WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.500


00:00:00.500 --> 00:00:04.270
여기 노란색으로 그린 것은 y=f(x)의 그래프 입니다

00:00:04.270 --> 00:00:06.350
여기 연보라색으로 그린 것은

00:00:06.350 --> 00:00:09.310
y=f'(x)의 그래프입니다

00:00:09.310 --> 00:00:10.870


00:00:10.870 --> 00:00:12.580
여기 파란색으로 그린 것은

00:00:12.580 --> 00:00:15.740
y=f''(x)의 그래프 입니다

00:00:15.740 --> 00:00:18.380
즉 여기 그린 것이

00:00:18.380 --> 00:00:21.550
이계도함수입니다

00:00:21.550 --> 00:00:23.830
그리고 우리는 이미 예시를 봤습니다

00:00:23.830 --> 00:00:25.345
최소와 최대점을 구하는 방법에 관한

00:00:25.345 --> 00:00:27.220
사실 우리 앞에 그래프가 있으면

00:00:27.220 --> 00:00:29.850
알아내는 것이 어렵지 않습니다

00:00:29.850 --> 00:00:31.950
이 점은 최대점이고

00:00:31.950 --> 00:00:34.530
함수는 나중에 더 큰 값을 가질 수 있습니다

00:00:34.530 --> 00:00:37.540
이것은 극소점입니다

00:00:37.540 --> 00:00:40.242
나중에 함수는 더 작은 값을 가질 수 있습니다

00:00:40.242 --> 00:00:42.700
하지만 그래프 없이도

00:00:42.700 --> 00:00:45.347
함수의 미분을 할 수 있다면

00:00:45.347 --> 00:00:47.180
혹은 함수의 미분을

00:00:47.180 --> 00:00:48.638
하지 못하더라도

00:00:48.638 --> 00:00:51.501
이 점들이 최소와 최대점인 것을 알 수 있습니다

00:00:51.501 --> 00:00:53.000
우리가 한 방법으로

00:00:53.000 --> 00:00:55.070
이 함수의 임계점은 어디인가요?

