我从 2003 年 AIME 试卷得到这个问题，
AIME 就是美国数学邀请考试，
实际上，这是那个考试的第一题。
三个正整数的积，N， 是 6 乘以它们的和，
三个整数中的一个是其他两个的和，
找出所有可能的 N 的值，求和。
我们是在和三个正整数打交道，
这里我们有三个正整数，
我们来考虑这三个正整数，
我们叫它们 a, b, 和 c ，
它们都是正的，
它们都是整数，
这三个正整数的积， N，
就是 a 乘以 b 乘以 c 等于 N，
它等于 6 乘以它们的和，
我们用另一个颜色，
这是它们的积，
这三个正整数的积
等于 6 乘以它们的和，
所以，这就是 6 乘以
这些整数的和， a+b+c
而其中一个整数是其他两个的和，
我们只要指定 c 是 a 和 b 的和，
这没有问题，
它们只是名字，我们没有说
它们中的一个比另外的大或者小，
我们就说，
a+b = c，
也就是一个整数是其他两个整数的和，c 是 a + b 的和，
找出所有的可能的 N 的值的和，
我们需要
对我们已经有的信息做一些整理，
或许我们可以得到数字的一些约束之间的关系，
这样，我们就可以
发现所有的可能性。
我们来看，我们知道 a+b=c，
这样我们可以用 a+b 代替 c ，
那么这里这个表达式就成为
ab，它是 a 乘以b ，乘以 c ，
但是我们不用c ，而在这里写上 a+b，
然后，它等于 6 乘以 a+b+c，
同样，我要用 a+b 来代替 c ，
然后，它能简化成什么？
在右边，我们有
6 乘以 a+b+a+b，
这就是 6 乘以 2a+2b
就是把两个a 和两个b 加起来，
我们可以把 2 提出来，
如果提出 2 ，它就是
12 乘以 a+b
这里，在左边，
它还是 a 乘以 b, 或者说 ab 乘以 a+b，
所以 ab 乘以 a+b 等于 12 乘以 a+b ,
这里就很有意思了，
我们可以两边除以 a+b，
我们知道 a+b 不会等于 0 ，
因为这些数必须是正数，
我这样说的原因就是假如它是 0 ，
除以 0 会给出没有定义的解。
如果两边除以 a+b，
我们的到 a 乘以 b 等于 12，
这样，所有题目给出的约束
经过处理后变成了这个表达式，
a 和 b 的积等于 12，
有许多数，
许多正整数，你可以让它们的积
等于 12，
我们来尝试找出它们，
我在这里写下几列，
我们说 a，b，c，
然后我们关心它们的积，
我把它写在这里 abc，
如果 a = 1, b 就是 12，
c 是它们的和，所以， c 就是 13，
1 乘以 12 乘以 13，
12 乘以12 是 144，再加上12 就是 156，
有兴趣的话，你可以验证它，
它等于 6 乘以它们的和，
它们的和是26， 26 乘以6 是 156，
它肯定是正确的。
它肯定符合这个约束。
它之所以是正确的，是因为我们根据这些约束，
把它简化为 a 乘以 b 等于 12。
我们再试一个，
2 乘以 6，它们的和是 8，
然后，如果我们求它们的积，
我们就有 2 乘以 6 是 12 再乘以 8 ，就是 96，
然后，我们来试 3 和 4，
3 加 4 是 7，
3 乘以 4 是 12，再乘以 7，
其实，我应该已经知道 a 乘以 b 总是 12，
所以，你只需要用 12 乘以最后一列，
12 乘以 7 是 84，
没有其他的了，
你肯定不能让它大于12，
因为那样你会面对非整数，
你会用到分数，
你也不能尝试它们的负数，
因为它们都是正整数，
就这些了。
这些就是所有可能的正整数，
如果你求它们的积，你得到12，
我们已经实质上是提出了因子12。
题目要求我们求出所有可能的 N 值的和，
那么，这些是可能的 N 值，
N 是这些整数的积，
我们来求和，
6 加 6 是 12 加 4 是 16，
1 加 5 是 6，加 9 是 15 加 8 是 23，2 加 1 是 3，
我们得答案是 336 .