WEBVTT 00:00:00.730 --> 00:00:04.700 Mam tutaj problem z 2003 roku z testu AIME. 00:00:04.700 --> 00:00:08.340 To skrót od American Invitational Mathematics Exam 00:00:08.340 --> 00:00:10.318 i był to pierwszy problem na tym teście. 00:00:10.318 --> 00:00:14.330 Iloczyn N trzech dodatnich liczb całkowitych 00:00:14.330 --> 00:00:17.330 jest sześć razy większy od ich sumy 00:00:17.330 --> 00:00:20.180 i jedna z tych liczb jest sumą dwóch pozostałych. 00:00:20.180 --> 00:00:24.080 Znajdź sumę wszystkich możliwych wartości N. 00:00:24.080 --> 00:00:27.220 Więc będziemy miec do czynienia z trzema dodatnimi liczbami całkowitymi. 00:00:27.220 --> 00:00:30.370 Więc mamy trzy dodatnie liczby całkowite dokładnie tutaj, 00:00:30.370 --> 00:00:32.910 pomyślmy o trzech dodatnich liczbach całkowitych. 00:00:32.910 --> 00:00:35.450 Nazwijmy je a,b, oraz c. 00:00:35.450 --> 00:00:37.670 Wszystkie są dodatnie i całkowite. 00:00:37.670 --> 00:00:41.110 Iloraz N, tych trzech dodatnich liczb całkowitych. 00:00:41.110 --> 00:00:48.120 Więc a razy b razy c równe N, jest sześć razy większe od ich sumy. 00:00:48.120 --> 00:00:50.660 To jest równe sześciokrotności sumy. 00:00:50.660 --> 00:00:52.840 Napiszę to innym kolorem. 00:00:52.840 --> 00:00:54.430 Więc to jest ich iloczyn. 00:00:54.430 --> 00:01:02.080 Iloczyn N trzech dodatnich liczb całkowitych jest sześć razy większy od ich sumy. 00:01:02.080 --> 00:01:09.650 Więc to jest równe sześć razy suma tych liczb całkowitych, a dodać b dodać c. 00:01:09.650 --> 00:01:13.290 Jedna z tych liczb jest równa sumie dwóch pozostałych. 00:01:14.170 --> 00:01:19.240 Jedna z tych liczb jest równa sumie dwóch pozostałych. 00:01:19.240 --> 00:01:22.660 Weźmy c jako sumę a i b. 00:01:22.660 --> 00:01:25.600 Możemy to zrobić, nieważne jak je oznaczyliśmy, 00:01:25.600 --> 00:01:28.270 nie było powiedziane że jedna z nich jest większa lub mniejsza od innej. 00:01:28.270 --> 00:01:32.220 Więc napiszmy, że a dodać b jest równe c. 00:01:32.220 --> 00:01:37.090 Jedna z niewiadomych jest równa sumie dwóch pozostałych, c jest sumą a i b. 00:01:37.090 --> 00:01:40.913 Znajdź sumę wszystkich możliwych wartości N. 00:01:40.913 --> 00:01:44.420 Spróbujmy więc trochę 00:01:44.420 --> 00:01:47.263 przekształcić informację które tutaj mamy, może 00:01:47.263 --> 00:01:50.570 znajdziemy jakieś związki między tymi liczbami, lub ograniczenia w wartościach 00:01:50.570 --> 00:01:54.050 naszych liczb i wtedy będziemy mogli rozważyć wszystkie przypadki. 00:01:54.050 --> 00:01:56.730 Zobaczmy, wiemy że a dodać b jest równe c. 00:01:56.730 --> 00:02:02.970 Więc możemy zastąpić c wszędzie wyrażeniem a+b, w ten sposób 00:02:02.970 --> 00:02:09.220 to wyrażenie zamienia się na ab, które oznacza po prostu a razy b razy c, 00:02:09.220 --> 00:02:14.360 ale zamiast c, napiszę tutaj a dodać b 00:02:15.620 --> 00:02:22.140 i wtedy to jest równe 6 razy a dodać b 00:02:22.140 --> 00:02:24.958 a dodać b dodać c 00:02:24.958 --> 00:02:30.790 Więc znów zamienię c na a dodać b. 00:02:30.790 --> 00:02:33.710 W jaki sposób możemy teraz to uprościć. 00:02:33.710 --> 00:02:37.020 Więc z prawej strony mamy 6 razy a dodać b dodać a dodać b. 00:02:37.020 --> 00:02:43.690 To jest to same co 6 razy 2a dodać 2b, 00:02:43.690 --> 00:02:46.820 po prostu dodaliśmy do siebie wszystkie a i b. 00:02:46.820 --> 00:02:52.350 To będzie to samo jeżeli wyciągniemy dwa, sześć razy 2 jest 12, razy a 00:02:52.350 --> 00:02:57.440 dodać b, z lewej strony równania nadal jest 00:02:57.440 --> 00:03:02.434 a razy b, albo ab, razy a dodać b, więc ab razy 00:03:02.434 --> 00:03:07.810 a dodać b, ma być równe 12 razy a dodać b. 00:03:07.810 --> 00:03:12.680 To jest całkiem ciekawe, możemy podzielic obie strony przez a dodać b. 00:03:12.680 --> 00:03:15.740 Wiemy, że a dodać b, niebędzie równe, niemoże być 00:03:15.740 --> 00:03:19.480 równe zero dopóki wszystkie te liczby mają być dodatnie. 