Zajmijmy się teraz nieco bardziej
wyszukanym przykładem, spróbujemy
zbadać pole wektorowe.
Miejmy nadzieję, że dzięki
temu wszystko stanie się
nieco bardziej namacalne.
Tak więc, powiedzmy, że prędkość
płynu lub cząsteczek
w płynie, w dowolnym
punkcie płaszczyzny x-y,
załóżmy, że w kierunku x,
wynosi x^2... x^2+3x
...+2 w kierunku x
dodać y^2-3y+2
w kierunku y.
Ułatwieniem jest to, że mamy tylko
jedno wyrażenie, którym musimy się zająć.
Zatem zacznijmy od obliczeń.
Znajdźmy dywergencję naszego
pola wektorowego,
dywergencję naszego pola.
Zaraz pokażę wam wykres
tego pola, więc
nabierzemy intuicji jak
to właściwie wygląda, zamiast
moich nie-do-końca-udanych
rysunków.
Czym jest więc dywergencja?
Bierzemy pochodną cząstkową składowej x
po x.
Jest tu tylko zmienna x, zatem nie
musimy się tak naprawdę martwić
o traktowanie y lub z jako stałych.
To tak naprawdę zwykła
pochodna tego wyrażenia
ze względu na x.
Więc mamy 2x-3.
Następnie dodajemy to do
pochodnej cząstkowej
składowej y, lub funkcji y,
ze względu na y.
W składowej y występują
same y, zatem po prostu
bierzemy pochodną po y.
Czyli dodajemy 2y-3.
Albo możemy powiedzieć, że
dywergencja v, w dowolnym punkcie
xy, czyli funkcja zmiennych x i y,
wynosi 2x+2y-3.
Zanim pokażę wam wykres,
przeanalizujmy
nieco funkcję.
Przede wszystkim, spójrzmy
na wyjściowe pole wektorowe,
i pomyślmy kiedy to pole
wektorowe ma jakieś
ciekawe punkty.
Cóż, myślę, że ciekawymi punktami
są te, w których składowa x
lub składowa y są równe 0.
Kiedy więc składowa x
jest równa 0?
Dobrze... Jeśli rozłożymy na
czynniki składową x... To
tak samo jakbyśmy przepisali
nasze pole wektorowe.
Jeśli ją rozłożymy, to mamy
x-1 razy x-...
...2 i dodać... A tu mamy ten
sam wielomian tylko z y, dla
składowej y, czyli
y-1 razy y-2 razy j.
Zatem składowa x jest równa 0, kiedy
x równa się 1... To są po prostu
pierwiastki tego wielomianu.
Kiedy x równa się
1 lub 2, prawda?
Z kolei składowa y jest równa 0,
kiedy y równa się 1 lub 2.
Zaś obie są równe 0, jeżeli
weźmiemy dowolną kombinację
tych punktów.
Wobec tego punkty, gdzie składowe
obie są równe 0 to (1, 1), x
jest 1, y jest 2, prawda?
Ponieważ wówczas obie współrzędne
wynoszą 0.
... (2, 1) lub (2, 2).
Zatem to są punkty, gdzie szybkość
naszego płynu, albo
cząsteczek płynu, wynosi 0.
Zaraz zobaczymy to
na naszym wykresie.
Pozwólcie, że zadam
jeszcze jedno pytanie.
W jakich punktach... No dobrze,
najpierw zdecydujmy... Jaki punkt
ma dywergencję równą 0?
Powiedzmy... W jakim punkcie
dywergencja jest równa 0.
Pozwólcie, że uprzątnę
trochę miejsca.
Myślę, że mogę to usunąć.
Otrzymaliśmy nasze punkty,
dowiedzieliśmy się gdzie
szybkość pola wektorowego
równa się 0.
W takim razie przekonajmy się,
kiedy dywergencja
jest równa 0.
Tak więc, to jest dywergencja
Zatem jeśli przyrównamy to
do 0, 2x+2y, 2x...
