WEBVTT

00:00:00.640 --> 00:00:04.700
我从 2003 年 AIME 试卷得到这个问题，

00:00:04.700 --> 00:00:08.360
AIME 就是美国数学邀请考试，

00:00:08.360 --> 00:00:10.880
实际上，这是那个考试的第一题。

00:00:10.880 --> 00:00:17.230
三个正整数的积，N， 是 6 乘以它们的和，

00:00:17.230 --> 00:00:20.060
三个整数中的一个是其他两个的和，

00:00:20.060 --> 00:00:24.080
找出所有可能的 N 的值，求和。

00:00:24.080 --> 00:00:27.380
我们是在和三个正整数打交道，

00:00:27.380 --> 00:00:30.650
这里我们有三个正整数，

00:00:30.650 --> 00:00:33.080
我们来考虑这三个正整数，

00:00:33.080 --> 00:00:35.405
我们叫它们 a, b, 和 c ，

00:00:35.405 --> 00:00:36.280
它们都是正的，

00:00:36.280 --> 00:00:37.530
它们都是整数，

00:00:37.530 --> 00:00:41.160
这三个正整数的积， N，

00:00:41.160 --> 00:00:45.490
就是 a 乘以 b 乘以 c 等于 N，

00:00:45.490 --> 00:00:51.110
它等于 6 乘以它们的和，

00:00:51.110 --> 00:00:52.810
我们用另一个颜色，

00:00:52.810 --> 00:00:54.450
这是它们的积，

00:00:54.450 --> 00:00:57.690
这三个正整数的积

00:00:57.690 --> 00:01:02.050
等于 6 乘以它们的和，

00:01:02.050 --> 00:01:04.440
所以，这就是 6 乘以

00:01:04.440 --> 00:01:09.510
这些整数的和， a+b+c

00:01:09.510 --> 00:01:19.950
而其中一个整数是其他两个的和，

00:01:19.950 --> 00:01:23.440
我们只要指定 c 是 a 和 b 的和，

00:01:23.440 --> 00:01:24.190
这没有问题，

00:01:24.190 --> 00:01:26.600
它们只是名字，我们没有说

00:01:26.600 --> 00:01:28.330
它们中的一个比另外的大或者小，

00:01:28.330 --> 00:01:30.030
我们就说，

00:01:30.030 --> 00:01:33.880
a+b = c，

00:01:33.880 --> 00:01:36.990
也就是一个整数是其他两个整数的和，c 是 a + b 的和，

00:01:36.990 --> 00:01:41.990
找出所有的可能的 N 的值的和，

00:01:41.990 --> 00:01:43.910
我们需要

00:01:43.910 --> 00:01:47.050
对我们已经有的信息做一些整理，

00:01:47.050 --> 00:01:51.696
或许我们可以得到数字的一些约束之间的关系，

00:01:51.696 --> 00:01:52.650
这样，我们就可以

00:01:52.650 --> 00:01:54.050
发现所有的可能性。

00:01:54.050 --> 00:01:56.730
我们来看，我们知道 a+b=c，

00:01:56.730 --> 00:02:02.360
这样我们可以用 a+b 代替 c ，

00:02:02.360 --> 00:02:04.110
那么这里这个表达式就成为

00:02:04.110 --> 00:02:09.130
ab，它是 a 乘以b ，乘以 c ，

00:02:09.130 --> 00:02:15.500
但是我们不用c ，而在这里写上 a+b，

00:02:15.500 --> 00:02:25.440
然后，它等于 6 乘以 a+b+c，

00:02:25.440 --> 00:02:31.360
同样，我要用 a+b 来代替 c ，

00:02:31.360 --> 00:02:33.610
然后，它能简化成什么？

00:02:33.610 --> 00:02:36.150
在右边，我们有

00:02:36.150 --> 00:02:37.020
6 乘以 a+b+a+b，

00:02:37.020 --> 00:02:43.680
这就是 6 乘以 2a+2b

00:02:43.680 --> 00:02:45.520
就是把两个a 和两个b 加起来，

00:02:45.520 --> 00:02:46.700
我们可以把 2 提出来，

00:02:46.700 --> 00:02:49.740
如果提出 2 ，它就是

00:02:49.740 --> 00:02:53.320
12 乘以 a+b

00:02:53.320 --> 00:02:55.856
这里，在左边，

00:02:55.856 --> 00:03:01.720
它还是 a 乘以 b, 或者说 ab 乘以 a+b，

00:03:01.720 --> 00:03:07.710
所以 ab 乘以 a+b 等于 12 乘以 a+b ,

00:03:07.710 --> 00:03:09.430
这里就很有意思了，

00:03:09.430 --> 00:03:12.610
我们可以两边除以 a+b，

