2003 AIME II Problem 1

Mam tutaj problem z 2003 roku z testu AIME.

To skrót od American Invitational
Mathematics Exam

i był to pierwszy problem na tym teście.

Iloczyn N trzech dodatnich liczb całkowitych

jest sześć razy większy od ich sumy

i jedna z tych liczb jest sumą dwóch pozostałych.

Znajdź sumę wszystkich możliwych wartości N.

Więc będziemy miec do czynienia z trzema dodatnimi liczbami całkowitymi.

Więc mamy trzy dodatnie liczby całkowite dokładnie tutaj,

pomyślmy o trzech dodatnich liczbach całkowitych.

Nazwijmy je a,b, oraz c.

Wszystkie są dodatnie i całkowite.

Iloraz N, tych trzech dodatnich liczb całkowitych.

Więc a razy b razy c równe N, jest sześć razy większe od ich sumy.

To jest równe sześciokrotności sumy.

Napiszę to innym kolorem.

Więc to jest ich iloczyn.

Iloczyn N trzech dodatnich liczb całkowitych jest sześć razy większy od ich sumy.

Więc to jest równe sześć razy suma tych liczb całkowitych, a dodać b dodać c.

Jedna z tych liczb jest równa sumie dwóch pozostałych.

Jedna z tych liczb jest równa sumie dwóch pozostałych.

Weźmy c jako sumę a i b.

Możemy to zrobić, nieważne jak je oznaczyliśmy,

nie było powiedziane że jedna z nich jest większa lub mniejsza od innej.

Więc napiszmy, że a dodać b jest równe c.

Jedna z niewiadomych jest równa sumie dwóch pozostałych, c jest sumą a i b.

Znajdź sumę wszystkich możliwych wartości N.

Spróbujmy więc trochę

przekształcić informację które tutaj mamy, może

znajdziemy jakieś związki między tymi liczbami, lub ograniczenia w wartościach

naszych liczb i wtedy będziemy mogli rozważyć wszystkie przypadki.

Zobaczmy, wiemy że a dodać b jest równe c.

Więc możemy zastąpić c wszędzie wyrażeniem a+b, w ten sposób

to wyrażenie zamienia się na ab, które oznacza po prostu a razy b razy c,

ale zamiast c, napiszę tutaj a dodać b

i wtedy to jest równe 6 razy a dodać b

a dodać b dodać c

Więc znów zamienię c na a dodać b.

W jaki sposób możemy teraz to uprościć.

Więc z prawej strony mamy 6 razy a dodać b dodać a dodać b.

To jest to same co 6 razy 2a dodać 2b,

po prostu dodaliśmy do siebie wszystkie a i b.

To będzie to samo jeżeli wyciągniemy dwa, sześć razy 2 jest 12, razy a

dodać b, z lewej strony równania nadal jest

a razy b, albo ab, razy a dodać b, więc ab razy

a dodać b, ma być równe 12 razy a dodać b.

To jest całkiem ciekawe, możemy podzielic obie strony przez a dodać b.

Wiemy, że a dodać b, niebędzie równe, niemoże być

równe zero dopóki wszystkie te liczby mają być dodatnie.

Więc jeśli podzielimy obie strony, a powód dla którego to do ciebie mówię to:

Jeśli podzielisz, a to będzie zero, dzielenie przez zero da ci nieokreślony wynik.

Więc jeśli dzielimy obie strony przez a dodać b, otrzymamy a razy b jest równe dwanaście.

Więc wszystkie ograniczenie które nam dali sprowadzają się do

tego tutaj, ilorazu a i b, równego

12, a jest tylko kilka liczb, kilka

dodatnich całkowitych liczb, które po pomnożeniu dają dwanaście.

Znajdźmy je.

Znajdźmy je.

Narysuję tutaj kilka kolumn.

Napiszmy, a,b,c i teraz zajmijmy się ich iloczynem.

Interesuje nas ich iloczyn.

Napiszę więc to tutaj.

Więc a,b,c.

Jeżeli a jest równe 1, b musi być równe 12, c jest sumą

tych dwóch, więc c jest równe 13,12, 1 razy

12 razy 13, 12 razy 12 to 144, dodać kolejne 12 to będzie 156

Dla zabawy możesz sprawdzić, że

to będzie równe 6 razy ich suma.

Ich suma to 26, 26 razy 6 to 156

więc to zdecydowanie działa, jest zgodne z

ograniczeniem, bo powinno, gdyż my sprowadziliśmy te ograniczenia

do a razy b musi być równe 12.

Więc spróbujmy z koleją liczbą, 2 razy 6, ich suma to

8, i jeżeli weźmiemy iloczyn ich wszystkich,

dostaniemy 2 razy 6 równe 12, razy 8 to 96, 96.

Teraz możemy spróbować dla 3 i 4, 3 dodać 4 to 7,

3 razy 4 to,3 razy 4 to 12, razy 7, właściwie powinienem

to wiedzieć, a razy b to zawsze 12, więc my tylko musimy pomnożyć 12 przez ostatnią kolumnę.

12 razy 7 to 84, 12 razy 7 to 84, i tutaj

niema innych liczb, niemożemy iść wyżej niż 12, bo wtedy

będziemy operować na liczbach nie całkowitych, będziemy mieli do czynienia z ułamkami.

Niemożemy wykonać ujemnej wersji tego, gdyż

to wszystko mają być liczby całkowite dodatnie, więc to jest to

to są wszystkie możliwe dodatnie liczby całkowite,

my bierzemy ich iloczyn, otrzymujemy, otrzymujemy 12.

W zasadzie uwzględniliśmy 12.

Więc oni chcą od nas, aby znaleźć sumę wszystkich możliwych wartości N.

To są wszystkie możliwe wartości N.

N to iloczyn tych liczb, więc zabierzmy się za nie.

Weźmy ich sumę, 6 dodać 6 to 12, dodać 4 to 16,

1 dodać 5 to 6, dodać 9 to 15, dodać 8 to 23,

2 dodać 1 to 3,

więc nasza odpowiedź to 336.