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Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.39,0:00:03.32,Default,,0000,0000,0000,,下图是二阶可导函数 g
Dialogue: 0,0:00:03.32,0:00:07.23,Default,,0000,0000,0000,,与它的二阶导数 g 两撇的图像。
Dialogue: 0,0:00:07.23,0:00:08.77,Default,,0000,0000,0000,,我们这里可以看到。
Dialogue: 0,0:00:08.77,0:00:12.44,Default,,0000,0000,0000,,实际上这是可汗学院的一篇文章，
Dialogue: 0,0:00:12.44,0:00:14.94,Default,,0000,0000,0000,,叫做“使用二阶导数证明”。
Dialogue: 0,0:00:14.94,0:00:16.43,Default,,0000,0000,0000,,所以我们看到函数 g，
Dialogue: 0,0:00:16.43,0:00:19.73,Default,,0000,0000,0000,,以及它的二阶导数——不是一阶导数——
Dialogue: 0,0:00:19.73,0:00:21.09,Default,,0000,0000,0000,,是这条棕色曲线。
Dialogue: 0,0:00:21.09,0:00:24.56,Default,,0000,0000,0000,,然后文章后面说，
Dialogue: 0,0:00:24.56,0:00:26.55,Default,,0000,0000,0000,,题目要求四个学生
Dialogue: 0,0:00:26.55,0:00:32.06,Default,,0000,0000,0000,,对 x 等于 -2 是 g 的拐点这个事实给出一个基于计算的恰当证明。
Dialogue: 0,0:00:32.06,0:00:35.39,Default,,0000,0000,0000,,对 x 等于 -2 是 g 的拐点这个事实给出一个基于计算的恰当证明。
Dialogue: 0,0:00:35.39,0:00:39.22,Default,,0000,0000,0000,,看上去没错，这样我们直觉上觉得是对的。
Dialogue: 0,0:00:39.22,0:00:40.96,Default,,0000,0000,0000,,那么 x 等于 -2，
Dialogue: 0,0:00:40.96,0:00:42.41,Default,,0000,0000,0000,,是它的拐点，
Dialogue: 0,0:00:42.41,0:00:45.60,Default,,0000,0000,0000,,也就是从上凸变下凸的点，
Dialogue: 0,0:00:45.60,0:00:48.31,Default,,0000,0000,0000,,或者从下凸变上凸的点。
Dialogue: 0,0:00:48.31,0:00:50.03,Default,,0000,0000,0000,,或者再换种说法，
Dialogue: 0,0:00:50.03,0:00:53.92,Default,,0000,0000,0000,,它是斜率从减小变增大的点，
Dialogue: 0,0:00:53.92,0:00:56.33,Default,,0000,0000,0000,,或者从增大变减小的点。
Dialogue: 0,0:00:56.33,0:00:57.64,Default,,0000,0000,0000,,我们看这里，
Dialogue: 0,0:00:57.64,0:00:59.72,Default,,0000,0000,0000,,看上去斜率在减小，
Dialogue: 0,0:00:59.72,0:01:02.59,Default,,0000,0000,0000,,它是正的，但是在减小，趋近 0。
Dialogue: 0,0:01:02.59,0:01:04.58,Default,,0000,0000,0000,,然后继续减小，
Dialogue: 0,0:01:04.58,0:01:06.28,Default,,0000,0000,0000,,现在是负的了，
Dialogue: 0,0:01:06.28,0:01:07.36,Default,,0000,0000,0000,,持续减小，
Dialogue: 0,0:01:07.36,0:01:09.18,Default,,0000,0000,0000,,一直到 x 等于 -2 附近，
Dialogue: 0,0:01:09.18,0:01:11.46,Default,,0000,0000,0000,,然后应该变成增大了，
Dialogue: 0,0:01:11.46,0:01:13.41,Default,,0000,0000,0000,,越来越接近 0。
Dialogue: 0,0:01:13.41,0:01:15.26,Default,,0000,0000,0000,,这里大概就是 0 了，
Dialogue: 0,0:01:15.26,0:01:17.40,Default,,0000,0000,0000,,然后一直增大，
Dialogue: 0,0:01:17.40,0:01:18.77,Default,,0000,0000,0000,,一直越来越大。
Dialogue: 0,0:01:18.77,0:01:22.17,Default,,0000,0000,0000,,在 x 等于 2 处，
Dialogue: 0,0:01:22.17,0:01:26.16,Default,,0000,0000,0000,,好像确实从上凸变成下凸。
Dialogue: 0,0:01:26.16,0:01:28.75,Default,,0000,0000,0000,,然后基于计算的证明，
Dialogue: 0,0:01:28.75,0:01:31.39,Default,,0000,0000,0000,,我们可以看这个，二阶导数图像，
Dialogue: 0,0:01:31.39,0:01:35.19,Default,,0000,0000,0000,,看二阶导数穿过 x 轴的地方。
Dialogue: 0,0:01:35.19,0:01:37.81,Default,,0000,0000,0000,,因为在二阶导数为负时，
Dialogue: 0,0:01:37.81,0:01:40.17,Default,,0000,0000,0000,,斜率就是减小的，
Dialogue: 0,0:01:40.17,0:01:41.95,Default,,0000,0000,0000,,函数就是上凸的。
Dialogue: 0,0:01:41.95,0:01:43.95,Default,,0000,0000,0000,,而在二阶导数为正时，
