0:00:00.730,0:00:04.700
Mam tutaj problem z 2003 roku z testu AIME.

0:00:04.700,0:00:08.340
To skrót od American Invitational[br]Mathematics Exam

0:00:08.340,0:00:10.318
i był to pierwszy problem na tym teście.

0:00:10.318,0:00:14.330
Iloczyn N trzech dodatnich liczb całkowitych

0:00:14.330,0:00:17.330
jest sześć razy większy od ich sumy

0:00:17.330,0:00:20.180
i jedna z tych liczb jest sumą dwóch pozostałych.

0:00:20.180,0:00:24.080
Znajdź sumę wszystkich możliwych wartości N.

0:00:24.080,0:00:27.220
Więc będziemy miec do czynienia z trzema dodatnimi liczbami całkowitymi.

0:00:27.220,0:00:30.370
Więc mamy trzy dodatnie liczby całkowite dokładnie tutaj,

0:00:30.370,0:00:32.910
pomyślmy o trzech dodatnich liczbach całkowitych.

0:00:32.910,0:00:35.450
Nazwijmy je a,b, oraz c.

0:00:35.450,0:00:37.670
Wszystkie są dodatnie i całkowite.

0:00:37.670,0:00:41.110
Iloraz N, tych trzech dodatnich liczb całkowitych.

0:00:41.110,0:00:48.120
Więc a razy b razy c równe N, jest sześć razy większe od ich sumy.

0:00:48.120,0:00:50.660
To jest równe sześciokrotności sumy.

0:00:50.660,0:00:52.840
Napiszę to innym kolorem.

0:00:52.840,0:00:54.430
Więc to jest ich iloczyn.

0:00:54.430,0:01:02.080
Iloczyn N trzech dodatnich liczb całkowitych jest sześć razy większy od ich sumy.

0:01:02.080,0:01:09.650
Więc to jest równe sześć razy suma tych liczb całkowitych, a dodać b dodać c.

0:01:09.650,0:01:13.290
Jedna z tych liczb jest równa sumie dwóch pozostałych.

0:01:14.170,0:01:19.240
Jedna z tych liczb jest równa sumie dwóch pozostałych.

0:01:19.240,0:01:22.660
Weźmy c jako sumę a i b.

0:01:22.660,0:01:25.600
Możemy to zrobić, nieważne jak je oznaczyliśmy,

0:01:25.600,0:01:28.270
nie było powiedziane że jedna z nich jest większa lub mniejsza od innej.

0:01:28.270,0:01:32.220
Więc napiszmy, że a dodać b jest równe c.

0:01:32.220,0:01:37.090
Jedna z niewiadomych jest równa sumie dwóch pozostałych, c jest sumą a i b.

0:01:37.090,0:01:40.913
Znajdź sumę wszystkich możliwych wartości N.

0:01:40.913,0:01:44.420
Spróbujmy więc trochę

0:01:44.420,0:01:47.263
przekształcić informację które tutaj mamy, może

0:01:47.263,0:01:50.570
znajdziemy jakieś związki między tymi liczbami, lub ograniczenia w wartościach

0:01:50.570,0:01:54.050
naszych liczb i wtedy będziemy mogli rozważyć wszystkie przypadki.

0:01:54.050,0:01:56.730
Zobaczmy, wiemy że a dodać b jest równe c.

0:01:56.730,0:02:02.970
Więc możemy zastąpić c wszędzie wyrażeniem a+b, w ten sposób

0:02:02.970,0:02:09.220
to wyrażenie zamienia się na ab, które oznacza po prostu a razy b razy c,

0:02:09.220,0:02:14.360
ale zamiast c, napiszę tutaj a dodać b

0:02:15.620,0:02:22.140
i wtedy to jest równe 6 razy a dodać b

0:02:22.140,0:02:24.958
a dodać b dodać c

0:02:24.958,0:02:30.790
Więc znów zamienię c na a dodać b.

0:02:30.790,0:02:33.710
W jaki sposób możemy teraz to uprościć.

0:02:33.710,0:02:37.020
Więc z prawej strony mamy 6 razy a dodać b dodać a dodać b.

0:02:37.020,0:02:43.690
To jest to same co 6 razy 2a dodać 2b,

0:02:43.690,0:02:46.820
po prostu dodaliśmy do siebie wszystkie a i b.

0:02:46.820,0:02:52.350
To będzie to samo jeżeli wyciągniemy dwa, sześć razy 2 jest 12, razy a

0:02:52.350,0:02:57.440
dodać b, z lewej strony równania nadal jest

0:02:57.440,0:03:02.434
a razy b, albo ab, razy a dodać b, więc ab razy

0:03:02.434,0:03:07.810
a dodać b, ma być równe 12 razy a dodać b.

0:03:07.810,0:03:12.680
To jest całkiem ciekawe, możemy podzielic obie strony przez a dodać b.

