1
00:00:00,730 --> 00:00:04,700
Mam tutaj problem z 2003 roku z testu AIME.

2
00:00:04,700 --> 00:00:08,340
To skrót od American Invitational
Mathematics Exam

3
00:00:08,340 --> 00:00:10,318
i był to pierwszy problem na tym teście.

4
00:00:10,318 --> 00:00:14,330
Iloczyn N trzech dodatnich liczb całkowitych

5
00:00:14,330 --> 00:00:17,330
jest sześć razy większy od ich sumy

6
00:00:17,330 --> 00:00:20,180
i jedna z tych liczb jest sumą dwóch pozostałych.

7
00:00:20,180 --> 00:00:24,080
Znajdź sumę wszystkich możliwych wartości N.

8
00:00:24,080 --> 00:00:27,220
Więc będziemy miec do czynienia z trzema dodatnimi liczbami całkowitymi.

9
00:00:27,220 --> 00:00:30,370
Więc mamy trzy dodatnie liczby całkowite dokładnie tutaj,

10
00:00:30,370 --> 00:00:32,910
pomyślmy o trzech dodatnich liczbach całkowitych.

11
00:00:32,910 --> 00:00:35,450
Nazwijmy je a,b, oraz c.

12
00:00:35,450 --> 00:00:37,670
Wszystkie są dodatnie i całkowite.

13
00:00:37,670 --> 00:00:41,110
Iloraz N, tych trzech dodatnich liczb całkowitych.

14
00:00:41,110 --> 00:00:48,120
Więc a razy b razy c równe N, jest sześć razy większe od ich sumy.

15
00:00:48,120 --> 00:00:50,660
To jest równe sześciokrotności sumy.

16
00:00:50,660 --> 00:00:52,840
Napiszę to innym kolorem.

17
00:00:52,840 --> 00:00:54,430
Więc to jest ich iloczyn.

18
00:00:54,430 --> 00:01:02,080
Iloczyn N trzech dodatnich liczb całkowitych jest sześć razy większy od ich sumy.

19
00:01:02,080 --> 00:01:09,650
Więc to jest równe sześć razy suma tych liczb całkowitych, a dodać b dodać c.

20
00:01:09,650 --> 00:01:13,290
Jedna z tych liczb jest równa sumie dwóch pozostałych.

21
00:01:14,170 --> 00:01:19,240
Jedna z tych liczb jest równa sumie dwóch pozostałych.

22
00:01:19,240 --> 00:01:22,660
Weźmy c jako sumę a i b.

23
00:01:22,660 --> 00:01:25,600
Możemy to zrobić, nieważne jak je oznaczyliśmy,

24
00:01:25,600 --> 00:01:28,270
nie było powiedziane że jedna z nich jest większa lub mniejsza od innej.

25
00:01:28,270 --> 00:01:32,220
Więc napiszmy, że a dodać b jest równe c.

26
00:01:32,220 --> 00:01:37,090
Jedna z niewiadomych jest równa sumie dwóch pozostałych, c jest sumą a i b.

27
00:01:37,090 --> 00:01:40,913
Znajdź sumę wszystkich możliwych wartości N.

28
00:01:40,913 --> 00:01:44,420
Spróbujmy więc trochę

29
00:01:44,420 --> 00:01:47,263
przekształcić informację które tutaj mamy, może

30
00:01:47,263 --> 00:01:50,570
znajdziemy jakieś związki między tymi liczbami, lub ograniczenia w wartościach

31
00:01:50,570 --> 00:01:54,050
naszych liczb i wtedy będziemy mogli rozważyć wszystkie przypadki.

32
00:01:54,050 --> 00:01:56,730
Zobaczmy, wiemy że a dodać b jest równe c.

33
00:01:56,730 --> 00:02:02,970
Więc możemy zastąpić c wszędzie wyrażeniem a+b, w ten sposób

34
00:02:02,970 --> 00:02:09,220
to wyrażenie zamienia się na ab, które oznacza po prostu a razy b razy c,

35
00:02:09,220 --> 00:02:14,360
ale zamiast c, napiszę tutaj a dodać b

36
00:02:15,620 --> 00:02:22,140
i wtedy to jest równe 6 razy a dodać b

37
00:02:22,140 --> 00:02:24,958
a dodać b dodać c

38
00:02:24,958 --> 00:02:30,790
Więc znów zamienię c na a dodać b.

39
00:02:30,790 --> 00:02:33,710
W jaki sposób możemy teraz to uprościć.

40
00:02:33,710 --> 00:02:37,020
Więc z prawej strony mamy 6 razy a dodać b dodać a dodać b.

41
00:02:37,020 --> 00:02:43,690
To jest to same co 6 razy 2a dodać 2b,

42
00:02:43,690 --> 00:02:46,820
po prostu dodaliśmy do siebie wszystkie a i b.

43
00:02:46,820 --> 00:02:52,350
To będzie to samo jeżeli wyciągniemy dwa, sześć razy 2 jest 12, razy a

44
00:02:52,350 --> 00:02:57,440
dodać b, z lewej strony równania nadal jest

45
00:02:57,440 --> 00:03:02,434
a razy b, albo ab, razy a dodać b, więc ab razy

46
00:03:02,434 --> 00:03:07,810
a dodać b, ma być równe 12 razy a dodać b.

47
00:03:07,810 --> 00:03:12,680
To jest całkiem ciekawe, możemy podzielic obie strony przez a dodać b.

