0:00:00.000,0:00:00.500


0:00:00.500,0:00:04.270
여기 노란색으로 그린 것은 y=f(x)의 그래프 입니다

0:00:04.270,0:00:06.350
여기 연보라색으로 그린 것은

0:00:06.350,0:00:09.310
y=f'(x)의 그래프입니다

0:00:09.310,0:00:10.870


0:00:10.870,0:00:12.580
여기 파란색으로 그린 것은

0:00:12.580,0:00:15.740
y=f''(x)의 그래프 입니다

0:00:15.740,0:00:18.380
즉 여기 그린 것이

0:00:18.380,0:00:21.550
이계도함수입니다

0:00:21.550,0:00:23.830
그리고 우리는 이미 예시를 봤습니다

0:00:23.830,0:00:25.345
최소와 최대점을 구하는 방법에 관한

0:00:25.345,0:00:27.220
사실 우리 앞에 그래프가 있으면

0:00:27.220,0:00:29.850
알아내는 것이 어렵지 않습니다

0:00:29.850,0:00:31.950
이 점은 최대점이고

0:00:31.950,0:00:34.530
함수는 나중에 더 큰 값을 가질 수 있습니다

0:00:34.530,0:00:37.540
이것은 극소점입니다

0:00:37.540,0:00:40.242
나중에 함수는 더 작은 값을 가질 수 있습니다

0:00:40.242,0:00:42.700
하지만 그래프 없이도

0:00:42.700,0:00:45.347
함수의 미분을 할 수 있다면

0:00:45.347,0:00:47.180
혹은 함수의 미분을

0:00:47.180,0:00:48.638
하지 못하더라도

0:00:48.638,0:00:51.501
이 점들이 최소와 최대점인 것을 알 수 있습니다

0:00:51.501,0:00:53.000
우리가 한 방법으로

0:00:53.000,0:00:55.070
이 함수의 임계점은 어디인가요?

