1
00:00:00,000 --> 00:00:00,830


2
00:00:00,830 --> 00:00:05,770
Dus we hebben f(x) = -x + 4, en f(x)

3
00:00:05,770 --> 00:00:08,460
staat hier op het assenkruis getekend.

4
00:00:08,460 --> 00:00:11,690
Laten we proberen te achterhalen wat de inverse van f is.

5
00:00:11,690 --> 00:00:14,770
En om de inverse te vinden, stel ik graag

6
00:00:14,770 --> 00:00:18,590
y gelijk aan f(x), of we kunnen schrijven dat

7
00:00:18,590 --> 00:00:22,130
y = -x + 4.

8
00:00:22,130 --> 00:00:25,040
Nu hebben we y uitgedrukt in x.

9
00:00:25,040 --> 00:00:26,750
Voor de inverse doen we het omgekeerde:

10
00:00:26,750 --> 00:00:29,600
we vormen om naar x in functie van y.

11
00:00:29,600 --> 00:00:31,570
Dus laten we 4 van beide kanten aftrekken.

12
00:00:31,570 --> 00:00:36,160
Je krijgt y - 4 = -x

13
00:00:36,160 --> 00:00:39,000
Om naar x te ontwikkelen kunnen we beide kanten

14
00:00:39,000 --> 00:00:41,960
met -1 vermenigvuldigen.

15
00:00:41,960 --> 00:00:47,530
Wat je krijgt is -y + 4 = x.

16
00:00:47,530 --> 00:00:50,390
Of omdat we gewoonlijk de afhankelijke

17
00:00:50,390 --> 00:00:52,770
variabele aan de linkerkant schrijven, kunnen we dit ook formuleren als

18
00:00:52,770 --> 00:00:55,620
x = -y + 4

19
00:00:55,620 --> 00:00:58,300
Of een andere manier om het schrijven is te zeggen dat

20
00:00:58,300 --> 00:01:06,840
de inverse van f(y) gelijk is aan -y + 4.

21
00:01:06,840 --> 00:01:09,470
Dus dit is de inverse van de functie hier, en we hebben het geschreven als

22
00:01:09,470 --> 00:01:13,360
een functie van y, maar we kunnen evengoed y de naam x geven

23
00:01:13,360 --> 00:01:14,950
zodat het een functie van x wordt.

24
00:01:14,950 --> 00:01:16,080
Dus laten we dat doen.

25
00:01:16,080 --> 00:01:23,120
Dus als we gewoon die y veranderen door x, krijgen we de inverse van f(x)

26
00:01:23,120 --> 00:01:25,780
is gelijk aan -x + 4.

27
00:01:25,780 --> 00:01:27,540
Deze twee functies zijn identiek.

28
00:01:27,540 --> 00:01:30,730
Hier hebben we y gewoon gebruikt als de onafhankelijke variabele of

29
00:01:30,730 --> 00:01:31,760
de input-variabele.

30
00:01:31,760 --> 00:01:34,660
Hier gebruiken we gewoon x, maar het zijn identieke functies.

31
00:01:34,660 --> 00:01:37,840
Nu, laten we de inverse functie tekenen

32
00:01:37,840 --> 00:01:40,220
en kijken hoe hij zich verhoudt tot deze

33
00:01:40,220 --> 00:01:42,190
hier.

34
00:01:42,190 --> 00:01:44,250
Dus als je ernaar kijkt, ziet het er

35
00:01:44,250 --> 00:01:45,510
tamelijk identiek uit.

36
00:01:45,510 --> 00:01:47,010
Het is -x + 4,

37
00:01:47,010 --> 00:01:48,395
exact dezelfde functie.

38
00:01:48,395 --> 00:01:51,630
Dus het snijpunt met de y-as is 4,

39
00:01:51,630 --> 00:01:52,950
het is precies hetzelfde.

40
00:01:52,950 --> 00:01:56,810
De functie is zijn eigen inverse.

41
00:01:56,810 --> 00:01:58,990
Dus als we hem zouden tekenen, zouden we hem

42
00:01:58,990 --> 00:01:59,930
juist hierop plaatsen.

43
00:01:59,930 --> 00:02:02,560


44
00:02:02,560 --> 00:02:04,730
Er zijn een paar manieren om dit te bekijken.

45
00:02:04,730 --> 00:02:07,530
In de eerste video over inverse functies had ik het over

46
00:02:07,530 --> 00:02:10,390
een functie en zijn inverse - ze zijn de spiegeling

47
00:02:10,390 --> 00:02:12,030
ten opzichte van de rechte y = x.

