740 --> 00:02:49,740
그것은 아마 볼록성입니다

69
00:02:49,740 --> 00:02:52,630
볼록성을 생각하기 위해서는

70
00:02:52,630 --> 00:02:55,380
이차미분을 보는 이 좋습니다

71
00:02:55,380 --> 00:02:57,990
미분값 변화를 보는 것 보다는

72
00:02:57,990 --> 00:03:01,280
이것이 최소점인지 최대점인지 알기 위해

73
00:03:01,280 --> 00:03:03,300
무슨 일이 일어나는지 봅시다

74
00:03:03,300 --> 00:03:06,030
첫 번째 부분에서
이 곡선에서

75
00:03:06,030 --> 00:03:09,540
호 처럼 생긴 시작부분이 아래에 있는

76
00:03:09,540 --> 00:03:11,290
A처럼 생겼습니다

77
00:03:11,290 --> 00:03:13,716
사이의 직선을 없앤 혹은 뒤집어진 U같이 생겼습니다

78
00:03:13,716 --> 00:03:15,090
이제 생각해봅시다

79
00:03:15,090 --> 00:03:19,950
U처럼 생긴 곡선에서는 무슨 일이 일어나는지

80
00:03:19,950 --> 00:03:21,790
첫번째 구간에서

81
00:03:21,790 --> 00:03:23,700
여기에서 시작하면

82
00:03:23,700 --> 00:03:26,484
기울기는 매우

83
00:03:26,484 --> 00:03:27,900
같은 색으로 합시다

84
00:03:27,900 --> 00:03:30,210
실제 미분의 색이랑 같아서 그렇습니다

85
00:03:30,210 --> 00:03:33,210
기울기는 매우 큰 양수입니다

86
00:03:33,210 --> 00:03:36,640
이것이 점점 작아집니다

87
00:03:36,640 --> 00:03:39,790
점점 더 작아지다가

88
00:03:39,790 --> 00:03:42,840
결국 0이 됩니다

89
00:03:42,840 --> 00:03:44,160
그리곤 계속 감소합니다

90
00:03:44,160 --> 00:03:47,260
그다음 이것은 약간 음수가 되었다가

91
00:03:47,260 --> 00:03:49,250
점점 더 음수가 되었다가

92
00:03:49,250 --> 00:03:51,200
절댓값이 매우 큰 음수가 됩니다

93
00:03:51,200 --> 00:03:56,409
그리곤 이 부근에서 감소하는 것을 멈추는 것처럼 보입니다

94
00:03:56,409 --> 00:03:58,450
기울기가 이 부근에서 감소하는 것을 멈춥니다

95
00:03:58,450 --> 00:03:59,380
그것을 미분에서 볼 수 있습니다

96
00:03:59,380 --> 00:04:01,380
기울기가 감소하다가

97
00:04:01,380 --> 00:04:04,970
이 점에 닿을 때 까지 감소하고 증가하기 시작합니다

98
00:04:04,970 --> 00:04:10,920
그래서 여기 전 구역에서

99
00:04:10,920 --> 00:04:12,575
기울기는 감소하고 있습니다

100
00:04:12,575 --> 00:04:18,550


101
00:04:18,550 --> 00:04:21,950
여기서 미분을 하면

102
00:04:21,950 --> 00:04:26,070
여기서 미분을 하면
여기 구간은

103
00:04:26,070 --> 00:04:27,287
감소하고 있습니다

104
00:04:27,287 --> 00:04:29,620
이차 미분을 하면

105
00:04:29,620 --> 00:04:31,720
미분값이 감소한다는 것은

106
00:04:31,720 --> 00:04:33,750
2차 미분값이

107
00:04:33,750 --> 00:04:35,050
음수라는 것을 의미합니다

108
00:04:35,050 --> 00:04:38,320
이 경우를 보자면

109
00:04:38,320 --> 00:04:43,190
이 구간에서 2차 미분값은

110
00:04:43,190 --> 00:04:45,821
정말 음수입니다

111
00:04:45,821 --> 00:04:47,570
무슨 일이 일어나나요

112
00:04:47,570 --> 00:04:51,250
이 U자 모양 곡선에서?