00:00:55.070 --> 00:00:58.360
임계점은 함수의 미분이

00:00:58.360 --> 00:01:00.099
정의되지 않거나 0인 점입니다

00:01:00.099 --> 00:01:01.515
이것이 함수의 미분입니다

00:01:01.515 --> 00:01:04.170
여기랑 여기서 0입니다

00:01:04.170 --> 00:01:05.810
우리는 이 점들을 임계점이라고 할 수 있습니다

00:01:05.810 --> 00:01:08.530
저는 아직 미분값이 정의되지 않은 점을

00:01:08.530 --> 00:01:10.590
찾지 못했습니다

00:01:10.590 --> 00:01:15.590
그래서 우리는 이 점들을 임계점이라고 할 수 있습니다

00:01:15.590 --> 00:01:19.740
그래서 이 점들이 후보점들입니다

00:01:19.740 --> 00:01:21.800
함수값이 최대 혹은 최소가 될 수 있는

00:01:21.800 --> 00:01:23.550
우리가 저 점에서

00:01:23.550 --> 00:01:25.220
최소 혹은 최댓값을 갖는지 아는 방법은

00:01:25.220 --> 00:01:29.320
그 점 주변에서의 미분값을 살펴보는 것입니다

00:01:29.320 --> 00:01:36.320
여기서 미분값이 양수인 것을 알 수 있습니다

00:01:36.320 --> 00:01:37.715
이 점에 접근하면서

00:01:37.715 --> 00:01:41.210


00:01:41.210 --> 00:01:42.800
그리곤 음수가 됩니다

00:01:42.800 --> 00:01:44.800
미분값이 양수에서 음수가 됩니다

00:01:44.800 --> 00:01:46.500
이 점을 지나면서

00:01:46.500 --> 00:01:48.760
미분값이 양수라는 것은

00:01:48.760 --> 00:01:50.679
함수가 양수라는 것을 의미하고

00:01:50.679 --> 00:01:52.970
그것은 함수가 증가한다는 것을 의미합니다

00:01:52.970 --> 00:01:56.310
저 점에 도달하면서 그리고 저 점을 떠나면서 음수가 됩니다

00:01:56.310 --> 00:01:58.544
이것은 꽤 좋은 방법입니다

00:01:58.544 --> 00:01:59.460
최대점이 되는

00:01:59.460 --> 00:02:00.765
이 점에 접근하면서 증가하고

00:02:00.765 --> 00:02:02.630
떠나면서 감소하면

00:02:02.630 --> 00:02:06.490
이 점은 최대점이 될 것입니다

00:02:06.490 --> 00:02:09.330
비슷하게 여기에서

00:02:09.330 --> 00:02:14.630
이 점에 접근하면서 마분값은 음수이고

00:02:14.630 --> 00:02:17.420
이것은 함숫값이 감소하는 것을 의미하고

00:02:17.420 --> 00:02:19.780
이 점을 떠나면서 미분값이

00:02:19.780 --> 00:02:20.940
양수인 것을 알 수 있습니다

00:02:20.940 --> 00:02:22.710
우리는 음수인 미분값에서

00:02:22.710 --> 00:02:24.530
양수인 미분값으로 갑니다

00:02:24.530 --> 00:02:27.930
이것은 함수가 감소하다가 증가하는 것을 의미하고

00:02:27.930 --> 00:02:30.680
이것은 꽤 좋은 지표가 됩니다

00:02:30.680 --> 00:02:33.590
혹은 이 점은 이것이 임계점이라는 지표가 됩니다

00:02:33.590 --> 00:02:38.710
함숫값이 최소가 되는

00:02:38.710 --> 00:02:41.150
이제 제가 알고 싶은 것은

00:02:41.150 --> 00:02:43.270
볼록성을 이용해서 이 생각을 확장하는 것입니다

00:02:43.270 --> 00:02:46.365


00:02:46.365 --> 00:02:47.740
제가 지금 잘못 발음하고 있는 것을 알고 있습니다

00:02:47.740 --> 00:02:49.740
그것은 아마 볼록성입니다

00:02:49.740 --> 00:02:52.630
볼록성을 생각하기 위해서는

00:02:52.630 --> 00:02:55.380
이차미분을 보는 이 좋습니다

00:02:55.380 --> 00:02:57.990
미분값 변화를 보는 것 보다는

00:02:57.990 --> 00:03:01.280
이것이 최소점인지 최대점인지 알기 위해

00:03:01.280 --> 00:03:03.300
무슨 일이 일어나는지 봅시다

00:03:03.300 --> 00:03:06.030
첫 번째 부분에서
이 곡선에서

00:03:06.030 --> 00:03:09.540
호 처럼 생긴 시작부분이 아래에 있는

00:03:09.540 --> 00:03:11.290
A처럼 생겼습니다

00:03:11.290 --> 00:03:13.716
사이의 직선을 없앤 혹은 뒤집어진 U같이 생겼습니다

00:03:13.716 --> 00:03:15.090
이제 생각해봅시다

00:03:15.090 --> 00:03:19.950
U처럼 생긴 곡선에서는 무슨 일이 일어나는지

00:03:19.950 --> 00:03:21.790
첫번째 구간에서

00:03:21.790 --> 00:03:23.700
여기에서 시작하면

00:03:23.700 --> 00:03:26.484
기울기는 매우

00:03:26.484 --> 00:03:27.900
같은 색으로 합시다

00:03:27.900 --> 00:03:30.210
실제 미분의 색이랑 같아서 그렇습니다

00:03:30.210 --> 00:03:33.210
기울기는 매우 큰 양수입니다

00:03:33.210 --> 00:03:36.640
이것이 점점 작아집니다

00:03:36.640 --> 00:03:39.790
점점 더 작아지다가

00:03:39.790 --> 00:03:42.840
결국 0이 됩니다

00:03:42.840 --> 00:03:44.160
그리곤 계속 감소합니다

00:03:44.160 --> 00:03:47.260
그다음 이것은 약간 음수가 되었다가

00:03:47.260 --> 00:03:49.250
점점 더 음수가 되었다가

00:03:49.250 --> 00:03:51.200
절댓값이 매우 큰 음수가 됩니다

00:03:51.200 --> 00:03:56.409
그리곤 이 부근에서 감소하는 것을 멈추는 것처럼 보입니다

00:03:56.409 --> 00:03:58.450
기울기가 이 부근에서 감소하는 것을 멈춥니다

00:03:58.450 --> 00:03:59.380
그것을 미분에서 볼 수 있습니다

00:03:59.380 --> 00:04:01.380
기울기가 감소하다가

00:04:01.380 --> 00:04:04.970
이 점에 닿을 때 까지 감소하고 증가하기 시작합니다

00:04:04.970 --> 00:04:10.920
그래서 여기 전 구역에서

00:04:10.920 --> 00:04:12.575
기울기는 감소하고 있습니다

00:04:12.575 --> 00:04:18.550


00:04:18.550 --> 00:04:21.950
여기서 미분을 하면

00:04:21.950 --> 00:04:26.070
여기서 미분을 하면
여기 구간은

00:04:26.070 --> 00:04:27.287
감소하고 있습니다

00:04:27.287 --> 00:04:29.620
이차 미분을 하면

00:04:29.620 --> 00:04:31.720
미분값이 감소한다는 것은

00:04:31.720 --> 00:04:33.750
2차 미분값이

00:04:33.750 --> 00:04:35.050
음수라는 것을 의미합니다

00:04:35.050 --> 00:04:38.320
이 경우를 보자면

00:04:38.320 --> 00:04:43.190
이 구간에서 2차 미분값은

00:04:43.190 --> 00:04:45.821
정말 음수입니다

00:04:45.821 --> 00:04:47.570
무슨 일이 일어나나요

00:04:47.570 --> 00:04:51.250
이 U자 모양 곡선에서?