0:00:55.070,0:00:58.360
임계점은 함수의 미분이

0:00:58.360,0:01:00.099
정의되지 않거나 0인 점입니다

0:01:00.099,0:01:01.515
이것이 함수의 미분입니다

0:01:01.515,0:01:04.170
여기랑 여기서 0입니다

0:01:04.170,0:01:05.810
우리는 이 점들을 임계점이라고 할 수 있습니다

0:01:05.810,0:01:08.530
저는 아직 미분값이 정의되지 않은 점을

0:01:08.530,0:01:10.590
찾지 못했습니다

0:01:10.590,0:01:15.590
그래서 우리는 이 점들을 임계점이라고 할 수 있습니다

0:01:15.590,0:01:19.740
그래서 이 점들이 후보점들입니다

0:01:19.740,0:01:21.800
함수값이 최대 혹은 최소가 될 수 있는

0:01:21.800,0:01:23.550
우리가 저 점에서

0:01:23.550,0:01:25.220
최소 혹은 최댓값을 갖는지 아는 방법은

0:01:25.220,0:01:29.320
그 점 주변에서의 미분값을 살펴보는 것입니다

0:01:29.320,0:01:36.320
여기서 미분값이 양수인 것을 알 수 있습니다

0:01:36.320,0:01:37.715
이 점에 접근하면서

0:01:37.715,0:01:41.210


0:01:41.210,0:01:42.800
그리곤 음수가 됩니다

0:01:42.800,0:01:44.800
미분값이 양수에서 음수가 됩니다

0:01:44.800,0:01:46.500
이 점을 지나면서

0:01:46.500,0:01:48.760
미분값이 양수라는 것은

0:01:48.760,0:01:50.679
함수가 양수라는 것을 의미하고

0:01:50.679,0:01:52.970
그것은 함수가 증가한다는 것을 의미합니다

0:01:52.970,0:01:56.310
저 점에 도달하면서 그리고 저 점을 떠나면서 음수가 됩니다

0:01:56.310,0:01:58.544
이것은 꽤 좋은 방법입니다

0:01:58.544,0:01:59.460
최대점이 되는

0:01:59.460,0:02:00.765
이 점에 접근하면서 증가하고

0:02:00.765,0:02:02.630
떠나면서 감소하면

0:02:02.630,0:02:06.490
이 점은 최대점이 될 것입니다

0:02:06.490,0:02:09.330
비슷하게 여기에서

0:02:09.330,0:02:14.630
이 점에 접근하면서 마분값은 음수이고

0:02:14.630,0:02:17.420
이것은 함숫값이 감소하는 것을 의미하고

0:02:17.420,0:02:19.780
이 점을 떠나면서 미분값이

0:02:19.780,0:02:20.940
양수인 것을 알 수 있습니다

0:02:20.940,0:02:22.710
우리는 음수인 미분값에서

0:02:22.710,0:02:24.530
양수인 미분값으로 갑니다

0:02:24.530,0:02:27.930
이것은 함수가 감소하다가 증가하는 것을 의미하고

0:02:27.930,0:02:30.680
이것은 꽤 좋은 지표가 됩니다

0:02:30.680,0:02:33.590
혹은 이 점은 이것이 임계점이라는 지표가 됩니다

0:02:33.590,0:02:38.710
함숫값이 최소가 되는

0:02:38.710,0:02:41.150
이제 제가 알고 싶은 것은

0:02:41.150,0:02:43.270
볼록성을 이용해서 이 생각을 확장하는 것입니다

0:02:43.270,0:02:46.365


0:02:46.365,0:02:47.740
제가 지금 잘못 발음하고 있는 것을 알고 있습니다

0:02:47.740,0:02:49.740
그것은 아마 볼록성입니다

0:02:49.740,0:02:52.630
볼록성을 생각하기 위해서는

0:02:52.630,0:02:55.380
이차미분을 보는 이 좋습니다

0:02:55.380,0:02:57.990
미분값 변화를 보는 것 보다는

0:02:57.990,0:03:01.280
이것이 최소점인지 최대점인지 알기 위해

0:03:01.280,0:03:03.300
무슨 일이 일어나는지 봅시다

0:03:03.300,0:03:06.030
첫 번째 부분에서[br]이 곡선에서

0:03:06.030,0:03:09.540
호 처럼 생긴 시작부분이 아래에 있는

0:03:09.540,0:03:11.290
A처럼 생겼습니다

0:03:11.290,0:03:13.716
사이의 직선을 없앤 혹은 뒤집어진 U같이 생겼습니다

0:03:13.716,0:03:15.090
이제 생각해봅시다

0:03:15.090,0:03:19.950
U처럼 생긴 곡선에서는 무슨 일이 일어나는지

0:03:19.950,0:03:21.790
첫번째 구간에서

0:03:21.790,0:03:23.700
여기에서 시작하면

0:03:23.700,0:03:26.484
기울기는 매우

0:03:26.484,0:03:27.900
같은 색으로 합시다

0:03:27.900,0:03:30.210
실제 미분의 색이랑 같아서 그렇습니다

0:03:30.210,0:03:33.210
기울기는 매우 큰 양수입니다

0:03:33.210,0:03:36.640
이것이 점점 작아집니다

0:03:36.640,0:03:39.790
점점 더 작아지다가

0:03:39.790,0:03:42.840
결국 0이 됩니다

0:03:42.840,0:03:44.160
그리곤 계속 감소합니다

0:03:44.160,0:03:47.260
그다음 이것은 약간 음수가 되었다가

0:03:47.260,0:03:49.250
점점 더 음수가 되었다가

0:03:49.250,0:03:51.200
절댓값이 매우 큰 음수가 됩니다

0:03:51.200,0:03:56.409
그리곤 이 부근에서 감소하는 것을 멈추는 것처럼 보입니다

0:03:56.409,0:03:58.450
기울기가 이 부근에서 감소하는 것을 멈춥니다

0:03:58.450,0:03:59.380
그것을 미분에서 볼 수 있습니다

0:03:59.380,0:04:01.380
기울기가 감소하다가

0:04:01.380,0:04:04.970
이 점에 닿을 때 까지 감소하고 증가하기 시작합니다

0:04:04.970,0:04:10.920
그래서 여기 전 구역에서

0:04:10.920,0:04:12.575
기울기는 감소하고 있습니다

0:04:12.575,0:04:18.550


0:04:18.550,0:04:21.950
여기서 미분을 하면

0:04:21.950,0:04:26.070
여기서 미분을 하면[br]여기 구간은

0:04:26.070,0:04:27.287
감소하고 있습니다

0:04:27.287,0:04:29.620
이차 미분을 하면

0:04:29.620,0:04:31.720
미분값이 감소한다는 것은

0:04:31.720,0:04:33.750
2차 미분값이

0:04:33.750,0:04:35.050
음수라는 것을 의미합니다

0:04:35.050,0:04:38.320
이 경우를 보자면

0:04:38.320,0:04:43.190
이 구간에서 2차 미분값은

0:04:43.190,0:04:45.821
정말 음수입니다

0:04:45.821,0:04:47.570
무슨 일이 일어나나요

0:04:47.570,0:04:51.250
이 U자 모양 곡선에서?

