WEBVTT

00:00:00.387 --> 00:00:03.323
下图是二阶可导函数 g

00:00:03.323 --> 00:00:07.232
与它的二阶导数 g 两撇的图像。

00:00:07.232 --> 00:00:08.768
我们这里可以看到。

00:00:08.768 --> 00:00:12.441
实际上这是可汗学院的一篇文章，

00:00:12.441 --> 00:00:14.942
叫做“使用二阶导数证明”。

00:00:14.942 --> 00:00:16.427
所以我们看到函数 g，

00:00:16.427 --> 00:00:19.726
以及它的二阶导数——不是一阶导数——

00:00:19.726 --> 00:00:21.089
是这条棕色曲线。

00:00:21.089 --> 00:00:24.555
然后文章后面说，

00:00:24.555 --> 00:00:26.548
题目要求四个学生

00:00:26.548 --> 00:00:32.062
对 x 等于 -2 是 g 的拐点这个事实给出一个基于计算的恰当证明。

00:00:32.062 --> 00:00:35.387
对 x 等于 -2 是 g 的拐点这个事实给出一个基于计算的恰当证明。

00:00:35.387 --> 00:00:39.216
看上去没错，这样我们直觉上觉得是对的。

00:00:39.216 --> 00:00:40.958
那么 x 等于 -2，

00:00:40.958 --> 00:00:42.414
是它的拐点，

00:00:42.414 --> 00:00:45.597
也就是从上凸变下凸的点，

00:00:45.597 --> 00:00:48.306
或者从下凸变上凸的点。

00:00:48.306 --> 00:00:50.026
或者再换种说法，

00:00:50.026 --> 00:00:53.925
它是斜率从减小变增大的点，

00:00:53.925 --> 00:00:56.334
或者从增大变减小的点。

00:00:56.334 --> 00:00:57.640
我们看这里，

00:00:57.640 --> 00:00:59.724
看上去斜率在减小，

00:00:59.724 --> 00:01:02.588
它是正的，但是在减小，趋近 0。

00:01:02.588 --> 00:01:04.581
然后继续减小，

00:01:04.581 --> 00:01:06.282
现在是负的了，

00:01:06.282 --> 00:01:07.357
持续减小，

00:01:07.357 --> 00:01:09.184
一直到 x 等于 -2 附近，

00:01:09.184 --> 00:01:11.464
然后应该变成增大了，

00:01:11.464 --> 00:01:13.410
越来越接近 0。

00:01:13.410 --> 00:01:15.257
这里大概就是 0 了，

00:01:15.257 --> 00:01:17.398
然后一直增大，

00:01:17.398 --> 00:01:18.774
一直越来越大。

00:01:18.774 --> 00:01:22.166
在 x 等于 2 处，

00:01:22.166 --> 00:01:26.157
好像确实从上凸变成下凸。

00:01:26.157 --> 00:01:28.747
然后基于计算的证明，

00:01:28.747 --> 00:01:31.394
我们可以看这个，二阶导数图像，

00:01:31.394 --> 00:01:35.193
看二阶导数穿过 x 轴的地方。

00:01:35.193 --> 00:01:37.813
因为在二阶导数为负时，

00:01:37.813 --> 00:01:40.167
斜率就是减小的，

00:01:40.167 --> 00:01:41.952
函数就是上凸的。

00:01:41.952 --> 00:01:43.951
而在二阶导数为正时，

00:01:43.951 --> 00:01:46.835
意味着一阶导数在增大，

00:01:46.835 --> 00:01:49.032
原函数的斜率在增大，

00:01:49.032 --> 00:01:50.669
并且是下凸的。

00:01:50.669 --> 00:01:53.397
那么请看，确实如此，

00:01:53.397 --> 00:01:55.966
二阶导数穿过 x 轴

00:01:55.966 --> 00:01:58.351
的位置就是在 x 等于 2 处。

00:01:58.351 --> 00:02:01.923
如果只等于 0 或碰到 x 轴，是不够的，

00:02:01.923 --> 00:02:06.470
需要穿过 x 轴才是拐点。

00:02:06.470 --> 00:02:10.755
因此，我们来看看这些学生的证明

00:02:10.755 --> 00:02:12.972
看看我们能否——

00:02:12.972 --> 00:02:14.696
如果我们假装是老师，

00:02:14.696 --> 00:02:17.457
那么老师会怎么评价这几个证明。

00:02:17.457 --> 00:02:18.745
第一个说，

00:02:18.745 --> 00:02:23.074
因为 g 的二阶导数在 x = -2 处改变符号。

00:02:23.074 --> 00:02:25.991
这就是我们刚才的说法，

00:02:25.991 --> 00:02:29.001
如果二阶导数改变符号，

00:02:29.001 --> 00:02:31.253
从负变成正，

00:02:31.253 --> 00:02:35.616
就意味着一阶导数从减小变成增大，

00:02:35.616 --> 00:02:41.083
所以确实，它是一个基于计算的好证明。

00:02:41.083 --> 00:02:42.631
所以至少现在，

00:02:42.631 --> 00:02:45.182
我要把“你正确了！”放在这里。

00:02:45.182 --> 00:02:47.408
因为它穿过 x 轴。

00:02:47.408 --> 00:02:49.135
这个没说清楚，

00:02:49.135 --> 00:02:50.724
谁穿过 x 轴？

00:02:50.724 --> 00:02:51.908
如果有学生这么写，

00:02:51.908 --> 00:02:52.941
我会问你指的是

00:02:52.941 --> 00:02:55.014
原函数还是一阶导数还是二阶导数？

00:02:55.014 --> 00:02:58.483
所以我会说，请表述得更明确一些。

00:02:58.483 --> 00:03:01.234
这不算是对的证明。

00:03:01.234 --> 00:03:03.203
我再读下一条，

00:03:03.203 --> 00:03:09.569
因为 g 的二阶导数在 x = -2 处是增大的。

00:03:09.569 --> 00:03:13.230
不对，这不能说明为什么这里是个拐点，

00:03:13.230 --> 00:03:19.888
比如，二阶导数在 x = -2.5 处也增大，

00:03:19.888 --> 00:03:24.401
二阶导数在 x = -1 处也增大呢，

00:03:24.401 --> 00:03:26.878
但这些点可不是拐点。

00:03:26.878 --> 00:03:28.065
所以我会说，

00:03:28.065 --> 00:03:30.849
这句话并没有证明这里为什么是 g 的拐点。

00:03:30.849 --> 00:03:33.596
最后一个学生是这么说的，

00:03:33.596 --> 00:03:37.304
g 的曲线在 x = -2 处改变了凹凸性。

00:03:37.304 --> 00:03:38.976
这没错，

00:03:38.976 --> 00:03:41.992
但这不是基于计算的证明。

00:03:41.992 --> 00:03:45.903
这里我们要用二阶导数来证明。