-
-
Dus we hebben f(x) = -x + 4, en f(x)
-
staat hier op het assenkruis getekend.
-
Laten we proberen te achterhalen wat de inverse van f is.
-
En om de inverse te vinden, stel ik graag
-
y gelijk aan f(x), of we kunnen schrijven dat
-
y = -x + 4.
-
Nu hebben we y uitgedrukt in x.
-
Voor de inverse doen we het omgekeerde:
-
we vormen om naar x in functie van y.
-
Dus laten we 4 van beide kanten aftrekken.
-
Je krijgt y - 4 = -x
-
Om naar x te ontwikkelen kunnen we beide kanten
-
met -1 vermenigvuldigen.
-
Wat je krijgt is -y + 4 = x.
-
Of omdat we gewoonlijk de afhankelijke
-
variabele aan de linkerkant schrijven, kunnen we dit ook formuleren als
-
x = -y + 4
-
Of een andere manier om het schrijven is te zeggen dat
-
de inverse van f(y) gelijk is aan -y + 4.
-
Dus dit is de inverse van de functie hier, en we hebben het geschreven als
-
een functie van y, maar we kunnen evengoed y de naam x geven
-
zodat het een functie van x wordt.
-
Dus laten we dat doen.
-
Dus als we gewoon die y veranderen door x, krijgen we de inverse van f(x)
-
is gelijk aan -x + 4.
-
Deze twee functies zijn identiek.
-
Hier hebben we y gewoon gebruikt als de onafhankelijke variabele of
-
de input-variabele.
-
Hier gebruiken we gewoon x, maar het zijn identieke functies.
-
Nu, laten we de inverse functie tekenen
-
en kijken hoe hij zich verhoudt tot deze
-
hier.
-
Dus als je ernaar kijkt, ziet het er
-
tamelijk identiek uit.
-
Het is -x + 4,
-
exact dezelfde functie.
-
Dus het snijpunt met de y-as is 4,
-
het is precies hetzelfde.
-
De functie is zijn eigen inverse.
-
Dus als we hem zouden tekenen, zouden we hem
-
juist hierop plaatsen.
-
-
Er zijn een paar manieren om dit te bekijken.
-
In de eerste video over inverse functies had ik het over
-
een functie en zijn inverse - ze zijn de spiegeling
-
ten opzichte van de rechte y = x.
-
Dus waar is die rechte y = x hier?
-
Wel, die ziet er zo uit.
-
-
En -x + 4 staat eigenlijk loodrecht op
-
y = x, dus als je het spiegelt, kantel je het
-
erover, maar het blijft dezelfde rechte.
-
Hij is zijn eigen spiegelbeeld.
-
Nu, laten we ervoor zorgen dat dit wel steek houdt.
-
Wanneer we bezig zijn met de standaardfunctie hier,
-
wanneer je 2 invoert, wordt het afgebeeld op 2.
-
Als je 4 invoert, beeldt het af op 0.
-
Wat gebeurt er als je het omgekeerd doet?
-
Als je 2 invoert, wel, 2 wordt sowieso afgebeeld op 2,
-
dus dat klopt.
-
Voor de normale functie wordt 4 afgebeeld op 0.
-
Voor de inverse wordt 0 afgebeeld op 4.
-
Dus dat houdt perfect steek.
-
Laten we er anders over denken.
-
Voor de normale functie - laat me het neerschrijven.
-
Dit kan duidelijk zijn voor jou, maar in het geval dat
-
niet zo is, kan het behulpzaam zijn.
-
Laten we f(5) nemen.
-
f(5) is -1.
-
Of we kunnen zeggen dat de functie f de waarde 5 afbeeldt op -1.
-
Wat doet de inverse van f?
-
Wat is de functiewaarde van -1 voor de inverse van f?
-
f-inverse van -1 is 5.
-
-
Of we kunnen zeggen dat f -1 op 5 afbeeldt.
-
Dus opnieuw, als je denkt aan de verzamelingen,
-
het domein en het bereik.
-
Dus stel dat dit het domein van f is, en
-
dit het bereik van f.
-
Dan zal f ons brengen van 5 naar -1.
-
Dat doet de functie f.
-
En we zien dat de inverse ons terugbrengt van -1 naar 5.
-
De inverse van f brengt ons van -1 naar 5, zoals
-
het moet doen.
-
Nog zo'n voorbeeld.
-
Dus hier heb ik g(x) = -2x - 1.
-
Net zoals het vorige voorbeeld wil ik y gelijk stellen aan dit.
-
Dus we zeggen dat y gelijk is aan g(x), wat gelijk is aan
-
-2x - 1.
-
Nu kunnen we oplossen voor x.
-
y + 1 is gelijk aan -2x.
-
Gewoon 1 aan beide kanten optellen.
-
Nu kunnen we beide kanten van deze vergelijking delen door -2,
-
en dus krijg je -y gedeeld door 2, min 1/2 is gelijk aan x, of
-
we kunnen schrijven dat x gelijk is aan -y gedeeld door 2 min 1/2, of
-
we kunnen de inverse van f schrijven als een functie van y,
-
f(y) = -y/2 - 1/2, of we kunnen y vervangen door x.
-
En we kunnen zeggen dat f de inverse in van - oh, ik moet voorzichtig zijn,
-
dat moet geen f zijn,
-
de functie heette g, dus laat mij duidelijk zijn.
-
Dat geeft mij dat de inverse van g(y) gelijk is aan -y/2 - 1/2
-
omdat we startten van g(x), niet f(x).
-
Zorg dat de notatie klopt.
-
Of we kunnen gewoon de y een andere naam geven en zeggen dat
-
de inverse van g(x) = -x/2 - 1/2.
-
Nu, laten we dat tekenen.
-
Zijn snijpunt met de y-as is -1/2.
-
Dat is hier.
-
En het heeft een richtingscoëfficiënt van -1/2.
-
-
Dus als we beginnen bij -1/2, vervolgens
-
1 in de positieve richting gaan, zal de grafiek met 1/2 dalen.
-
Als we nogmaals 1 vooruit gaan, zal die weer met 1/2 dalen.
-
Dus hij zal er zo uitzien.
-
Dus de rechte, ik doe mijn best om hem goed te tekenen, zal
-
er ongeveer zo uitzien.
-
Hij zal gewoon verder gaan, dus er ongeveer zo uitzien, en
-
hij zal blijven doorgaan in beide richtingen.
-
Laten we nu zien of dit echt een spiegeling is ten opzichte van
-
y = x. y=x ziet er zo uit, en je kan zien
-
dat deze twee elkaars spiegelbeeld zijn.
-
Als je deze spiegelt, de blauwe rechte, wordt
-
hij de oranje rechte.
-
Maar het algemeen idee is dat een functie
-
uitgedrukt wordt als y in functie van x.
-
Je doet gewoon wat algebra.
-
Omvormen naar x in functie van y, en dat is namelijk de inverse
-
functie als een functie van y, maar dan kan je de y hernoemen
-
om er een functie van x van te maken.
