基于计算来证明是否拐点

我们可以通过二阶导数是否变号来证明一个点是不是函数的拐点。

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下图是二阶可导函数 g

与它的二阶导数 g 两撇的图像。

我们这里可以看到。

实际上这是可汗学院的一篇文章，

叫做“使用二阶导数证明”。

所以我们看到函数 g，

以及它的二阶导数——不是一阶导数——

是这条棕色曲线。

然后文章后面说，

题目要求四个学生

对 x 等于 -2 是 g 的拐点这个事实给出一个基于计算的恰当证明。

对 x 等于 -2 是 g 的拐点这个事实给出一个基于计算的恰当证明。

看上去没错，这样我们直觉上觉得是对的。

那么 x 等于 -2，

是它的拐点，

也就是从上凸变下凸的点，

或者从下凸变上凸的点。

或者再换种说法，

它是斜率从减小变增大的点，

或者从增大变减小的点。

我们看这里，

看上去斜率在减小，

它是正的，但是在减小，趋近 0。

然后继续减小，

现在是负的了，

持续减小，

一直到 x 等于 -2 附近，

然后应该变成增大了，

越来越接近 0。

这里大概就是 0 了，

然后一直增大，

一直越来越大。

在 x 等于 2 处，

好像确实从上凸变成下凸。

然后基于计算的证明，

我们可以看这个，二阶导数图像，

看二阶导数穿过 x 轴的地方。

因为在二阶导数为负时，

斜率就是减小的，

函数就是上凸的。

而在二阶导数为正时，

意味着一阶导数在增大，

原函数的斜率在增大，

并且是下凸的。

那么请看，确实如此，

二阶导数穿过 x 轴

的位置就是在 x 等于 2 处。

如果只等于 0 或碰到 x 轴，是不够的，

需要穿过 x 轴才是拐点。

因此，我们来看看这些学生的证明

看看我们能否——

如果我们假装是老师，

那么老师会怎么评价这几个证明。

第一个说，

因为 g 的二阶导数在 x = -2 处改变符号。

这就是我们刚才的说法，

如果二阶导数改变符号，

从负变成正，

就意味着一阶导数从减小变成增大，

所以确实，它是一个基于计算的好证明。

所以至少现在，

我要把“你正确了！”放在这里。

因为它穿过 x 轴。

这个没说清楚，

谁穿过 x 轴？

如果有学生这么写，

我会问你指的是

原函数还是一阶导数还是二阶导数？

所以我会说，请表述得更明确一些。

这不算是对的证明。

我再读下一条，

因为 g 的二阶导数在 x = -2 处是增大的。

不对，这不能说明为什么这里是个拐点，

比如，二阶导数在 x = -2.5 处也增大，

二阶导数在 x = -1 处也增大呢，

但这些点可不是拐点。

所以我会说，

这句话并没有证明这里为什么是 g 的拐点。

最后一个学生是这么说的，

g 的曲线在 x = -2 处改变了凹凸性。

这没错，

但这不是基于计算的证明。

这里我们要用二阶导数来证明。