0:04:51.250,0:04:54.150
여기서 미분값은 음수입니다

0:04:54.150,0:04:56.250
여기서 미분값은 움수입니다

0:04:56.250,0:04:58.570
여기서도 여전히 음수이지만

0:04:58.570,0:05:01.850
점점 덜 음수쪽으로 가다가

0:05:01.850,0:05:04.670
점점 덜 음수쪽으로 가다가

0:05:04.670,0:05:05.980
0이 됩니다

0:05:05.980,0:05:08.000
저기서 0이 됩니다

0:05:08.000,0:05:11.170
그리곤 점점 더 커지다가

0:05:11.170,0:05:12.890
여기서 볼 수 있듯이

0:05:12.890,0:05:16.720
이 전 구간에서 기울기 혹은 미분값이

0:05:16.720,0:05:18.430
증가하고 있습니다

0:05:18.430,0:05:24.745
기울기가 증가하고 있습니다

0:05:24.745,0:05:25.870
여기서는

0:05:25.870,0:05:27.560
기울기가 0입니다

0:05:27.560,0:05:29.950
미분값이 0입니다

0:05:29.950,0:05:33.220
이 순간에는 미분값이 변하지 않습니다

0:05:33.220,0:05:37.089
그리고 기울기가 증가하는 것을 볼 수 있습니다

0:05:37.089,0:05:38.630
그리고 우리는 저것을 2차 미분을 통해 시각화할 수 있습니다

0:05:38.630,0:05:40.900
미분의 미분

0:05:40.900,0:05:42.530
미분이 증가하고 있다는 것은

0:05:42.530,0:05:44.680
미분의 미분이 양수라는 것을 의미합니다

0:05:44.680,0:05:49.240
미분의 미분이 정말 양수입니다

0:05:49.240,0:05:53.320
그리고 뒤집어진 U와 그냥 U자 모양을 칭하는

0:05:53.320,0:05:57.640
용어가 있습니다.[br]우리는 이것을 위로 볼록하다고 말합니다

0:05:57.640,0:06:02.120


0:06:02.120,0:06:03.560
분명히 하도록 하겠습니다

0:06:03.560,0:06:07.920
위로 볼록

0:06:07.920,0:06:10.030
그리고 우리는 이것을 위로 아래로 볼록이라고 부릅니다

0:06:10.030,0:06:13.400


0:06:13.400,0:06:15.330
복습해봅시다 우리가 어떻게

0:06:15.330,0:06:18.670
아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간을 확인할 수 있는지

