0:00:00.387,0:00:03.323
下图是二阶可导函数 g

0:00:03.323,0:00:07.232
与它的二阶导数 g 两撇的图像。

0:00:07.232,0:00:08.768
我们这里可以看到。

0:00:08.768,0:00:12.441
实际上这是可汗学院的一篇文章，

0:00:12.441,0:00:14.942
叫做“使用二阶导数证明”。

0:00:14.942,0:00:16.427
所以我们看到函数 g，

0:00:16.427,0:00:19.726
以及它的二阶导数——不是一阶导数——

0:00:19.726,0:00:21.089
是这条棕色曲线。

0:00:21.089,0:00:24.555
然后文章后面说，

0:00:24.555,0:00:26.548
题目要求四个学生

0:00:26.548,0:00:32.062
对 x 等于 -2 是 g 的拐点这个事实给出一个基于计算的恰当证明。

0:00:32.062,0:00:35.387
对 x 等于 -2 是 g 的拐点这个事实给出一个基于计算的恰当证明。

0:00:35.387,0:00:39.216
看上去没错，这样我们直觉上觉得是对的。

0:00:39.216,0:00:40.958
那么 x 等于 -2，

0:00:40.958,0:00:42.414
是它的拐点，

0:00:42.414,0:00:45.597
也就是从上凸变下凸的点，

0:00:45.597,0:00:48.306
或者从下凸变上凸的点。

0:00:48.306,0:00:50.026
或者再换种说法，

0:00:50.026,0:00:53.925
它是斜率从减小变增大的点，

0:00:53.925,0:00:56.334
或者从增大变减小的点。

0:00:56.334,0:00:57.640
我们看这里，

0:00:57.640,0:00:59.724
看上去斜率在减小，

0:00:59.724,0:01:02.588
它是正的，但是在减小，趋近 0。

0:01:02.588,0:01:04.581
然后继续减小，

0:01:04.581,0:01:06.282
现在是负的了，

0:01:06.282,0:01:07.357
持续减小，

0:01:07.357,0:01:09.184
一直到 x 等于 -2 附近，

0:01:09.184,0:01:11.464
然后应该变成增大了，

0:01:11.464,0:01:13.410
越来越接近 0。

0:01:13.410,0:01:15.257
这里大概就是 0 了，

0:01:15.257,0:01:17.398
然后一直增大，

0:01:17.398,0:01:18.774
一直越来越大。

0:01:18.774,0:01:22.166
在 x 等于 2 处，

0:01:22.166,0:01:26.157
好像确实从上凸变成下凸。

0:01:26.157,0:01:28.747
然后基于计算的证明，

0:01:28.747,0:01:31.394
我们可以看这个，二阶导数图像，

0:01:31.394,0:01:35.193
看二阶导数穿过 x 轴的地方。

0:01:35.193,0:01:37.813
因为在二阶导数为负时，

0:01:37.813,0:01:40.167
斜率就是减小的，

0:01:40.167,0:01:41.952
函数就是上凸的。

0:01:41.952,0:01:43.951
而在二阶导数为正时，

0:01:43.951,0:01:46.835
意味着一阶导数在增大，

0:01:46.835,0:01:49.032
原函数的斜率在增大，

0:01:49.032,0:01:50.669
并且是下凸的。

0:01:50.669,0:01:53.397
那么请看，确实如此，

0:01:53.397,0:01:55.966
二阶导数穿过 x 轴

0:01:55.966,0:01:58.351
的位置就是在 x 等于 2 处。

0:01:58.351,0:02:01.923
如果只等于 0 或碰到 x 轴，是不够的，

0:02:01.923,0:02:06.470
需要穿过 x 轴才是拐点。

0:02:06.470,0:02:10.755
因此，我们来看看这些学生的证明

0:02:10.755,0:02:12.972
看看我们能否——

0:02:12.972,0:02:14.696
如果我们假装是老师，

0:02:14.696,0:02:17.457
那么老师会怎么评价这几个证明。

0:02:17.457,0:02:18.745
第一个说，

0:02:18.745,0:02:23.074
因为 g 的二阶导数在 x = -2 处改变符号。

0:02:23.074,0:02:25.991
这就是我们刚才的说法，

0:02:25.991,0:02:29.001
如果二阶导数改变符号，

0:02:29.001,0:02:31.253
从负变成正，

0:02:31.253,0:02:35.616
就意味着一阶导数从减小变成增大，

0:02:35.616,0:02:41.083
所以确实，它是一个基于计算的好证明。

0:02:41.083,0:02:42.631
所以至少现在，

0:02:42.631,0:02:45.182
我要把“你正确了！”放在这里。

0:02:45.182,0:02:47.408
因为它穿过 x 轴。

0:02:47.408,0:02:49.135
这个没说清楚，

0:02:49.135,0:02:50.724
谁穿过 x 轴？

0:02:50.724,0:02:51.908
如果有学生这么写，

0:02:51.908,0:02:52.941
我会问你指的是

0:02:52.941,0:02:55.014
原函数还是一阶导数还是二阶导数？

0:02:55.014,0:02:58.483
所以我会说，请表述得更明确一些。

0:02:58.483,0:03:01.234
这不算是对的证明。

0:03:01.234,0:03:03.203
我再读下一条，

0:03:03.203,0:03:09.569
因为 g 的二阶导数在 x = -2 处是增大的。

0:03:09.569,0:03:13.230
不对，这不能说明为什么这里是个拐点，

0:03:13.230,0:03:19.888
比如，二阶导数在 x = -2.5 处也增大，

0:03:19.888,0:03:24.401
二阶导数在 x = -1 处也增大呢，

0:03:24.401,0:03:26.878
但这些点可不是拐点。

0:03:26.878,0:03:28.065
所以我会说，

0:03:28.065,0:03:30.849
这句话并没有证明这里为什么是 g 的拐点。

0:03:30.849,0:03:33.596
最后一个学生是这么说的，

0:03:33.596,0:03:37.304
g 的曲线在 x = -2 处改变了凹凸性。

0:03:37.304,0:03:38.976
这没错，

0:03:38.976,0:03:41.992
但这不是基于计算的证明。

0:03:41.992,0:03:45.903
这里我们要用二阶导数来证明。