[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.73,0:00:04.70,Default,,0000,0000,0000,,Mam tutaj problem z 2003 roku z testu AIME.
Dialogue: 0,0:00:04.70,0:00:08.34,Default,,0000,0000,0000,,To skrót od American Invitational\NMathematics Exam
Dialogue: 0,0:00:08.34,0:00:10.32,Default,,0000,0000,0000,,i był to pierwszy problem na tym teście.
Dialogue: 0,0:00:10.32,0:00:14.33,Default,,0000,0000,0000,,Iloczyn N trzech dodatnich liczb całkowitych
Dialogue: 0,0:00:14.33,0:00:17.33,Default,,0000,0000,0000,,jest sześć razy większy od ich sumy
Dialogue: 0,0:00:17.33,0:00:20.18,Default,,0000,0000,0000,,i jedna z tych liczb jest sumą dwóch pozostałych.
Dialogue: 0,0:00:20.18,0:00:24.08,Default,,0000,0000,0000,,Znajdź sumę wszystkich możliwych wartości N.
Dialogue: 0,0:00:24.08,0:00:27.22,Default,,0000,0000,0000,,Więc będziemy miec do czynienia z trzema dodatnimi liczbami całkowitymi.
Dialogue: 0,0:00:27.22,0:00:30.37,Default,,0000,0000,0000,,Więc mamy trzy dodatnie liczby całkowite dokładnie tutaj,
Dialogue: 0,0:00:30.37,0:00:32.91,Default,,0000,0000,0000,,pomyślmy o trzech dodatnich liczbach całkowitych.
Dialogue: 0,0:00:32.91,0:00:35.45,Default,,0000,0000,0000,,Nazwijmy je a,b, oraz c.
Dialogue: 0,0:00:35.45,0:00:37.67,Default,,0000,0000,0000,,Wszystkie są dodatnie i całkowite.
Dialogue: 0,0:00:37.67,0:00:41.11,Default,,0000,0000,0000,,Iloraz N, tych trzech dodatnich liczb całkowitych.
Dialogue: 0,0:00:41.11,0:00:48.12,Default,,0000,0000,0000,,Więc a razy b razy c równe N, jest sześć razy większe od ich sumy.
Dialogue: 0,0:00:48.12,0:00:50.66,Default,,0000,0000,0000,,To jest równe sześciokrotności sumy.
Dialogue: 0,0:00:50.66,0:00:52.84,Default,,0000,0000,0000,,Napiszę to innym kolorem.
Dialogue: 0,0:00:52.84,0:00:54.43,Default,,0000,0000,0000,,Więc to jest ich iloczyn.
Dialogue: 0,0:00:54.43,0:01:02.08,Default,,0000,0000,0000,,Iloczyn N trzech dodatnich liczb całkowitych jest sześć razy większy od ich sumy.
Dialogue: 0,0:01:02.08,0:01:09.65,Default,,0000,0000,0000,,Więc to jest równe sześć razy suma tych liczb całkowitych, a dodać b dodać c.
Dialogue: 0,0:01:09.65,0:01:13.29,Default,,0000,0000,0000,,Jedna z tych liczb jest równa sumie dwóch pozostałych.
Dialogue: 0,0:01:14.17,0:01:19.24,Default,,0000,0000,0000,,Jedna z tych liczb jest równa sumie dwóch pozostałych.
Dialogue: 0,0:01:19.24,0:01:22.66,Default,,0000,0000,0000,,Weźmy c jako sumę a i b.
Dialogue: 0,0:01:22.66,0:01:25.60,Default,,0000,0000,0000,,Możemy to zrobić, nieważne jak je oznaczyliśmy,
Dialogue: 0,0:01:25.60,0:01:28.27,Default,,0000,0000,0000,,nie było powiedziane że jedna z nich jest większa lub mniejsza od innej.
Dialogue: 0,0:01:28.27,0:01:32.22,Default,,0000,0000,0000,,Więc napiszmy, że a dodać b jest równe c.
Dialogue: 0,0:01:32.22,0:01:37.09,Default,,0000,0000,0000,,Jedna z niewiadomych jest równa sumie dwóch pozostałych, c jest sumą a i b.
Dialogue: 0,0:01:37.09,0:01:40.91,Default,,0000,0000,0000,,Znajdź sumę wszystkich możliwych wartości N.
Dialogue: 0,0:01:40.91,0:01:44.42,Default,,0000,0000,0000,,Spróbujmy więc trochę
Dialogue: 0,0:01:44.42,0:01:47.26,Default,,0000,0000,0000,,przekształcić informację które tutaj mamy, może
Dialogue: 0,0:01:47.26,0:01:50.57,Default,,0000,0000,0000,,znajdziemy jakieś związki między tymi liczbami, lub ograniczenia w wartościach
Dialogue: 0,0:01:50.57,0:01:54.05,Default,,0000,0000,0000,,naszych liczb i wtedy będziemy mogli rozważyć wszystkie przypadki.