0:03:12.680,0:03:15.740
Wiemy, że a dodać b, niebędzie równe, niemoże być

0:03:15.740,0:03:19.480
równe zero dopóki wszystkie te liczby mają być dodatnie.

0:03:19.480,0:03:23.060
Więc jeśli podzielimy obie strony, a powód dla którego to do ciebie mówię to:

0:03:23.060,0:03:27.580
Jeśli podzielisz, a to będzie zero, dzielenie przez zero da ci nieokreślony wynik.

0:03:27.580,0:03:34.130
Więc jeśli dzielimy obie strony przez a dodać b, otrzymamy a razy b jest równe dwanaście.

0:03:34.130,0:03:37.430
Więc wszystkie ograniczenie które nam dali sprowadzają się do

0:03:37.430,0:03:40.590
tego tutaj, ilorazu a i b, równego

0:03:40.590,0:03:43.990
12, a jest tylko kilka liczb, kilka

0:03:43.990,0:03:47.040
dodatnich całkowitych liczb, które po pomnożeniu dają dwanaście.

0:03:47.040,0:03:48.520
Znajdźmy je.

0:03:48.520,0:03:49.520
Znajdźmy je.

0:03:49.520,0:03:50.800
Narysuję tutaj kilka kolumn.

0:03:50.800,0:03:58.730
Napiszmy, a,b,c i teraz zajmijmy się ich iloczynem.

0:03:58.730,0:03:59.980
Interesuje nas ich iloczyn.

0:03:59.980,0:04:01.106
Napiszę więc to tutaj.

0:04:01.106,0:04:03.800
Więc a,b,c.

0:04:03.800,0:04:09.770
Jeżeli a jest równe 1, b musi być równe 12, c jest sumą

0:04:09.770,0:04:13.790
tych dwóch, więc c jest równe 13,12, 1 razy

0:04:13.790,0:04:22.379
12 razy 13, 12 razy 12 to 144, dodać kolejne 12 to będzie 156

0:04:22.379,0:04:24.420
Dla zabawy możesz sprawdzić, że

0:04:24.420,0:04:27.240
to będzie równe 6 razy ich suma.

0:04:27.240,0:04:32.480
Ich suma to 26, 26 razy 6 to 156

0:04:32.480,0:04:34.500
więc to zdecydowanie działa, jest zgodne z

0:04:34.500,0:04:37.048
ograniczeniem, bo powinno, gdyż my sprowadziliśmy te ograniczenia

0:04:37.048,0:04:39.820
do a razy b musi być równe 12.

0:04:39.820,0:04:45.007
Więc spróbujmy z koleją liczbą, 2 razy 6, ich suma to

0:04:45.007,0:04:48.530
8, i jeżeli weźmiemy iloczyn ich wszystkich,

0:04:48.530,0:04:55.330
dostaniemy 2 razy 6 równe 12, razy 8 to 96, 96.

0:04:55.330,0:05:00.540
Teraz możemy spróbować dla 3 i 4, 3 dodać 4 to 7,

0:05:00.540,0:05:06.470
3 razy 4 to,3 razy 4 to 12, razy 7, właściwie powinienem

0:05:06.470,0:05:11.660
to wiedzieć, a razy b to zawsze 12, więc my tylko musimy pomnożyć 12 przez ostatnią kolumnę.

0:05:11.660,0:05:15.040
12 razy 7 to 84, 12 razy 7 to 84, i tutaj

0:05:17.110,0:05:21.150
niema innych liczb, niemożemy iść wyżej niż 12, bo wtedy

0:05:21.150,0:05:23.980
będziemy operować na liczbach nie całkowitych, będziemy mieli do czynienia z ułamkami.

0:05:23.980,0:05:25.940
Niemożemy wykonać ujemnej wersji tego, gdyż

0:05:25.940,0:05:28.230
to wszystko mają być liczby całkowite dodatnie, więc to jest to

0:05:28.230,0:05:30.730
to są wszystkie możliwe dodatnie liczby całkowite,

0:05:30.730,0:05:33.010
my bierzemy ich iloczyn, otrzymujemy, otrzymujemy 12.

0:05:33.010,0:05:35.110
W zasadzie uwzględniliśmy 12.

0:05:35.110,0:05:40.750
Więc oni chcą od nas, aby znaleźć sumę wszystkich możliwych wartości N.

0:05:40.750,0:05:43.910
To są wszystkie możliwe wartości N.

0:05:43.910,0:05:46.460
N to iloczyn tych liczb, więc zabierzmy się za nie.

0:05:46.460,0:05:51.680
Weźmy ich sumę, 6 dodać 6 to 12, dodać 4 to 16,

0:05:51.680,0:05:59.890
1 dodać 5 to 6, dodać 9 to 15, dodać 8 to 23,

0:05:59.890,0:06:01.960
2 dodać 1 to 3,

0:06:01.960,0:06:07.189
więc nasza odpowiedź to 336.