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Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.64,0:00:04.70,Default,,0000,0000,0000,,我从 2003 年 AIME 试卷得到这个问题，
Dialogue: 0,0:00:04.70,0:00:08.36,Default,,0000,0000,0000,,AIME 就是美国数学邀请考试，
Dialogue: 0,0:00:08.36,0:00:10.88,Default,,0000,0000,0000,,实际上，这是那个考试的第一题。
Dialogue: 0,0:00:10.88,0:00:17.23,Default,,0000,0000,0000,,三个正整数的积，N， 是 6 乘以它们的和，
Dialogue: 0,0:00:17.23,0:00:20.06,Default,,0000,0000,0000,,三个整数中的一个是其他两个的和，
Dialogue: 0,0:00:20.06,0:00:24.08,Default,,0000,0000,0000,,找出所有可能的 N 的值，求和。
Dialogue: 0,0:00:24.08,0:00:27.38,Default,,0000,0000,0000,,我们是在和三个正整数打交道，
Dialogue: 0,0:00:27.38,0:00:30.65,Default,,0000,0000,0000,,这里我们有三个正整数，
Dialogue: 0,0:00:30.65,0:00:33.08,Default,,0000,0000,0000,,我们来考虑这三个正整数，
Dialogue: 0,0:00:33.08,0:00:35.40,Default,,0000,0000,0000,,我们叫它们 a, b, 和 c ，
Dialogue: 0,0:00:35.40,0:00:36.28,Default,,0000,0000,0000,,它们都是正的，
Dialogue: 0,0:00:36.28,0:00:37.53,Default,,0000,0000,0000,,它们都是整数，
Dialogue: 0,0:00:37.53,0:00:41.16,Default,,0000,0000,0000,,这三个正整数的积， N，
Dialogue: 0,0:00:41.16,0:00:45.49,Default,,0000,0000,0000,,就是 a 乘以 b 乘以 c 等于 N，
Dialogue: 0,0:00:45.49,0:00:51.11,Default,,0000,0000,0000,,它等于 6 乘以它们的和，
Dialogue: 0,0:00:51.11,0:00:52.81,Default,,0000,0000,0000,,我们用另一个颜色，
Dialogue: 0,0:00:52.81,0:00:54.45,Default,,0000,0000,0000,,这是它们的积，
Dialogue: 0,0:00:54.45,0:00:57.69,Default,,0000,0000,0000,,这三个正整数的积
Dialogue: 0,0:00:57.69,0:01:02.05,Default,,0000,0000,0000,,等于 6 乘以它们的和，
Dialogue: 0,0:01:02.05,0:01:04.44,Default,,0000,0000,0000,,所以，这就是 6 乘以
Dialogue: 0,0:01:04.44,0:01:09.51,Default,,0000,0000,0000,,这些整数的和， a+b+c
Dialogue: 0,0:01:09.51,0:01:19.95,Default,,0000,0000,0000,,而其中一个整数是其他两个的和，
Dialogue: 0,0:01:19.95,0:01:23.44,Default,,0000,0000,0000,,我们只要指定 c 是 a 和 b 的和，
Dialogue: 0,0:01:23.44,0:01:24.19,Default,,0000,0000,0000,,这没有问题，
Dialogue: 0,0:01:24.19,0:01:26.60,Default,,0000,0000,0000,,它们只是名字，我们没有说
Dialogue: 0,0:01:26.60,0:01:28.33,Default,,0000,0000,0000,,它们中的一个比另外的大或者小，
Dialogue: 0,0:01:28.33,0:01:30.03,Default,,0000,0000,0000,,我们就说，
Dialogue: 0,0:01:30.03,0:01:33.88,Default,,0000,0000,0000,,a+b = c，
Dialogue: 0,0:01:33.88,0:01:36.99,Default,,0000,0000,0000,,也就是一个整数是其他两个整数的和，c 是 a + b 的和，
Dialogue: 0,0:01:36.99,0:01:41.99,Default,,0000,0000,0000,,找出所有的可能的 N 的值的和，
Dialogue: 0,0:01:41.99,0:01:43.91,Default,,0000,0000,0000,,我们需要
Dialogue: 0,0:01:43.91,0:01:47.05,Default,,0000,0000,0000,,对我们已经有的信息做一些整理，
Dialogue: 0,0:01:47.05,0:01:51.70,Default,,0000,0000,0000,,或许我们可以得到数字的一些约束之间的关系，
Dialogue: 0,0:01:51.70,0:01:52.65,Default,,0000,0000,0000,,这样，我们就可以
Dialogue: 0,0:01:52.65,0:01:54.05,Default,,0000,0000,0000,,发现所有的可能性。
Dialogue: 0,0:01:54.05,0:01:56.73,Default,,0000,0000,0000,,我们来看，我们知道 a+b=c，
