Dywergencja 3

Badanie pola wektorowego przy użyciu jego dywergencji.

Zajmijmy się teraz nieco bardziej
wyszukanym przykładem, spróbujemy

zbadać pole wektorowe.

Miejmy nadzieję, że dzięki
temu wszystko stanie się

nieco bardziej namacalne.

Tak więc, powiedzmy, że prędkość
płynu lub cząsteczek

w płynie, w dowolnym
punkcie płaszczyzny x-y,

załóżmy, że w kierunku x,
wynosi x^2... x^2+3x

...+2 w kierunku x
dodać y^2-3y+2

w kierunku y.

Ułatwieniem jest to, że mamy tylko
jedno wyrażenie, którym musimy się zająć.

Zatem zacznijmy od obliczeń.

Znajdźmy dywergencję naszego
pola wektorowego,

dywergencję naszego pola.

Zaraz pokażę wam wykres
tego pola, więc

nabierzemy intuicji jak
to właściwie wygląda, zamiast

moich nie-do-końca-udanych
rysunków.

Czym jest więc dywergencja?

Bierzemy pochodną cząstkową składowej x

po x.

Jest tu tylko zmienna x, zatem nie

musimy się tak naprawdę martwić
o traktowanie y lub z jako stałych.

To tak naprawdę zwykła
pochodna tego wyrażenia

ze względu na x.

Więc mamy 2x-3.

Następnie dodajemy to do
pochodnej cząstkowej

składowej y, lub funkcji y,
ze względu na y.

W składowej y występują
same y, zatem po prostu

bierzemy pochodną po y.

Czyli dodajemy 2y-3.

Albo możemy powiedzieć, że
dywergencja v, w dowolnym punkcie

xy, czyli funkcja zmiennych x i y,
wynosi 2x+2y-3.

Zanim pokażę wam wykres,
przeanalizujmy

nieco funkcję.

Przede wszystkim, spójrzmy
na wyjściowe pole wektorowe,

i pomyślmy kiedy to pole
wektorowe ma jakieś

ciekawe punkty.

Cóż, myślę, że ciekawymi punktami
są te, w których składowa x

lub składowa y są równe 0.

Kiedy więc składowa x
jest równa 0?

Dobrze... Jeśli rozłożymy na
czynniki składową x... To

tak samo jakbyśmy przepisali
nasze pole wektorowe.

Jeśli ją rozłożymy, to mamy
x-1 razy x-...

...2 i dodać... A tu mamy ten
sam wielomian tylko z y, dla

składowej y, czyli
y-1 razy y-2 razy j.

Zatem składowa x jest równa 0, kiedy
x równa się 1... To są po prostu

pierwiastki tego wielomianu.
Kiedy x równa się

1 lub 2, prawda?

Z kolei składowa y jest równa 0,
kiedy y równa się 1 lub 2.

Zaś obie są równe 0, jeżeli
weźmiemy dowolną kombinację

tych punktów.

Wobec tego punkty, gdzie składowe
obie są równe 0 to (1, 1), x

jest 1, y jest 2, prawda?
Ponieważ wówczas obie współrzędne

wynoszą 0.
... (2, 1) lub (2, 2).

Zatem to są punkty, gdzie szybkość

naszego płynu, albo
cząsteczek płynu, wynosi 0.

Zaraz zobaczymy to
na naszym wykresie.

Pozwólcie, że zadam
jeszcze jedno pytanie.

W jakich punktach... No dobrze,
najpierw zdecydujmy... Jaki punkt

ma dywergencję równą 0?

Powiedzmy... W jakim punkcie
dywergencja jest równa 0.

Pozwólcie, że uprzątnę
trochę miejsca.

Myślę, że mogę to usunąć.

Otrzymaliśmy nasze punkty,
dowiedzieliśmy się gdzie

szybkość pola wektorowego
równa się 0.

W takim razie przekonajmy się,
kiedy dywergencja

jest równa 0.

Tak więc, to jest dywergencja

Zatem jeśli przyrównamy to
do 0, 2x+2y, 2x...

...+2y, ojej, przepraszam.

Wiecie co? To jest
2x-3 dodać 2y-3.

Więc to jest 6, prawda?

-3 -3 to -6.