Dialogue: 0,0:01:54.05,0:01:56.73,Default,,0000,0000,0000,,Zobaczmy, wiemy że a dodać b jest równe c.
Dialogue: 0,0:01:56.73,0:02:02.97,Default,,0000,0000,0000,,Więc możemy zastąpić c wszędzie wyrażeniem a+b, w ten sposób
Dialogue: 0,0:02:02.97,0:02:09.22,Default,,0000,0000,0000,,to wyrażenie zamienia się na ab, które oznacza po prostu a razy b razy c,
Dialogue: 0,0:02:09.22,0:02:14.36,Default,,0000,0000,0000,,ale zamiast c, napiszę tutaj a dodać b
Dialogue: 0,0:02:15.62,0:02:22.14,Default,,0000,0000,0000,,i wtedy to jest równe 6 razy a dodać b
Dialogue: 0,0:02:22.14,0:02:24.96,Default,,0000,0000,0000,,a dodać b dodać c
Dialogue: 0,0:02:24.96,0:02:30.79,Default,,0000,0000,0000,,Więc znów zamienię c na a dodać b.
Dialogue: 0,0:02:30.79,0:02:33.71,Default,,0000,0000,0000,,W jaki sposób możemy teraz to uprościć.
Dialogue: 0,0:02:33.71,0:02:37.02,Default,,0000,0000,0000,,Więc z prawej strony mamy 6 razy a dodać b dodać a dodać b.
Dialogue: 0,0:02:37.02,0:02:43.69,Default,,0000,0000,0000,,To jest to same co 6 razy 2a dodać 2b,
Dialogue: 0,0:02:43.69,0:02:46.82,Default,,0000,0000,0000,,po prostu dodaliśmy do siebie wszystkie a i b.
Dialogue: 0,0:02:46.82,0:02:52.35,Default,,0000,0000,0000,,To będzie to samo jeżeli wyciągniemy dwa, sześć razy 2 jest 12, razy a
Dialogue: 0,0:02:52.35,0:02:57.44,Default,,0000,0000,0000,,dodać b, z lewej strony równania nadal jest
Dialogue: 0,0:02:57.44,0:03:02.43,Default,,0000,0000,0000,,a razy b, albo ab, razy a dodać b, więc ab razy
Dialogue: 0,0:03:02.43,0:03:07.81,Default,,0000,0000,0000,,a dodać b, ma być równe 12 razy a dodać b.
Dialogue: 0,0:03:07.81,0:03:12.68,Default,,0000,0000,0000,,To jest całkiem ciekawe, możemy podzielic obie strony przez a dodać b.
Dialogue: 0,0:03:12.68,0:03:15.74,Default,,0000,0000,0000,,Wiemy, że a dodać b, niebędzie równe, niemoże być
Dialogue: 0,0:03:15.74,0:03:19.48,Default,,0000,0000,0000,,równe zero dopóki wszystkie te liczby mają być dodatnie.
Dialogue: 0,0:03:19.48,0:03:23.06,Default,,0000,0000,0000,,Więc jeśli podzielimy obie strony, a powód dla którego to do ciebie mówię to:
Dialogue: 0,0:03:23.06,0:03:27.58,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli podzielisz, a to będzie zero, dzielenie przez zero da ci nieokreślony wynik.
Dialogue: 0,0:03:27.58,0:03:34.13,Default,,0000,0000,0000,,Więc jeśli dzielimy obie strony przez a dodać b, otrzymamy a razy b jest równe dwanaście.
Dialogue: 0,0:03:34.13,0:03:37.43,Default,,0000,0000,0000,,Więc wszystkie ograniczenie które nam dali sprowadzają się do
Dialogue: 0,0:03:37.43,0:03:40.59,Default,,0000,0000,0000,,tego tutaj, ilorazu a i b, równego
Dialogue: 0,0:03:40.59,0:03:43.99,Default,,0000,0000,0000,,12, a jest tylko kilka liczb, kilka
Dialogue: 0,0:03:43.99,0:03:47.04,Default,,0000,0000,0000,,dodatnich całkowitych liczb, które po pomnożeniu dają dwanaście.
Dialogue: 0,0:03:47.04,0:03:48.52,Default,,0000,0000,0000,,Znajdźmy je.
Dialogue: 0,0:03:48.52,0:03:49.52,Default,,0000,0000,0000,,Znajdźmy je.
Dialogue: 0,0:03:49.52,0:03:50.80,Default,,0000,0000,0000,,Narysuję tutaj kilka kolumn.
Dialogue: 0,0:03:50.80,0:03:58.73,Default,,0000,0000,0000,,Napiszmy, a,b,c i teraz zajmijmy się ich iloczynem.
Dialogue: 0,0:03:58.73,0:03:59.98,Default,,0000,0000,0000,,Interesuje nas ich iloczyn.
Dialogue: 0,0:03:59.98,0:04:01.11,Default,,0000,0000,0000,,Napiszę więc to tutaj.
Dialogue: 0,0:04:01.11,0:04:03.80,Default,,0000,0000,0000,,Więc a,b,c.