0:06:18.670,0:06:25.840
우리가 위로 볼록을 애기할 때

0:06:25.840,0:06:27.780
우리는 몇 가지 것들을 볼 수 있습니다

0:06:27.780,0:06:29.340
기울기가 감소하는 것을 알 수 있고

0:06:29.340,0:06:37.590


0:06:37.590,0:06:41.430
다른 말로 f'(x)가 감소하고 있습니다

0:06:41.430,0:06:47.290


0:06:47.290,0:06:51.720


0:06:51.720,0:06:54.840
또 다른 말로 2차 미분값이

0:06:54.840,0:06:55.590
음수입니다

0:06:55.590,0:06:58.090
1차 미분값이 감소하면

0:06:58.090,0:07:00.460
2차 미분값은 반드시 음수입니다

0:07:00.460,0:07:03.350
다른 말로 2차 미분값이

0:07:03.350,0:07:08.160
저 구간에서 반드시 음수입니다

0:07:08.160,0:07:11.010
그래서 음의 2차 미분값을 가지고 있으면

0:07:11.010,0:07:14.220
위로 볼록인 구간입니다

0:07:14.220,0:07:17.480
비슷하게[br]발음하기가 힘듭니다

0:07:17.480,0:07:21.640
아래로 볼록에 대해 생각해 봅시다

0:07:21.640,0:07:25.630
U자 모양의 구간에서 아래로 볼록입니다

0:07:25.630,0:07:28.510
이 구간에서 기울기는 증가하고 있습니다

0:07:28.510,0:07:31.030
우리는 음의 기울기, 덜 음의 기울기[br]0이 됩니다

0:07:31.030,0:07:34.040
양의 기울기에서 점점 커집니다

0:07:34.040,0:07:37.780
그래서 기울기가 증가하고 있습니다

0:07:37.780,0:07:43.240


0:07:43.240,0:07:50.690
이것은 함수의 미분값이 증가한다는 것을 의미합니다

0:07:50.690,0:07:52.680
저기서 볼 수 있듯이

0:07:52.680,0:07:56.240
이 미분이 증가하고 있습니다

0:07:56.240,0:08:00.150
이것은 아래로 볼록인 구간에서

0:08:00.150,0:08:03.490
2차 미분값이 0보다 크다는 것을 의미합니다

0:08:03.490,0:08:05.450
2차 미분값이 0보다 크면

0:08:05.450,0:08:06.950
그것은 1차 미분값이

0:08:06.950,0:08:09.310
즉 기울기가 증가하고 있다는 것을 의미합니다

0:08:09.310,0:08:14.630
우리는 아래로 볼록인 구간에 있습니다

0:08:14.630,0:08:18.000
우리가 위로 볼록과 아래로 볼록에 대해

0:08:18.000,0:08:20.150
지금까지 정의한 것을 생각해봅시다

0:08:20.150,0:08:22.210
임계점이 최소점인지 최대점인지

0:08:22.210,0:08:24.820
알 수 있는 다른 방법에 대해

0:08:24.820,0:08:26.490
생각할 수 있나요?

0:08:26.490,0:08:28.420
만약 최대점이면

0:08:28.420,0:08:32.500
만약에 임계점이 위로 볼록인 구간에 있으면

0:08:32.500,0:08:36.130
그 임계점은 최대점이 될 것입니다

0:08:36.130,0:08:38.210
위로 볼록에 대해 분명히 합시다

0:08:38.210,0:08:42.263
이렇게 생긴 구간을 의미합니다

0:08:42.263,0:08:44.179
그리고 우리는 임계점에대 말하고 있습니다

0:08:44.179,0:08:46.304
우리가 여기를 위로 볼록이라고 가정하면

0:08:46.304,0:08:48.784
이 구간에서 미분 가능하다고 가정합니다

0:08:48.784,0:08:50.200
그래서 임계점은

0:08:50.200,0:08:52.350
기울기가 0인 점 입니다

0:08:52.350,0:08:54.810
그래서 저 점이 될 것입니다

0:08:54.810,0:08:56.640
여기서 위로 볼록이라면

0:08:56.640,0:09:02.250
그리고 f'(x)가 0이 되는 점에서는[br]그 점을 a라고 합시다

0:09:02.250,0:09:04.730
그러면 a에서 최댓값을 가집니다

0:09:04.730,0:09:11.500


0:09:11.500,0:09:14.210
그리고 비슷하게 아래로 볼록이면

0:09:14.210,0:09:17.340
함수가 이렇게 생긴 것을 의미합니다

0:09:17.340,0:09:20.210
그리고 임계점을 찾으면

0:09:20.210,0:09:22.600
함수가 정의 되지 않은 부분일 수도 있습니다

0:09:22.600,0:09:24.800
하지만 우리가 1차 미분과 2차 미분이

0:09:24.800,0:09:26.510
정의된다고 가정하면

0:09:26.510,0:09:28.260
임계점은

0:09:28.260,0:09:31.380
첫번재 미분값이 0이되는 점일 것입니다

0:09:31.380,0:09:35.090
f'(a)=0입니다

0:09:35.090,0:09:38.130
만약 f'(a)=0이면

0:09:38.130,0:09:40.900
그리고 a주변에서 아래로 볼록이면

0:09:40.900,0:09:44.250
즉 2차 미분값이 0보다 크면

0:09:44.250,0:09:46.010
꽤 분명하게 볼 수 있듯이

0:09:46.010,0:09:53.610
a에서 최소점입니다