2003 AIME II Problem 1

我从 2003 年 AIME 试卷得到这个问题，

AIME 就是美国数学邀请考试，

实际上，这是那个考试的第一题。

三个正整数的积，N， 是 6 乘以它们的和，

三个整数中的一个是其他两个的和，

找出所有可能的 N 的值，求和。

我们是在和三个正整数打交道，

这里我们有三个正整数，

我们来考虑这三个正整数，

我们叫它们 a, b, 和 c ，

它们都是正的，

它们都是整数，

这三个正整数的积， N，

就是 a 乘以 b 乘以 c 等于 N，

它等于 6 乘以它们的和，

我们用另一个颜色，

这是它们的积，

这三个正整数的积

等于 6 乘以它们的和，

所以，这就是 6 乘以

这些整数的和， a+b+c

而其中一个整数是其他两个的和，

我们只要指定 c 是 a 和 b 的和，

这没有问题，

它们只是名字，我们没有说

它们中的一个比另外的大或者小，

我们就说，

a+b = c，

也就是一个整数是其他两个整数的和，c 是 a + b 的和，

找出所有的可能的 N 的值的和，

我们需要

对我们已经有的信息做一些整理，

或许我们可以得到数字的一些约束之间的关系，

这样，我们就可以

发现所有的可能性。

我们来看，我们知道 a+b=c，

这样我们可以用 a+b 代替 c ，

那么这里这个表达式就成为

ab，它是 a 乘以b ，乘以 c ，

但是我们不用c ，而在这里写上 a+b，

然后，它等于 6 乘以 a+b+c，

同样，我要用 a+b 来代替 c ，

然后，它能简化成什么？

在右边，我们有

6 乘以 a+b+a+b，

这就是 6 乘以 2a+2b

就是把两个a 和两个b 加起来，

我们可以把 2 提出来，

如果提出 2 ，它就是

12 乘以 a+b

这里，在左边，

它还是 a 乘以 b, 或者说 ab 乘以 a+b，

所以 ab 乘以 a+b 等于 12 乘以 a+b ,

这里就很有意思了，

我们可以两边除以 a+b，

我们知道 a+b 不会等于 0 ，

因为这些数必须是正数，

我这样说的原因就是假如它是 0 ，

除以 0 会给出没有定义的解。

如果两边除以 a+b，

我们的到 a 乘以 b 等于 12，

这样，所有题目给出的约束

经过处理后变成了这个表达式，

a 和 b 的积等于 12，

有许多数，

许多正整数，你可以让它们的积

等于 12，

我们来尝试找出它们，

我在这里写下几列，

我们说 a，b，c，

然后我们关心它们的积，

我把它写在这里 abc，

如果 a = 1, b 就是 12，

c 是它们的和，所以， c 就是 13，

1 乘以 12 乘以 13，

12 乘以12 是 144，再加上12 就是 156，

有兴趣的话，你可以验证它，

它等于 6 乘以它们的和，

它们的和是26， 26 乘以6 是 156，

它肯定是正确的。

它肯定符合这个约束。

它之所以是正确的，是因为我们根据这些约束，

把它简化为 a 乘以 b 等于 12。

我们再试一个，

2 乘以 6，它们的和是 8，

然后，如果我们求它们的积，

我们就有 2 乘以 6 是 12 再乘以 8 ，就是 96，

然后，我们来试 3 和 4，

3 加 4 是 7，

3 乘以 4 是 12，再乘以 7，

其实，我应该已经知道 a 乘以 b 总是 12，

所以，你只需要用 12 乘以最后一列，

12 乘以 7 是 84，

没有其他的了，

你肯定不能让它大于12，

因为那样你会面对非整数，

你会用到分数，

你也不能尝试它们的负数，

因为它们都是正整数，

就这些了。

这些就是所有可能的正整数，

如果你求它们的积，你得到12，

我们已经实质上是提出了因子12。

题目要求我们求出所有可能的 N 值的和，

那么，这些是可能的 N 值，

N 是这些整数的积，

我们来求和，

6 加 6 是 12 加 4 是 16，

1 加 5 是 6，加 9 是 15 加 8 是 23，2 加 1 是 3，

我们得答案是 336 .