00:03:19.480 --> 00:03:23.060 Więc jeśli podzielimy obie strony, a powód dla którego to do ciebie mówię to: 00:03:23.060 --> 00:03:27.580 Jeśli podzielisz, a to będzie zero, dzielenie przez zero da ci nieokreślony wynik. 00:03:27.580 --> 00:03:34.130 Więc jeśli dzielimy obie strony przez a dodać b, otrzymamy a razy b jest równe dwanaście. 00:03:34.130 --> 00:03:37.430 Więc wszystkie ograniczenie które nam dali sprowadzają się do 00:03:37.430 --> 00:03:40.590 tego tutaj, ilorazu a i b, równego 00:03:40.590 --> 00:03:43.990 12, a jest tylko kilka liczb, kilka 00:03:43.990 --> 00:03:47.040 dodatnich całkowitych liczb, które po pomnożeniu dają dwanaście. 00:03:47.040 --> 00:03:48.520 Znajdźmy je. 00:03:48.520 --> 00:03:49.520 Znajdźmy je. 00:03:49.520 --> 00:03:50.800 Narysuję tutaj kilka kolumn. 00:03:50.800 --> 00:03:58.730 Napiszmy, a,b,c i teraz zajmijmy się ich iloczynem. 00:03:58.730 --> 00:03:59.980 Interesuje nas ich iloczyn. 00:03:59.980 --> 00:04:01.106 Napiszę więc to tutaj. 00:04:01.106 --> 00:04:03.800 Więc a,b,c. 00:04:03.800 --> 00:04:09.770 Jeżeli a jest równe 1, b musi być równe 12, c jest sumą 00:04:09.770 --> 00:04:13.790 tych dwóch, więc c jest równe 13,12, 1 razy 00:04:13.790 --> 00:04:22.379 12 razy 13, 12 razy 12 to 144, dodać kolejne 12 to będzie 156 00:04:22.379 --> 00:04:24.420 Dla zabawy możesz sprawdzić, że 00:04:24.420 --> 00:04:27.240 to będzie równe 6 razy ich suma. 00:04:27.240 --> 00:04:32.480 Ich suma to 26, 26 razy 6 to 156 00:04:32.480 --> 00:04:34.500 więc to zdecydowanie działa, jest zgodne z 00:04:34.500 --> 00:04:37.048 ograniczeniem, bo powinno, gdyż my sprowadziliśmy te ograniczenia 00:04:37.048 --> 00:04:39.820 do a razy b musi być równe 12. 00:04:39.820 --> 00:04:45.007 Więc spróbujmy z koleją liczbą, 2 razy 6, ich suma to 00:04:45.007 --> 00:04:48.530 8, i jeżeli weźmiemy iloczyn ich wszystkich, 00:04:48.530 --> 00:04:55.330 dostaniemy 2 razy 6 równe 12, razy 8 to 96, 96. 00:04:55.330 --> 00:05:00.540 Teraz możemy spróbować dla 3 i 4, 3 dodać 4 to 7, 00:05:00.540 --> 00:05:06.470 3 razy 4 to,3 razy 4 to 12, razy 7, właściwie powinienem 00:05:06.470 --> 00:05:11.660 to wiedzieć, a razy b to zawsze 12, więc my tylko musimy pomnożyć 12 przez ostatnią kolumnę. 00:05:11.660 --> 00:05:15.040 12 razy 7 to 84, 12 razy 7 to 84, i tutaj 00:05:17.110 --> 00:05:21.150 niema innych liczb, niemożemy iść wyżej niż 12, bo wtedy 00:05:21.150 --> 00:05:23.980 będziemy operować na liczbach nie całkowitych, będziemy mieli do czynienia z ułamkami. 00:05:23.980 --> 00:05:25.940 Niemożemy wykonać ujemnej wersji tego, gdyż 00:05:25.940 --> 00:05:28.230 to wszystko mają być liczby całkowite dodatnie, więc to jest to 00:05:28.230 --> 00:05:30.730 to są wszystkie możliwe dodatnie liczby całkowite, 00:05:30.730 --> 00:05:33.010 my bierzemy ich iloczyn, otrzymujemy, otrzymujemy 12. 00:05:33.010 --> 00:05:35.110 W zasadzie uwzględniliśmy 12. 00:05:35.110 --> 00:05:40.750 Więc oni chcą od nas, aby znaleźć sumę wszystkich możliwych wartości N. 00:05:40.750 --> 00:05:43.910 To są wszystkie możliwe wartości N. 00:05:43.910 --> 00:05:46.460 N to iloczyn tych liczb, więc zabierzmy się za nie. 00:05:46.460 --> 00:05:51.680 Weźmy ich sumę, 6 dodać 6 to 12, dodać 4 to 16, 00:05:51.680 --> 00:05:59.890 1 dodać 5 to 6, dodać 9 to 15, dodać 8 to 23, 00:05:59.890 --> 00:06:01.960 2 dodać 1 to 3, 00:06:01.960 --> 00:06:07.189 więc nasza odpowiedź to 336.