To właśnie mój słaby punkt:
dodawanie i odejmowanie.

Nieważne. Dywergencja...

2x+2y-6.

I chcemy się dowiedzieć
kiedy to równa się 0.

Przyrównajmy więc to do 0.

Możemy to nieco uprościć.

Możemy podzielić obie strony
równania przez 2, i dostaniemy x...

...+y-3 równa się 0.

Dostajemy x+y=3.

Możemy na tym poprzestać, albo
możemy przekształcić to do naszej

tradycyjnej postaci mx+b.
Uważam, że w ten sposób

łatwiej wyobrazić sobie prostą.

Można powiedzieć, że y=3-x.

Wobec tego, wzdłuż tej prostej,
dywergencja pola wektorowego

jest równa 0, wzdłuż prostej y=3-x.

Jeżeli znajdziemy się powyżej tej
prostej, dywergencja będzie

dodatnia. To prawda, ponieważ jeśli
tylko zwiększylibyście tę wartość wtedy

znak przeszedłby dalej.

i mielibyście y>3-x.

Dlatego dla y>3-x dywergencja
jest dodatnia.

Zaś dla y<3-x dywergencja jest ujemna.

Możecie zrobić to ze znakiem
mniejszości i rozwiązać,

otrzymacie, że y>3-x,
jeśli chcecie dowiedzieć się gdzie

dywergencja jest ujemna.

Myślę, że przeprowadziliśmy całą analizę,
jaką mogliśmy przeprowadzić

Spójrzmy więc na wykres i zobaczmy czy to

zgadza się z naszą intuicją
czym jest dywergencja,

i liczby które znaleźliśmy.

Mam nadzieję, że możecie to zobaczyć.

Więc to jest nasze pole wektorowe.

Nie mam miejsca, by to pokazać,
ale myślę, że pamiętacie, że to

jest... No wiecie, x^2-3x+2.

Taka jest definicja naszego
pola wektorowego.

Mamy to tutaj rozrysowane.

Zobaczyliśmy, po prostu
zobaczyliśmy, że

składowa x i składowa y
są równe 0

i stwierdziliśmy, że kiedy
obie z nich są równe 0?

I stwierdziliśmy... No dobrze...
że w punkcie (1, 1).

No więc, to jest
punkt (1, 1), a długość

wektorów w tym
punkcie jest równa 0.

Właściwie to mogę to
nieco przybliżyć.

Właśnie tu, wszystkie wskazują
do wewnątrz, ale stają się

coraz krótsze, kiedy zbliżamy
się do punktu (1, 1), prawda?

Powiedzieliśmy też, że w punkcie
(1, 2) - x jest 1, y jest 2.

I tu także widzimy,
że długość wektorów

staje się bardzo, bardzo mała.

Znów przybliżymy.

Widzimy, że długość
bardzo maleje.

W innym punkcie: (2, 1), po raz
kolejny widzimy, że długość.

się zmniejsza. I w (2, 2) też.

Zatem jest to zgodne z tym, co
stwierdziliśmy - że nasze pole

wektorowe staje się bardzo
małe w tym punkcie.

I kolejna ciekawa rzecz, którą
powiedzieliśmy. OK. Kiedy

dywergencja jest równa 0?

Cóż, dywergencja
wynosiła 0 na prostej y...

...=3-x.

Zatem prosta y=3-x zaczyna się...
Na przecięciu z osią y

to będzie 3, i biegnie
w dół właśnie tak.

Czyż nie?

Gdziekolwiek, w dowolnym
punkcie na tej prostej

dywergencja jest równa 0.

I jeśli popatrzymy na wykres,
to rzeczywiście nabiera to sensu.

Ponieważ nie mogę rysować po tym wykresie...
Ale jeśli narysowalibyśmy okrąg

właśnie tu. Załóżmy, że
leży na tej prostej: y

równa się 3-x, moglibyśmy
zobaczyć, że w danej jednostce

czasu, tak samo dużo cząsteczek ile
wchodzi do środka od góry

z prawej, wychodzi od
dołu z lewej, prawda?

Dużo wchodzących od góry z prawej
strony i dużo wychodzących

od dołu z lewej strony.

Chociaż wektory są mniej
więcej takiej samej długości.