113
00:04:51,250 --> 00:04:54,150
여기서 미분값은 음수입니다

114
00:04:54,150 --> 00:04:56,250
여기서 미분값은 움수입니다

115
00:04:56,250 --> 00:04:58,570
여기서도 여전히 음수이지만

116
00:04:58,570 --> 00:05:01,850
점점 덜 음수쪽으로 가다가

117
00:05:01,850 --> 00:05:04,670
점점 덜 음수쪽으로 가다가

118
00:05:04,670 --> 00:05:05,980
0이 됩니다

119
00:05:05,980 --> 00:05:08,000
저기서 0이 됩니다

120
00:05:08,000 --> 00:05:11,170
그리곤 점점 더 커지다가

121
00:05:11,170 --> 00:05:12,890
여기서 볼 수 있듯이

122
00:05:12,890 --> 00:05:16,720
이 전 구간에서 기울기 혹은 미분값이

123
00:05:16,720 --> 00:05:18,430
증가하고 있습니다

124
00:05:18,430 --> 00:05:24,745
기울기가 증가하고 있습니다

125
00:05:24,745 --> 00:05:25,870
여기서는

126
00:05:25,870 --> 00:05:27,560
기울기가 0입니다

127
00:05:27,560 --> 00:05:29,950
미분값이 0입니다

128
00:05:29,950 --> 00:05:33,220
이 순간에는 미분값이 변하지 않습니다

129
00:05:33,220 --> 00:05:37,089
그리고 기울기가 증가하는 것을 볼 수 있습니다

130
00:05:37,089 --> 00:05:38,630
그리고 우리는 저것을 2차 미분을 통해 시각화할 수 있습니다

131
00:05:38,630 --> 00:05:40,900
미분의 미분

132
00:05:40,900 --> 00:05:42,530
미분이 증가하고 있다는 것은

133
00:05:42,530 --> 00:05:44,680
미분의 미분이 양수라는 것을 의미합니다

134
00:05:44,680 --> 00:05:49,240
미분의 미분이 정말 양수입니다

135
00:05:49,240 --> 00:05:53,320
그리고 뒤집어진 U와 그냥 U자 모양을 칭하는

136
00:05:53,320 --> 00:05:57,640
용어가 있습니다.
우리는 이것을 위로 볼록하다고 말합니다

137
00:05:57,640 --> 00:06:02,120


138
00:06:02,120 --> 00:06:03,560
분명히 하도록 하겠습니다

139
00:06:03,560 --> 00:06:07,920
위로 볼록

140
00:06:07,920 --> 00:06:10,030
그리고 우리는 이것을 위로 아래로 볼록이라고 부릅니다

141
00:06:10,030 --> 00:06:13,400


142
00:06:13,400 --> 00:06:15,330
복습해봅시다 우리가 어떻게

143
00:06:15,330 --> 00:06:18,670
아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간을 확인할 수 있는지