48
00:03:12,680 --> 00:03:15,740
Wiemy, że a dodać b, niebędzie równe, niemoże być

49
00:03:15,740 --> 00:03:19,480
równe zero dopóki wszystkie te liczby mają być dodatnie.

50
00:03:19,480 --> 00:03:23,060
Więc jeśli podzielimy obie strony, a powód dla którego to do ciebie mówię to:

51
00:03:23,060 --> 00:03:27,580
Jeśli podzielisz, a to będzie zero, dzielenie przez zero da ci nieokreślony wynik.

52
00:03:27,580 --> 00:03:34,130
Więc jeśli dzielimy obie strony przez a dodać b, otrzymamy a razy b jest równe dwanaście.

53
00:03:34,130 --> 00:03:37,430
Więc wszystkie ograniczenie które nam dali sprowadzają się do

54
00:03:37,430 --> 00:03:40,590
tego tutaj, ilorazu a i b, równego

55
00:03:40,590 --> 00:03:43,990
12, a jest tylko kilka liczb, kilka

56
00:03:43,990 --> 00:03:47,040
dodatnich całkowitych liczb, które po pomnożeniu dają dwanaście.

57
00:03:47,040 --> 00:03:48,520
Znajdźmy je.

58
00:03:48,520 --> 00:03:49,520
Znajdźmy je.

59
00:03:49,520 --> 00:03:50,800
Narysuję tutaj kilka kolumn.

60
00:03:50,800 --> 00:03:58,730
Napiszmy, a,b,c i teraz zajmijmy się ich iloczynem.

61
00:03:58,730 --> 00:03:59,980
Interesuje nas ich iloczyn.

62
00:03:59,980 --> 00:04:01,106
Napiszę więc to tutaj.

63
00:04:01,106 --> 00:04:03,800
Więc a,b,c.

64
00:04:03,800 --> 00:04:09,770
Jeżeli a jest równe 1, b musi być równe 12, c jest sumą

65
00:04:09,770 --> 00:04:13,790
tych dwóch, więc c jest równe 13,12, 1 razy

66
00:04:13,790 --> 00:04:22,379
12 razy 13, 12 razy 12 to 144, dodać kolejne 12 to będzie 156

67
00:04:22,379 --> 00:04:24,420
Dla zabawy możesz sprawdzić, że

68
00:04:24,420 --> 00:04:27,240
to będzie równe 6 razy ich suma.

69
00:04:27,240 --> 00:04:32,480
Ich suma to 26, 26 razy 6 to 156

70
00:04:32,480 --> 00:04:34,500
więc to zdecydowanie działa, jest zgodne z

71
00:04:34,500 --> 00:04:37,048
ograniczeniem, bo powinno, gdyż my sprowadziliśmy te ograniczenia

72
00:04:37,048 --> 00:04:39,820
do a razy b musi być równe 12.

73
00:04:39,820 --> 00:04:45,007
Więc spróbujmy z koleją liczbą, 2 razy 6, ich suma to

74
00:04:45,007 --> 00:04:48,530
8, i jeżeli weźmiemy iloczyn ich wszystkich,

75
00:04:48,530 --> 00:04:55,330
dostaniemy 2 razy 6 równe 12, razy 8 to 96, 96.

76
00:04:55,330 --> 00:05:00,540
Teraz możemy spróbować dla 3 i 4, 3 dodać 4 to 7,

77
00:05:00,540 --> 00:05:06,470
3 razy 4 to,3 razy 4 to 12, razy 7, właściwie powinienem

78
00:05:06,470 --> 00:05:11,660
to wiedzieć, a razy b to zawsze 12, więc my tylko musimy pomnożyć 12 przez ostatnią kolumnę.

79
00:05:11,660 --> 00:05:15,040
12 razy 7 to 84, 12 razy 7 to 84, i tutaj

80
00:05:17,110 --> 00:05:21,150
niema innych liczb, niemożemy iść wyżej niż 12, bo wtedy

81
00:05:21,150 --> 00:05:23,980
będziemy operować na liczbach nie całkowitych, będziemy mieli do czynienia z ułamkami.

82
00:05:23,980 --> 00:05:25,940
Niemożemy wykonać ujemnej wersji tego, gdyż

83
00:05:25,940 --> 00:05:28,230
to wszystko mają być liczby całkowite dodatnie, więc to jest to

84
00:05:28,230 --> 00:05:30,730
to są wszystkie możliwe dodatnie liczby całkowite,

85
00:05:30,730 --> 00:05:33,010
my bierzemy ich iloczyn, otrzymujemy, otrzymujemy 12.

86
00:05:33,010 --> 00:05:35,110
W zasadzie uwzględniliśmy 12.

87
00:05:35,110 --> 00:05:40,750
Więc oni chcą od nas, aby znaleźć sumę wszystkich możliwych wartości N.

88
00:05:40,750 --> 00:05:43,910
To są wszystkie możliwe wartości N.

89
00:05:43,910 --> 00:05:46,460
N to iloczyn tych liczb, więc zabierzmy się za nie.

90
00:05:46,460 --> 00:05:51,680
Weźmy ich sumę, 6 dodać 6 to 12, dodać 4 to 16,

91
00:05:51,680 --> 00:05:59,890
1 dodać 5 to 6, dodać 9 to 15, dodać 8 to 23,

92
00:05:59,890 --> 00:06:01,960
2 dodać 1 to 3,

93
00:06:01,960 --> 00:06:07,189
więc nasza odpowiedź to 336.