00:03:12.610 --> 00:03:17.140
我们知道 a+b 不会等于 0 ，

00:03:17.140 --> 00:03:19.410
因为这些数必须是正数，

00:03:19.410 --> 00:03:24.740
我这样说的原因就是假如它是 0 ，

00:03:24.740 --> 00:03:27.450
除以 0 会给出没有定义的解。

00:03:27.450 --> 00:03:30.130
如果两边除以 a+b，

00:03:30.130 --> 00:03:34.150
我们的到 a 乘以 b 等于 12，

00:03:34.150 --> 00:03:36.140
这样，所有题目给出的约束

00:03:36.140 --> 00:03:38.290
经过处理后变成了这个表达式，

00:03:38.290 --> 00:03:41.530
a 和 b 的积等于 12，

00:03:41.530 --> 00:03:43.726
有许多数，

00:03:43.726 --> 00:03:46.100
许多正整数，你可以让它们的积

00:03:46.100 --> 00:03:46.950
等于 12，

00:03:46.950 --> 00:03:49.174
我们来尝试找出它们，

00:03:49.174 --> 00:03:50.590
我在这里写下几列，

00:03:50.590 --> 00:03:54.290
我们说 a，b，c，

00:03:54.290 --> 00:04:00.070
然后我们关心它们的积，

00:04:00.070 --> 00:04:03.700
我把它写在这里 abc，

00:04:03.700 --> 00:04:08.050
如果 a = 1, b 就是 12，

00:04:08.050 --> 00:04:11.980
c 是它们的和，所以， c 就是 13，

00:04:11.980 --> 00:04:15.380
1 乘以 12 乘以 13，

00:04:15.380 --> 00:04:21.959
12 乘以12 是 144，再加上12 就是 156，

00:04:21.959 --> 00:04:24.620
有兴趣的话，你可以验证它，

00:04:24.620 --> 00:04:27.035
它等于 6 乘以它们的和，

00:04:27.035 --> 00:04:32.280
它们的和是26， 26 乘以6 是 156，

00:04:32.280 --> 00:04:33.530
它肯定是正确的。

00:04:33.530 --> 00:04:34.850
它肯定符合这个约束。

00:04:34.850 --> 00:04:37.100
它之所以是正确的，是因为我们根据这些约束，

00:04:37.100 --> 00:04:40.060
把它简化为 a 乘以 b 等于 12。

00:04:40.060 --> 00:04:41.720
我们再试一个，

00:04:41.720 --> 00:04:45.670
2 乘以 6，它们的和是 8，

00:04:45.670 --> 00:04:48.200
然后，如果我们求它们的积，

00:04:48.200 --> 00:04:55.370
我们就有 2 乘以 6 是 12 再乘以 8 ，就是 96，

00:04:55.370 --> 00:04:58.830
然后，我们来试 3 和 4，

00:04:58.830 --> 00:05:01.154
3 加 4 是 7，

00:05:01.154 --> 00:05:06.705
3 乘以 4 是 12，再乘以 7，

00:05:06.705 --> 00:05:09.080
其实，我应该已经知道 a 乘以 b 总是 12，

00:05:09.080 --> 00:05:11.560
所以，你只需要用 12 乘以最后一列，

00:05:11.560 --> 00:05:16.610
12 乘以 7 是 84，

00:05:16.610 --> 00:05:19.199
没有其他的了，

00:05:19.199 --> 00:05:21.240
你肯定不能让它大于12，

00:05:21.240 --> 00:05:22.580
因为那样你会面对非整数，

00:05:22.580 --> 00:05:23.840
你会用到分数，

00:05:23.840 --> 00:05:25.520
你也不能尝试它们的负数，

00:05:25.520 --> 00:05:27.436
因为它们都是正整数，

00:05:27.436 --> 00:05:28.120
就这些了。

00:05:28.120 --> 00:05:30.620
这些就是所有可能的正整数，

00:05:30.620 --> 00:05:33.070
如果你求它们的积，你得到12，

00:05:33.070 --> 00:05:35.300
我们已经实质上是提出了因子12。

00:05:35.300 --> 00:05:41.620
题目要求我们求出所有可能的 N 值的和，

00:05:41.620 --> 00:05:43.420
那么，这些是可能的 N 值，

00:05:43.420 --> 00:05:45.350
N 是这些整数的积，

00:05:45.350 --> 00:05:47.920
我们来求和，

00:05:47.920 --> 00:05:52.980
6 加 6 是 12 加 4 是 16，

00:05:52.980 --> 00:06:01.740
1 加 5 是 6，加 9 是 15 加 8 是 23，2 加 1 是 3，

00:06:01.740 --> 00:06:06.670
我们得答案是 336 .