48
00:02:12,030 --> 00:02:14,220
Dus waar is die rechte y = x hier?

49
00:02:14,220 --> 00:02:16,445
Wel, die ziet er zo uit.

50
00:02:16,445 --> 00:02:20,540


51
00:02:20,540 --> 00:02:25,710
En -x + 4 staat eigenlijk loodrecht op

52
00:02:25,710 --> 00:02:27,780
y = x, dus als je het spiegelt, kantel je het

53
00:02:27,780 --> 00:02:29,830
erover, maar het blijft dezelfde rechte.

54
00:02:29,830 --> 00:02:32,670
Hij is zijn eigen spiegelbeeld.

55
00:02:32,670 --> 00:02:34,470
Nu, laten we ervoor zorgen dat dit wel steek houdt.

56
00:02:34,470 --> 00:02:38,700
Wanneer we bezig zijn met de standaardfunctie hier,

57
00:02:38,700 --> 00:02:43,480
wanneer je 2 invoert, wordt het afgebeeld op 2.

58
00:02:43,480 --> 00:02:48,750
Als je 4 invoert, beeldt het af op 0.

59
00:02:48,750 --> 00:02:50,370
Wat gebeurt er als je het omgekeerd doet?

60
00:02:50,370 --> 00:02:54,460
Als je 2 invoert, wel, 2 wordt sowieso afgebeeld op 2,

61
00:02:54,460 --> 00:02:55,870
dus dat klopt.

62
00:02:55,870 --> 00:02:59,180
Voor de normale functie wordt 4 afgebeeld op 0.

63
00:02:59,180 --> 00:03:02,320
Voor de inverse wordt 0 afgebeeld op 4.

64
00:03:02,320 --> 00:03:03,710
Dus dat houdt perfect steek.

65
00:03:03,710 --> 00:03:04,610
Laten we er anders over denken.

66
00:03:04,610 --> 00:03:07,770
Voor de normale functie - laat me het neerschrijven.

67
00:03:07,770 --> 00:03:09,390
Dit kan duidelijk zijn voor jou, maar in het geval dat

68
00:03:09,390 --> 00:03:11,950
niet zo is, kan het behulpzaam zijn.

69
00:03:11,950 --> 00:03:14,440
Laten we f(5) nemen.

70
00:03:14,440 --> 00:03:18,020
f(5) is -1.

71
00:03:18,020 --> 00:03:23,900
Of we kunnen zeggen dat de functie f de waarde 5 afbeeldt op -1.

72
00:03:23,900 --> 00:03:27,230
Wat doet de inverse van f?

73
00:03:27,230 --> 00:03:31,190
Wat is de functiewaarde van -1 voor de inverse van f?

74
00:03:31,190 --> 00:03:33,325
f-inverse van -1 is 5.

75
00:03:33,325 --> 00:03:36,200


76
00:03:36,200 --> 00:03:41,000
Of we kunnen zeggen dat f -1 op 5 afbeeldt.

77
00:03:41,000 --> 00:03:44,140
Dus opnieuw, als je denkt aan de verzamelingen,

78
00:03:44,140 --> 00:03:46,370
het domein en het bereik.

79
00:03:46,370 --> 00:03:49,070
Dus stel dat dit het domein van f is, en

80
00:03:49,070 --> 00:03:50,760
dit het bereik van f.

81
00:03:50,760 --> 00:03:59,040
Dan zal f ons brengen van 5 naar -1.

82
00:03:59,040 --> 00:04:00,960
Dat doet de functie f.

83
00:04:00,960 --> 00:04:04,920
En we zien dat de inverse ons terugbrengt van -1 naar 5.

84
00:04:04,920 --> 00:04:09,720
De inverse van f brengt ons van -1 naar 5, zoals

85
00:04:09,720 --> 00:04:12,320
het moet doen.

86
00:04:12,320 --> 00:04:15,200
Nog zo'n voorbeeld.

87
00:04:15,200 --> 00:04:19,070
Dus hier heb ik g(x) = -2x - 1.

88
00:04:19,070 --> 00:04:23,000
Net zoals het vorige voorbeeld wil ik y gelijk stellen aan dit.

89
00:04:23,000 --> 00:04:25,340
Dus we zeggen dat y gelijk is aan g(x), wat gelijk is aan

90
00:04:25,340 --> 00:04:27,740
-2x - 1.