Dialogue: 0,0:01:43.95,0:01:46.84,Default,,0000,0000,0000,,意味着一阶导数在增大，
Dialogue: 0,0:01:46.84,0:01:49.03,Default,,0000,0000,0000,,原函数的斜率在增大，
Dialogue: 0,0:01:49.03,0:01:50.67,Default,,0000,0000,0000,,并且是下凸的。
Dialogue: 0,0:01:50.67,0:01:53.40,Default,,0000,0000,0000,,那么请看，确实如此，
Dialogue: 0,0:01:53.40,0:01:55.97,Default,,0000,0000,0000,,二阶导数穿过 x 轴
Dialogue: 0,0:01:55.97,0:01:58.35,Default,,0000,0000,0000,,的位置就是在 x 等于 2 处。
Dialogue: 0,0:01:58.35,0:02:01.92,Default,,0000,0000,0000,,如果只等于 0 或碰到 x 轴，是不够的，
Dialogue: 0,0:02:01.92,0:02:06.47,Default,,0000,0000,0000,,需要穿过 x 轴才是拐点。
Dialogue: 0,0:02:06.47,0:02:10.76,Default,,0000,0000,0000,,因此，我们来看看这些学生的证明
Dialogue: 0,0:02:10.76,0:02:12.97,Default,,0000,0000,0000,,看看我们能否——
Dialogue: 0,0:02:12.97,0:02:14.70,Default,,0000,0000,0000,,如果我们假装是老师，
Dialogue: 0,0:02:14.70,0:02:17.46,Default,,0000,0000,0000,,那么老师会怎么评价这几个证明。
Dialogue: 0,0:02:17.46,0:02:18.74,Default,,0000,0000,0000,,第一个说，
Dialogue: 0,0:02:18.74,0:02:23.07,Default,,0000,0000,0000,,因为 g 的二阶导数在 x = -2 处改变符号。
Dialogue: 0,0:02:23.07,0:02:25.99,Default,,0000,0000,0000,,这就是我们刚才的说法，
Dialogue: 0,0:02:25.99,0:02:29.00,Default,,0000,0000,0000,,如果二阶导数改变符号，
Dialogue: 0,0:02:29.00,0:02:31.25,Default,,0000,0000,0000,,从负变成正，
Dialogue: 0,0:02:31.25,0:02:35.62,Default,,0000,0000,0000,,就意味着一阶导数从减小变成增大，
Dialogue: 0,0:02:35.62,0:02:41.08,Default,,0000,0000,0000,,所以确实，它是一个基于计算的好证明。
Dialogue: 0,0:02:41.08,0:02:42.63,Default,,0000,0000,0000,,所以至少现在，
Dialogue: 0,0:02:42.63,0:02:45.18,Default,,0000,0000,0000,,我要把“你正确了！”放在这里。
Dialogue: 0,0:02:45.18,0:02:47.41,Default,,0000,0000,0000,,因为它穿过 x 轴。
Dialogue: 0,0:02:47.41,0:02:49.14,Default,,0000,0000,0000,,这个没说清楚，
Dialogue: 0,0:02:49.14,0:02:50.72,Default,,0000,0000,0000,,谁穿过 x 轴？
Dialogue: 0,0:02:50.72,0:02:51.91,Default,,0000,0000,0000,,如果有学生这么写，
Dialogue: 0,0:02:51.91,0:02:52.94,Default,,0000,0000,0000,,我会问你指的是
Dialogue: 0,0:02:52.94,0:02:55.01,Default,,0000,0000,0000,,原函数还是一阶导数还是二阶导数？
Dialogue: 0,0:02:55.01,0:02:58.48,Default,,0000,0000,0000,,所以我会说，请表述得更明确一些。
Dialogue: 0,0:02:58.48,0:03:01.23,Default,,0000,0000,0000,,这不算是对的证明。
Dialogue: 0,0:03:01.23,0:03:03.20,Default,,0000,0000,0000,,我再读下一条，
Dialogue: 0,0:03:03.20,0:03:09.57,Default,,0000,0000,0000,,因为 g 的二阶导数在 x = -2 处是增大的。
Dialogue: 0,0:03:09.57,0:03:13.23,Default,,0000,0000,0000,,不对，这不能说明为什么这里是个拐点，
Dialogue: 0,0:03:13.23,0:03:19.89,Default,,0000,0000,0000,,比如，二阶导数在 x = -2.5 处也增大，
Dialogue: 0,0:03:19.89,0:03:24.40,Default,,0000,0000,0000,,二阶导数在 x = -1 处也增大呢，
Dialogue: 0,0:03:24.40,0:03:26.88,Default,,0000,0000,0000,,但这些点可不是拐点。
Dialogue: 0,0:03:26.88,0:03:28.06,Default,,0000,0000,0000,,所以我会说，
Dialogue: 0,0:03:28.06,0:03:30.85,Default,,0000,0000,0000,,这句话并没有证明这里为什么是 g 的拐点。
Dialogue: 0,0:03:30.85,0:03:33.60,Default,,0000,0000,0000,,最后一个学生是这么说的，
Dialogue: 0,0:03:33.60,0:03:37.30,Default,,0000,0000,0000,,g 的曲线在 x = -2 处改变了凹凸性。
Dialogue: 0,0:03:37.30,0:03:38.98,Default,,0000,0000,0000,,这没错，
Dialogue: 0,0:03:38.98,0:03:41.99,Default,,0000,0000,0000,,但这不是基于计算的证明。
Dialogue: 0,0:03:41.99,0:03:45.90,Default,,0000,0000,0000,,这里我们要用二阶导数来证明。