00:04:51.250 --> 00:04:54.150
여기서 미분값은 음수입니다

00:04:54.150 --> 00:04:56.250
여기서 미분값은 움수입니다

00:04:56.250 --> 00:04:58.570
여기서도 여전히 음수이지만

00:04:58.570 --> 00:05:01.850
점점 덜 음수쪽으로 가다가

00:05:01.850 --> 00:05:04.670
점점 덜 음수쪽으로 가다가

00:05:04.670 --> 00:05:05.980
0이 됩니다

00:05:05.980 --> 00:05:08.000
저기서 0이 됩니다

00:05:08.000 --> 00:05:11.170
그리곤 점점 더 커지다가

00:05:11.170 --> 00:05:12.890
여기서 볼 수 있듯이

00:05:12.890 --> 00:05:16.720
이 전 구간에서 기울기 혹은 미분값이

00:05:16.720 --> 00:05:18.430
증가하고 있습니다

00:05:18.430 --> 00:05:24.745
기울기가 증가하고 있습니다

00:05:24.745 --> 00:05:25.870
여기서는

00:05:25.870 --> 00:05:27.560
기울기가 0입니다

00:05:27.560 --> 00:05:29.950
미분값이 0입니다

00:05:29.950 --> 00:05:33.220
이 순간에는 미분값이 변하지 않습니다

00:05:33.220 --> 00:05:37.089
그리고 기울기가 증가하는 것을 볼 수 있습니다

00:05:37.089 --> 00:05:38.630
그리고 우리는 저것을 2차 미분을 통해 시각화할 수 있습니다

00:05:38.630 --> 00:05:40.900
미분의 미분

00:05:40.900 --> 00:05:42.530
미분이 증가하고 있다는 것은

00:05:42.530 --> 00:05:44.680
미분의 미분이 양수라는 것을 의미합니다

00:05:44.680 --> 00:05:49.240
미분의 미분이 정말 양수입니다

00:05:49.240 --> 00:05:53.320
그리고 뒤집어진 U와 그냥 U자 모양을 칭하는

00:05:53.320 --> 00:05:57.640
용어가 있습니다.
우리는 이것을 위로 볼록하다고 말합니다

00:05:57.640 --> 00:06:02.120


00:06:02.120 --> 00:06:03.560
분명히 하도록 하겠습니다

00:06:03.560 --> 00:06:07.920
위로 볼록

00:06:07.920 --> 00:06:10.030
그리고 우리는 이것을 위로 아래로 볼록이라고 부릅니다

00:06:10.030 --> 00:06:13.400


00:06:13.400 --> 00:06:15.330
복습해봅시다 우리가 어떻게

00:06:15.330 --> 00:06:18.670
아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간을 확인할 수 있는지