Dialogue: 0,0:01:56.73,0:02:02.36,Default,,0000,0000,0000,,这样我们可以用 a+b 代替 c ，
Dialogue: 0,0:02:02.36,0:02:04.11,Default,,0000,0000,0000,,那么这里这个表达式就成为
Dialogue: 0,0:02:04.11,0:02:09.13,Default,,0000,0000,0000,,ab，它是 a 乘以b ，乘以 c ，
Dialogue: 0,0:02:09.13,0:02:15.50,Default,,0000,0000,0000,,但是我们不用c ，而在这里写上 a+b，
Dialogue: 0,0:02:15.50,0:02:25.44,Default,,0000,0000,0000,,然后，它等于 6 乘以 a+b+c，
Dialogue: 0,0:02:25.44,0:02:31.36,Default,,0000,0000,0000,,同样，我要用 a+b 来代替 c ，
Dialogue: 0,0:02:31.36,0:02:33.61,Default,,0000,0000,0000,,然后，它能简化成什么？
Dialogue: 0,0:02:33.61,0:02:36.15,Default,,0000,0000,0000,,在右边，我们有
Dialogue: 0,0:02:36.15,0:02:37.02,Default,,0000,0000,0000,,6 乘以 a+b+a+b，
Dialogue: 0,0:02:37.02,0:02:43.68,Default,,0000,0000,0000,,这就是 6 乘以 2a+2b
Dialogue: 0,0:02:43.68,0:02:45.52,Default,,0000,0000,0000,,就是把两个a 和两个b 加起来，
Dialogue: 0,0:02:45.52,0:02:46.70,Default,,0000,0000,0000,,我们可以把 2 提出来，
Dialogue: 0,0:02:46.70,0:02:49.74,Default,,0000,0000,0000,,如果提出 2 ，它就是
Dialogue: 0,0:02:49.74,0:02:53.32,Default,,0000,0000,0000,,12 乘以 a+b
Dialogue: 0,0:02:53.32,0:02:55.86,Default,,0000,0000,0000,,这里，在左边，
Dialogue: 0,0:02:55.86,0:03:01.72,Default,,0000,0000,0000,,它还是 a 乘以 b, 或者说 ab 乘以 a+b，
Dialogue: 0,0:03:01.72,0:03:07.71,Default,,0000,0000,0000,,所以 ab 乘以 a+b 等于 12 乘以 a+b ,
Dialogue: 0,0:03:07.71,0:03:09.43,Default,,0000,0000,0000,,这里就很有意思了，
Dialogue: 0,0:03:09.43,0:03:12.61,Default,,0000,0000,0000,,我们可以两边除以 a+b，
Dialogue: 0,0:03:12.61,0:03:17.14,Default,,0000,0000,0000,,我们知道 a+b 不会等于 0 ，
Dialogue: 0,0:03:17.14,0:03:19.41,Default,,0000,0000,0000,,因为这些数必须是正数，
Dialogue: 0,0:03:19.41,0:03:24.74,Default,,0000,0000,0000,,我这样说的原因就是假如它是 0 ，
Dialogue: 0,0:03:24.74,0:03:27.45,Default,,0000,0000,0000,,除以 0 会给出没有定义的解。
Dialogue: 0,0:03:27.45,0:03:30.13,Default,,0000,0000,0000,,如果两边除以 a+b，
Dialogue: 0,0:03:30.13,0:03:34.15,Default,,0000,0000,0000,,我们的到 a 乘以 b 等于 12，
Dialogue: 0,0:03:34.15,0:03:36.14,Default,,0000,0000,0000,,这样，所有题目给出的约束
Dialogue: 0,0:03:36.14,0:03:38.29,Default,,0000,0000,0000,,经过处理后变成了这个表达式，
Dialogue: 0,0:03:38.29,0:03:41.53,Default,,0000,0000,0000,,a 和 b 的积等于 12，
Dialogue: 0,0:03:41.53,0:03:43.73,Default,,0000,0000,0000,,有许多数，
Dialogue: 0,0:03:43.73,0:03:46.10,Default,,0000,0000,0000,,许多正整数，你可以让它们的积
Dialogue: 0,0:03:46.10,0:03:46.95,Default,,0000,0000,0000,,等于 12，
Dialogue: 0,0:03:46.95,0:03:49.17,Default,,0000,0000,0000,,我们来尝试找出它们，
Dialogue: 0,0:03:49.17,0:03:50.59,Default,,0000,0000,0000,,我在这里写下几列，
Dialogue: 0,0:03:50.59,0:03:54.29,Default,,0000,0000,0000,,我们说 a，b，c，
Dialogue: 0,0:03:54.29,0:04:00.07,Default,,0000,0000,0000,,然后我们关心它们的积，
Dialogue: 0,0:04:00.07,0:04:03.70,Default,,0000,0000,0000,,我把它写在这里 abc，
Dialogue: 0,0:04:03.70,0:04:08.05,Default,,0000,0000,0000,,如果 a = 1, b 就是 12，