91
00:04:27,740 --> 00:04:29,950
Nu kunnen we oplossen voor x.

92
00:04:29,950 --> 00:04:32,910
y + 1 is gelijk aan -2x.

93
00:04:32,910 --> 00:04:34,920
Gewoon 1 aan beide kanten optellen.

94
00:04:34,920 --> 00:04:39,050
Nu kunnen we beide kanten van deze vergelijking delen door -2,

95
00:04:39,050 --> 00:04:46,630
en dus krijg je -y gedeeld door 2, min 1/2 is gelijk aan x, of

96
00:04:46,630 --> 00:04:52,420
we kunnen schrijven dat x gelijk is aan -y gedeeld door 2 min 1/2, of

97
00:04:52,420 --> 00:04:56,260
we kunnen de inverse van f schrijven als een functie van y,

98
00:04:56,260 --> 00:05:02,435
f(y) = -y/2 - 1/2, of we kunnen y vervangen door x.

99
00:05:02,435 --> 00:05:08,270
En we kunnen zeggen dat f de inverse in van - oh, ik moet voorzichtig zijn,

100
00:05:08,270 --> 00:05:09,250
dat moet geen f zijn,

101
00:05:09,250 --> 00:05:11,300
de functie heette g, dus laat mij duidelijk zijn.

102
00:05:11,300 --> 00:05:21,850
Dat geeft mij dat de inverse van g(y) gelijk is aan -y/2 - 1/2

103
00:05:21,850 --> 00:05:24,340
omdat we startten van g(x), niet f(x).

104
00:05:24,340 --> 00:05:26,120
Zorg dat de notatie klopt.

105
00:05:26,120 --> 00:05:31,010
Of we kunnen gewoon de y een andere naam geven en zeggen dat

106
00:05:31,010 --> 00:05:34,320
de inverse van g(x) = -x/2 - 1/2.

107
00:05:34,320 --> 00:05:35,140
Nu, laten we dat tekenen.

108
00:05:35,140 --> 00:05:37,970
Zijn snijpunt met de y-as is -1/2.

109
00:05:37,970 --> 00:05:39,970
Dat is hier.

110
00:05:39,970 --> 00:05:43,460
En het heeft een richtingscoëfficiënt van -1/2.

111
00:05:43,460 --> 00:05:48,940


112
00:05:48,940 --> 00:05:52,760
Dus als we beginnen bij -1/2, vervolgens

113
00:05:52,760 --> 00:05:56,500
1 in de positieve richting gaan, zal de grafiek met 1/2 dalen.

114
00:05:56,500 --> 00:05:59,770
Als we nogmaals 1 vooruit gaan, zal die weer met 1/2 dalen.

115
00:05:59,770 --> 00:06:01,650
Dus hij zal er zo uitzien.

116
00:06:01,650 --> 00:06:05,440
Dus de rechte, ik doe mijn best om hem goed te tekenen, zal

117
00:06:05,440 --> 00:06:07,830
er ongeveer zo uitzien.

118
00:06:07,830 --> 00:06:10,580
Hij zal gewoon verder gaan, dus er ongeveer zo uitzien, en

119
00:06:10,580 --> 00:06:13,170
hij zal blijven doorgaan in beide richtingen.

120
00:06:13,170 --> 00:06:15,400
Laten we nu zien of dit echt een spiegeling is ten opzichte van

121
00:06:15,400 --> 00:06:21,910
y = x. y=x ziet er zo uit, en je kan zien

122
00:06:21,910 --> 00:06:22,750
dat deze twee elkaars spiegelbeeld zijn.

123
00:06:22,750 --> 00:06:25,440
Als je deze spiegelt, de blauwe rechte, wordt

124
00:06:25,440 --> 00:06:27,220
hij de oranje rechte.

125
00:06:27,220 --> 00:06:30,885
Maar het algemeen idee is dat een functie

126
00:06:30,885 --> 00:06:34,460
uitgedrukt wordt als y in functie van x.

127
00:06:34,460 --> 00:06:35,530
Je doet gewoon wat algebra.

128
00:06:35,530 --> 00:06:38,750
Omvormen naar x in functie van y, en dat is namelijk de inverse

129
00:06:38,750 --> 00:06:41,120
functie als een functie van y, maar dan kan je de y hernoemen

130
00:06:41,120 --> 00:06:43,700
om er een functie van x van te maken.