00:06:18.670 --> 00:06:25.840
우리가 위로 볼록을 애기할 때

00:06:25.840 --> 00:06:27.780
우리는 몇 가지 것들을 볼 수 있습니다

00:06:27.780 --> 00:06:29.340
기울기가 감소하는 것을 알 수 있고

00:06:29.340 --> 00:06:37.590


00:06:37.590 --> 00:06:41.430
다른 말로 f'(x)가 감소하고 있습니다

00:06:41.430 --> 00:06:47.290


00:06:47.290 --> 00:06:51.720


00:06:51.720 --> 00:06:54.840
또 다른 말로 2차 미분값이

00:06:54.840 --> 00:06:55.590
음수입니다

00:06:55.590 --> 00:06:58.090
1차 미분값이 감소하면

00:06:58.090 --> 00:07:00.460
2차 미분값은 반드시 음수입니다

00:07:00.460 --> 00:07:03.350
다른 말로 2차 미분값이

00:07:03.350 --> 00:07:08.160
저 구간에서 반드시 음수입니다

00:07:08.160 --> 00:07:11.010
그래서 음의 2차 미분값을 가지고 있으면

00:07:11.010 --> 00:07:14.220
위로 볼록인 구간입니다

00:07:14.220 --> 00:07:17.480
비슷하게
발음하기가 힘듭니다

00:07:17.480 --> 00:07:21.640
아래로 볼록에 대해 생각해 봅시다

00:07:21.640 --> 00:07:25.630
U자 모양의 구간에서 아래로 볼록입니다

00:07:25.630 --> 00:07:28.510
이 구간에서 기울기는 증가하고 있습니다

00:07:28.510 --> 00:07:31.030
우리는 음의 기울기, 덜 음의 기울기
0이 됩니다

00:07:31.030 --> 00:07:34.040
양의 기울기에서 점점 커집니다

00:07:34.040 --> 00:07:37.780
그래서 기울기가 증가하고 있습니다

00:07:37.780 --> 00:07:43.240


00:07:43.240 --> 00:07:50.690
이것은 함수의 미분값이 증가한다는 것을 의미합니다

00:07:50.690 --> 00:07:52.680
저기서 볼 수 있듯이

00:07:52.680 --> 00:07:56.240
이 미분이 증가하고 있습니다

00:07:56.240 --> 00:08:00.150
이것은 아래로 볼록인 구간에서

00:08:00.150 --> 00:08:03.490
2차 미분값이 0보다 크다는 것을 의미합니다

00:08:03.490 --> 00:08:05.450
2차 미분값이 0보다 크면

00:08:05.450 --> 00:08:06.950
그것은 1차 미분값이

00:08:06.950 --> 00:08:09.310
즉 기울기가 증가하고 있다는 것을 의미합니다

00:08:09.310 --> 00:08:14.630
우리는 아래로 볼록인 구간에 있습니다

00:08:14.630 --> 00:08:18.000
우리가 위로 볼록과 아래로 볼록에 대해

00:08:18.000 --> 00:08:20.150
지금까지 정의한 것을 생각해봅시다

00:08:20.150 --> 00:08:22.210
임계점이 최소점인지 최대점인지

00:08:22.210 --> 00:08:24.820
알 수 있는 다른 방법에 대해

00:08:24.820 --> 00:08:26.490
생각할 수 있나요?

00:08:26.490 --> 00:08:28.420
만약 최대점이면

00:08:28.420 --> 00:08:32.500
만약에 임계점이 위로 볼록인 구간에 있으면

00:08:32.500 --> 00:08:36.130
그 임계점은 최대점이 될 것입니다

00:08:36.130 --> 00:08:38.210
위로 볼록에 대해 분명히 합시다

00:08:38.210 --> 00:08:42.263
이렇게 생긴 구간을 의미합니다

00:08:42.263 --> 00:08:44.179
그리고 우리는 임계점에대 말하고 있습니다

00:08:44.179 --> 00:08:46.304
우리가 여기를 위로 볼록이라고 가정하면

00:08:46.304 --> 00:08:48.784
이 구간에서 미분 가능하다고 가정합니다

00:08:48.784 --> 00:08:50.200
그래서 임계점은

00:08:50.200 --> 00:08:52.350
기울기가 0인 점 입니다

00:08:52.350 --> 00:08:54.810
그래서 저 점이 될 것입니다

00:08:54.810 --> 00:08:56.640
여기서 위로 볼록이라면

00:08:56.640 --> 00:09:02.250
그리고 f'(x)가 0이 되는 점에서는
그 점을 a라고 합시다

00:09:02.250 --> 00:09:04.730
그러면 a에서 최댓값을 가집니다

00:09:04.730 --> 00:09:11.500


00:09:11.500 --> 00:09:14.210
그리고 비슷하게 아래로 볼록이면

00:09:14.210 --> 00:09:17.340
함수가 이렇게 생긴 것을 의미합니다

00:09:17.340 --> 00:09:20.210
그리고 임계점을 찾으면

00:09:20.210 --> 00:09:22.600
함수가 정의 되지 않은 부분일 수도 있습니다

00:09:22.600 --> 00:09:24.800
하지만 우리가 1차 미분과 2차 미분이

00:09:24.800 --> 00:09:26.510
정의된다고 가정하면

00:09:26.510 --> 00:09:28.260
임계점은

00:09:28.260 --> 00:09:31.380
첫번재 미분값이 0이되는 점일 것입니다

00:09:31.380 --> 00:09:35.090
f'(a)=0입니다

00:09:35.090 --> 00:09:38.130
만약 f'(a)=0이면

00:09:38.130 --> 00:09:40.900
그리고 a주변에서 아래로 볼록이면

00:09:40.900 --> 00:09:44.250
즉 2차 미분값이 0보다 크면

00:09:44.250 --> 00:09:46.010
꽤 분명하게 볼 수 있듯이

00:09:46.010 --> 00:09:53.610
a에서 최소점입니다