144
00:06:18,670 --> 00:06:25,840
우리가 위로 볼록을 애기할 때

145
00:06:25,840 --> 00:06:27,780
우리는 몇 가지 것들을 볼 수 있습니다

146
00:06:27,780 --> 00:06:29,340
기울기가 감소하는 것을 알 수 있고

147
00:06:29,340 --> 00:06:37,590


148
00:06:37,590 --> 00:06:41,430
다른 말로 f'(x)가 감소하고 있습니다

149
00:06:41,430 --> 00:06:47,290


150
00:06:47,290 --> 00:06:51,720


151
00:06:51,720 --> 00:06:54,840
또 다른 말로 2차 미분값이

152
00:06:54,840 --> 00:06:55,590
음수입니다

153
00:06:55,590 --> 00:06:58,090
1차 미분값이 감소하면

154
00:06:58,090 --> 00:07:00,460
2차 미분값은 반드시 음수입니다

155
00:07:00,460 --> 00:07:03,350
다른 말로 2차 미분값이

156
00:07:03,350 --> 00:07:08,160
저 구간에서 반드시 음수입니다

157
00:07:08,160 --> 00:07:11,010
그래서 음의 2차 미분값을 가지고 있으면

158
00:07:11,010 --> 00:07:14,220
위로 볼록인 구간입니다

159
00:07:14,220 --> 00:07:17,480
비슷하게
발음하기가 힘듭니다

160
00:07:17,480 --> 00:07:21,640
아래로 볼록에 대해 생각해 봅시다

161
00:07:21,640 --> 00:07:25,630
U자 모양의 구간에서 아래로 볼록입니다

162
00:07:25,630 --> 00:07:28,510
이 구간에서 기울기는 증가하고 있습니다

163
00:07:28,510 --> 00:07:31,030
우리는 음의 기울기, 덜 음의 기울기
0이 됩니다

164
00:07:31,030 --> 00:07:34,040
양의 기울기에서 점점 커집니다

165
00:07:34,040 --> 00:07:37,780
그래서 기울기가 증가하고 있습니다

166
00:07:37,780 --> 00:07:43,240


167
00:07:43,240 --> 00:07:50,690
이것은 함수의 미분값이 증가한다는 것을 의미합니다

168
00:07:50,690 --> 00:07:52,680
저기서 볼 수 있듯이

169
00:07:52,680 --> 00:07:56,240
이 미분이 증가하고 있습니다

170
00:07:56,240 --> 00:08:00,150
이것은 아래로 볼록인 구간에서

171
00:08:00,150 --> 00:08:03,490
2차 미분값이 0보다 크다는 것을 의미합니다

172
00:08:03,490 --> 00:08:05,450
2차 미분값이 0보다 크면

173
00:08:05,450 --> 00:08:06,950
그것은 1차 미분값이

174
00:08:06,950 --> 00:08:09,310
즉 기울기가 증가하고 있다는 것을 의미합니다

175
00:08:09,310 --> 00:08:14,630
우리는 아래로 볼록인 구간에 있습니다

176
00:08:14,630 --> 00:08:18,000
우리가 위로 볼록과 아래로 볼록에 대해

177
00:08:18,000 --> 00:08:20,150
지금까지 정의한 것을 생각해봅시다

178
00:08:20,150 --> 00:08:22,210
임계점이 최소점인지 최대점인지

179
00:08:22,210 --> 00:08:24,820
알 수 있는 다른 방법에 대해

180
00:08:24,820 --> 00:08:26,490
생각할 수 있나요?

181
00:08:26,490 --> 00:08:28,420
만약 최대점이면

182
00:08:28,420 --> 00:08:32,500
만약에 임계점이 위로 볼록인 구간에 있으면

183
00:08:32,500 --> 00:08:36,130
그 임계점은 최대점이 될 것입니다

184
00:08:36,130 --> 00:08:38,210
위로 볼록에 대해 분명히 합시다

185
00:08:38,210 --> 00:08:42,263
이렇게 생긴 구간을 의미합니다

186
00:08:42,263 --> 00:08:44,179
그리고 우리는 임계점에대 말하고 있습니다

187
00:08:44,179 --> 00:08:46,304
우리가 여기를 위로 볼록이라고 가정하면

188
00:08:46,304 --> 00:08:48,784
이 구간에서 미분 가능하다고 가정합니다

189
00:08:48,784 --> 00:08:50,200
그래서 임계점은

190
00:08:50,200 --> 00:08:52,350
기울기가 0인 점 입니다

191
00:08:52,350 --> 00:08:54,810
그래서 저 점이 될 것입니다

192
00:08:54,810 --> 00:08:56,640
여기서 위로 볼록이라면

193
00:08:56,640 --> 00:09:02,250
그리고 f'(x)가 0이 되는 점에서는
그 점을 a라고 합시다

194
00:09:02,250 --> 00:09:04,730
그러면 a에서 최댓값을 가집니다

195
00:09:04,730 --> 00:09:11,500


196
00:09:11,500 --> 00:09:14,210
그리고 비슷하게 아래로 볼록이면

197
00:09:14,210 --> 00:09:17,340
함수가 이렇게 생긴 것을 의미합니다

198
00:09:17,340 --> 00:09:20,210
그리고 임계점을 찾으면

199
00:09:20,210 --> 00:09:22,600
함수가 정의 되지 않은 부분일 수도 있습니다

200
00:09:22,600 --> 00:09:24,800
하지만 우리가 1차 미분과 2차 미분이

201
00:09:24,800 --> 00:09:26,510
정의된다고 가정하면

202
00:09:26,510 --> 00:09:28,260
임계점은

203
00:09:28,260 --> 00:09:31,380
첫번재 미분값이 0이되는 점일 것입니다

204
00:09:31,380 --> 00:09:35,090
f'(a)=0입니다

205
00:09:35,090 --> 00:09:38,130
만약 f'(a)=0이면

206
00:09:38,130 --> 00:09:40,900
그리고 a주변에서 아래로 볼록이면

207
00:09:40,900 --> 00:09:44,250
즉 2차 미분값이 0보다 크면

208
00:09:44,250 --> 00:09:46,010
꽤 분명하게 볼 수 있듯이

209
00:09:46,010 --> 00:09:53,610
a에서 최소점입니다