Dialogue: 0,0:04:08.05,0:04:11.98,Default,,0000,0000,0000,,c 是它们的和，所以， c 就是 13，
Dialogue: 0,0:04:11.98,0:04:15.38,Default,,0000,0000,0000,,1 乘以 12 乘以 13，
Dialogue: 0,0:04:15.38,0:04:21.96,Default,,0000,0000,0000,,12 乘以12 是 144，再加上12 就是 156，
Dialogue: 0,0:04:21.96,0:04:24.62,Default,,0000,0000,0000,,有兴趣的话，你可以验证它，
Dialogue: 0,0:04:24.62,0:04:27.04,Default,,0000,0000,0000,,它等于 6 乘以它们的和，
Dialogue: 0,0:04:27.04,0:04:32.28,Default,,0000,0000,0000,,它们的和是26， 26 乘以6 是 156，
Dialogue: 0,0:04:32.28,0:04:33.53,Default,,0000,0000,0000,,它肯定是正确的。
Dialogue: 0,0:04:33.53,0:04:34.85,Default,,0000,0000,0000,,它肯定符合这个约束。
Dialogue: 0,0:04:34.85,0:04:37.10,Default,,0000,0000,0000,,它之所以是正确的，是因为我们根据这些约束，
Dialogue: 0,0:04:37.10,0:04:40.06,Default,,0000,0000,0000,,把它简化为 a 乘以 b 等于 12。
Dialogue: 0,0:04:40.06,0:04:41.72,Default,,0000,0000,0000,,我们再试一个，
Dialogue: 0,0:04:41.72,0:04:45.67,Default,,0000,0000,0000,,2 乘以 6，它们的和是 8，
Dialogue: 0,0:04:45.67,0:04:48.20,Default,,0000,0000,0000,,然后，如果我们求它们的积，
Dialogue: 0,0:04:48.20,0:04:55.37,Default,,0000,0000,0000,,我们就有 2 乘以 6 是 12 再乘以 8 ，就是 96，
Dialogue: 0,0:04:55.37,0:04:58.83,Default,,0000,0000,0000,,然后，我们来试 3 和 4，
Dialogue: 0,0:04:58.83,0:05:01.15,Default,,0000,0000,0000,,3 加 4 是 7，
Dialogue: 0,0:05:01.15,0:05:06.70,Default,,0000,0000,0000,,3 乘以 4 是 12，再乘以 7，
Dialogue: 0,0:05:06.70,0:05:09.08,Default,,0000,0000,0000,,其实，我应该已经知道 a 乘以 b 总是 12，
Dialogue: 0,0:05:09.08,0:05:11.56,Default,,0000,0000,0000,,所以，你只需要用 12 乘以最后一列，
Dialogue: 0,0:05:11.56,0:05:16.61,Default,,0000,0000,0000,,12 乘以 7 是 84，
Dialogue: 0,0:05:16.61,0:05:19.20,Default,,0000,0000,0000,,没有其他的了，
Dialogue: 0,0:05:19.20,0:05:21.24,Default,,0000,0000,0000,,你肯定不能让它大于12，
Dialogue: 0,0:05:21.24,0:05:22.58,Default,,0000,0000,0000,,因为那样你会面对非整数，
Dialogue: 0,0:05:22.58,0:05:23.84,Default,,0000,0000,0000,,你会用到分数，
Dialogue: 0,0:05:23.84,0:05:25.52,Default,,0000,0000,0000,,你也不能尝试它们的负数，
Dialogue: 0,0:05:25.52,0:05:27.44,Default,,0000,0000,0000,,因为它们都是正整数，
Dialogue: 0,0:05:27.44,0:05:28.12,Default,,0000,0000,0000,,就这些了。
Dialogue: 0,0:05:28.12,0:05:30.62,Default,,0000,0000,0000,,这些就是所有可能的正整数，
Dialogue: 0,0:05:30.62,0:05:33.07,Default,,0000,0000,0000,,如果你求它们的积，你得到12，
Dialogue: 0,0:05:33.07,0:05:35.30,Default,,0000,0000,0000,,我们已经实质上是提出了因子12。
Dialogue: 0,0:05:35.30,0:05:41.62,Default,,0000,0000,0000,,题目要求我们求出所有可能的 N 值的和，
Dialogue: 0,0:05:41.62,0:05:43.42,Default,,0000,0000,0000,,那么，这些是可能的 N 值，
Dialogue: 0,0:05:43.42,0:05:45.35,Default,,0000,0000,0000,,N 是这些整数的积，
Dialogue: 0,0:05:45.35,0:05:47.92,Default,,0000,0000,0000,,我们来求和，
Dialogue: 0,0:05:47.92,0:05:52.98,Default,,0000,0000,0000,,6 加 6 是 12 加 4 是 16，
Dialogue: 0,0:05:52.98,0:06:01.74,Default,,0000,0000,0000,,1 加 5 是 6，加 9 是 15 加 8 是 23，2 加 1 是 3，
Dialogue: 0,0:06:01.74,0:06:06.67,Default,,0000,0000,0000,,我们得答案是 336 .