Dialogue: 0,0:04:03.80,0:04:09.77,Default,,0000,0000,0000,,Jeżeli a jest równe 1, b musi być równe 12, c jest sumą
Dialogue: 0,0:04:09.77,0:04:13.79,Default,,0000,0000,0000,,tych dwóch, więc c jest równe 13,12, 1 razy
Dialogue: 0,0:04:13.79,0:04:22.38,Default,,0000,0000,0000,,12 razy 13, 12 razy 12 to 144, dodać kolejne 12 to będzie 156
Dialogue: 0,0:04:22.38,0:04:24.42,Default,,0000,0000,0000,,Dla zabawy możesz sprawdzić, że
Dialogue: 0,0:04:24.42,0:04:27.24,Default,,0000,0000,0000,,to będzie równe 6 razy ich suma.
Dialogue: 0,0:04:27.24,0:04:32.48,Default,,0000,0000,0000,,Ich suma to 26, 26 razy 6 to 156
Dialogue: 0,0:04:32.48,0:04:34.50,Default,,0000,0000,0000,,więc to zdecydowanie działa, jest zgodne z
Dialogue: 0,0:04:34.50,0:04:37.05,Default,,0000,0000,0000,,ograniczeniem, bo powinno, gdyż my sprowadziliśmy te ograniczenia
Dialogue: 0,0:04:37.05,0:04:39.82,Default,,0000,0000,0000,,do a razy b musi być równe 12.
Dialogue: 0,0:04:39.82,0:04:45.01,Default,,0000,0000,0000,,Więc spróbujmy z koleją liczbą, 2 razy 6, ich suma to
Dialogue: 0,0:04:45.01,0:04:48.53,Default,,0000,0000,0000,,8, i jeżeli weźmiemy iloczyn ich wszystkich,
Dialogue: 0,0:04:48.53,0:04:55.33,Default,,0000,0000,0000,,dostaniemy 2 razy 6 równe 12, razy 8 to 96, 96.
Dialogue: 0,0:04:55.33,0:05:00.54,Default,,0000,0000,0000,,Teraz możemy spróbować dla 3 i 4, 3 dodać 4 to 7,
Dialogue: 0,0:05:00.54,0:05:06.47,Default,,0000,0000,0000,,3 razy 4 to,3 razy 4 to 12, razy 7, właściwie powinienem
Dialogue: 0,0:05:06.47,0:05:11.66,Default,,0000,0000,0000,,to wiedzieć, a razy b to zawsze 12, więc my tylko musimy pomnożyć 12 przez ostatnią kolumnę.
Dialogue: 0,0:05:11.66,0:05:15.04,Default,,0000,0000,0000,,12 razy 7 to 84, 12 razy 7 to 84, i tutaj
Dialogue: 0,0:05:17.11,0:05:21.15,Default,,0000,0000,0000,,niema innych liczb, niemożemy iść wyżej niż 12, bo wtedy
Dialogue: 0,0:05:21.15,0:05:23.98,Default,,0000,0000,0000,,będziemy operować na liczbach nie całkowitych, będziemy mieli do czynienia z ułamkami.
Dialogue: 0,0:05:23.98,0:05:25.94,Default,,0000,0000,0000,,Niemożemy wykonać ujemnej wersji tego, gdyż
Dialogue: 0,0:05:25.94,0:05:28.23,Default,,0000,0000,0000,,to wszystko mają być liczby całkowite dodatnie, więc to jest to
Dialogue: 0,0:05:28.23,0:05:30.73,Default,,0000,0000,0000,,to są wszystkie możliwe dodatnie liczby całkowite,
Dialogue: 0,0:05:30.73,0:05:33.01,Default,,0000,0000,0000,,my bierzemy ich iloczyn, otrzymujemy, otrzymujemy 12.
Dialogue: 0,0:05:33.01,0:05:35.11,Default,,0000,0000,0000,,W zasadzie uwzględniliśmy 12.
Dialogue: 0,0:05:35.11,0:05:40.75,Default,,0000,0000,0000,,Więc oni chcą od nas, aby znaleźć sumę wszystkich możliwych wartości N.
Dialogue: 0,0:05:40.75,0:05:43.91,Default,,0000,0000,0000,,To są wszystkie możliwe wartości N.
Dialogue: 0,0:05:43.91,0:05:46.46,Default,,0000,0000,0000,,N to iloczyn tych liczb, więc zabierzmy się za nie.
Dialogue: 0,0:05:46.46,0:05:51.68,Default,,0000,0000,0000,,Weźmy ich sumę, 6 dodać 6 to 12, dodać 4 to 16,
Dialogue: 0,0:05:51.68,0:05:59.89,Default,,0000,0000,0000,,1 dodać 5 to 6, dodać 9 to 15, dodać 8 to 23,
Dialogue: 0,0:05:59.89,0:06:01.96,Default,,0000,0000,0000,,2 dodać 1 to 3,
Dialogue: 0,0:06:01.96,0:06:07.19,Default,,0000,0000,0000,,więc nasza odpowiedź to 336.