A jeśli przeniesiemy się na dół,
jeśli przeniesiemy się tu, na prostą, to

wygląda to tak jakby
mniej wchodziło, ale

również i mniej wychodziło.

Wiem, że trudno to dostrzec, ale
gdziekolwiek na tej prostej

jest tak samo dużo wektorów
wchodzących jak i wychodzących.

I właśnie dlatego,
dywergencja wynosi 0.

Spójrzmy teraz na pozostałe punkty.

Obliczyliśmy, że tutaj
dywergencja jest dodatnia.

[NIEZROZUMIAŁE]

w dowolnym punkcie.

Gdybyśmy mieli narysować tutaj
okrąg, zobaczylibyśmy wektory

po lewej stronie okręgu,
którego nie możecie zobaczyć,

ponieważ nie mogę na tym
wykresie nic narysować.

Ale faktycznie...
Powiedzmy, że mamy kwadrat.

Powiedzmy, że moim obszarem
jest kwadrat, dobrze?

Ten tutaj.

Jeśli ten kwadrat jest moim obszarem,
widzimy, że wektory po

lewej stronie są większe, że te
wychodzące są większe aniżeli

te wchodzące, prawda?

Więc jeśli w danej jednostce
czasu więcej wychodzi niż

niż wchodzi, wówczas robię
się rzadszy. Można też powiedzieć,

że cząsteczki się rozbiegają.

I to rzeczywiście ma sens, bo
mam dodatnią dywergencję.

A jeśli przeniesiemy się tu, tu
gdzie dywergencja jest ujemna...

Wybierzmy dowolne miejsce.

Powiedzmy, że kwadrat, ten tutaj.

Widzimy, że wektory wchodzące...
że długości

wektorów wchodzących do jego
wnętrza, są większe niż długości

wektorów wychodzących z niego.

Czyli w danej jednostce czasu,
więcej wchodzi niż wychodzi.

Więc robi się bardziej
gęsty, skupia się.

Możecie zatem wyobrażać sobie ujemną
dywergencję jako zagęszczanie się.

Właściwie jest to też skupianie.

W zasadzie dzieje się
coś interesującego

w tych dwóch punktach.

Powiedzieliśmy, że w punkcie (2, 1)...
Widzimy, że

w kierunku y to tak naprawdę
zbiega się, tak?

Powyżej y=1, strzałki
wskazują na dół,

zaś poniżej tego punktu, strzałki
są skierowane do góry, prawda?

właściwie zbiegają się, albo

mamy ujemną dywergencję.

Rzeczy wchodzą do
danego miejsca.

Ale w kierunku x, rzeczy
są wypychane, tak?

Z tego powodu dywergencja
jest tutaj zerowa. Możecie

mieć cząsteczki wchodzące w pewien
obszar od góry i od dołu, ale

tak samo dużo wychodzących na lewo

i na prawo.

Więc to jest trochę tak jakby cząstki
były odchylane na zewnątrz.

Czyli na siatce, między obydwoma
wymiarami, nie macie

wzrostu ani spadku
gęstości wzdłuż prostej y...

...=3-x.

Póki nie wyczerpałem czasu,
chciałbym pokazać wam podstawową

intuicję, dlaczego dywergencja
jest dodatnia i dlaczego

oznacza to, że cząstki wypływają
na zewnątrz, kiedy tempo

zmian jest dodatnie.

Jak powiedzieliśmy - dywergencja jest dodatnia.

Powiedzmy, że w tym miejscu, dobrze?

I ma to sens. Jeśli nasze
pochodne cząstkowe są

dodatnie, to znaczy, że
długość naszego wektora jest

coraz większa dla dużych wartości naszych

x i y, prawda?

Więc jeśli długość naszego
wektora staje się coraz większa

dla większych wartości x i y, wektory

po prawej stronie będą dłuższe

niż te po lewej stronie.

Powiększają się.

A jeśli miałbym narysować
brzeg, więcej będzie

wychodziło na prawo niż
wchodziło po lewo

Więc mamy dodatnią dywergencję, lub

zmniejsza się nam zagęszczenie.

W każdym razie, mam nadzieję,
że za bardzo nie namieszałem.

Jednak znowu skończył
mi się czas.

Zobaczymy się w następnym nagraniu.