下图是二阶可导函数 g
与它的二阶导数 g 两撇的图像。
我们这里可以看到。
实际上这是可汗学院的一篇文章，
叫做“使用二阶导数证明”。
所以我们看到函数 g，
以及它的二阶导数——不是一阶导数——
是这条棕色曲线。
然后文章后面说，
题目要求四个学生
对 x 等于 -2 是 g 的拐点这个事实给出一个基于计算的恰当证明。
看上去没错，这样我们直觉上觉得是对的。
那么 x 等于 -2，
是它的拐点，
也就是从上凸变下凸的点，
或者从下凸变上凸的点。
或者再换种说法，
它是斜率从减小变增大的点，
或者从增大变减小的点。
我们看这里，
看上去斜率在减小，
它是正的，但是在减小，趋近 0。
然后继续减小，
现在是负的了，
持续减小，
一直到 x 等于 -2 附近，
然后应该变成增大了，
越来越接近 0。
这里大概就是 0 了，
然后一直增大，
一直越来越大。
在 x 等于 2 处，
好像确实从上凸变成下凸。
然后基于计算的证明，
我们可以看这个，二阶导数图像，
看二阶导数穿过 x 轴的地方。
因为在二阶导数为负时，
斜率就是减小的，
函数就是上凸的。
而在二阶导数为正时，
意味着一阶导数在增大，
原函数的斜率在增大，
并且是下凸的。
那么请看，确实如此，
二阶导数穿过 x 轴
的位置就是在 x 等于 2 处。
如果只等于 0 或碰到 x 轴，是不够的，
需要穿过 x 轴才是拐点。
因此，我们来看看这些学生的证明
看看我们能否——
如果我们假装是老师，
那么老师会怎么评价这几个证明。
第一个说，
因为 g 的二阶导数在 x = -2 处改变符号。
这就是我们刚才的说法，
如果二阶导数改变符号，
从负变成正，
就意味着一阶导数从减小变成增大，
所以确实，它是一个基于计算的好证明。
所以至少现在，
我要把“你正确了！”放在这里。
因为它穿过 x 轴。
这个没说清楚，
谁穿过 x 轴？
如果有学生这么写，
我会问你指的是
原函数还是一阶导数还是二阶导数？
所以我会说，请表述得更明确一些。
这不算是对的证明。
我再读下一条，
因为 g 的二阶导数在 x = -2 处是增大的。
不对，这不能说明为什么这里是个拐点，
比如，二阶导数在 x = -2.5 处也增大，
二阶导数在 x = -1 处也增大呢，
但这些点可不是拐点。
所以我会说，
这句话并没有证明这里为什么是 g 的拐点。
最后一个学生是这么说的，
g 的曲线在 x = -2 处改变了凹凸性。
这没错，
但这不是基于计算的证明。
这里我们要用二阶导数来证明。