...+2y, ojej, przepraszam.
Wiecie co? To jest
2x-3 dodać 2y-3.
Więc to jest 6, prawda?
-3 -3 to -6.
To właśnie mój słaby punkt:
dodawanie i odejmowanie.
Nieważne. Dywergencja...
2x+2y-6.
I chcemy się dowiedzieć
kiedy to równa się 0.
Przyrównajmy więc to do 0.
Możemy to nieco uprościć.
Możemy podzielić obie strony
równania przez 2, i dostaniemy x...
...+y-3 równa się 0.
Dostajemy x+y=3.
Możemy na tym poprzestać, albo
możemy przekształcić to do naszej
tradycyjnej postaci mx+b.
Uważam, że w ten sposób
łatwiej wyobrazić sobie prostą.
Można powiedzieć, że y=3-x.
Wobec tego, wzdłuż tej prostej,
dywergencja pola wektorowego
jest równa 0, wzdłuż prostej y=3-x.
Jeżeli znajdziemy się powyżej tej
prostej, dywergencja będzie
dodatnia. To prawda, ponieważ jeśli
tylko zwiększylibyście tę wartość wtedy
znak przeszedłby dalej.
i mielibyście y>3-x.
Dlatego dla y>3-x dywergencja
jest dodatnia.
Zaś dla y<3-x dywergencja jest ujemna.
Możecie zrobić to ze znakiem
mniejszości i rozwiązać,
otrzymacie, że y>3-x,
jeśli chcecie dowiedzieć się gdzie
dywergencja jest ujemna.
Myślę, że przeprowadziliśmy całą analizę,
jaką mogliśmy przeprowadzić
Spójrzmy więc na wykres i zobaczmy czy to
zgadza się z naszą intuicją
czym jest dywergencja,
i liczby które znaleźliśmy.
Mam nadzieję, że możecie to zobaczyć.
Więc to jest nasze pole wektorowe.
Nie mam miejsca, by to pokazać,
ale myślę, że pamiętacie, że to
jest... No wiecie, x^2-3x+2.
Taka jest definicja naszego
pola wektorowego.
Mamy to tutaj rozrysowane.
Zobaczyliśmy, po prostu
zobaczyliśmy, że
składowa x i składowa y
są równe 0
i stwierdziliśmy, że kiedy
obie z nich są równe 0?
I stwierdziliśmy... No dobrze...
że w punkcie (1, 1).
No więc, to jest
punkt (1, 1), a długość
wektorów w tym
punkcie jest równa 0.
Właściwie to mogę to
nieco przybliżyć.
Właśnie tu, wszystkie wskazują
do wewnątrz, ale stają się
coraz krótsze, kiedy zbliżamy
się do punktu (1, 1), prawda?
Powiedzieliśmy też, że w punkcie
(1, 2) - x jest 1, y jest 2.
I tu także widzimy,
że długość wektorów
staje się bardzo, bardzo mała.
Znów przybliżymy.
Widzimy, że długość
bardzo maleje.
W innym punkcie: (2, 1), po raz
kolejny widzimy, że długość.
się zmniejsza. I w (2, 2) też.
Zatem jest to zgodne z tym, co
stwierdziliśmy - że nasze pole
wektorowe staje się bardzo
małe w tym punkcie.
I kolejna ciekawa rzecz, którą
powiedzieliśmy. OK. Kiedy
dywergencja jest równa 0?
Cóż, dywergencja
wynosiła 0 na prostej y...
...=3-x.
Zatem prosta y=3-x zaczyna się...
Na przecięciu z osią y
to będzie 3, i biegnie
w dół właśnie tak.
Czyż nie?
Gdziekolwiek, w dowolnym
punkcie na tej prostej
dywergencja jest równa 0.
I jeśli popatrzymy na wykres,
to rzeczywiście nabiera to sensu.
Ponieważ nie mogę rysować po tym wykresie...
Ale jeśli narysowalibyśmy okrąg
właśnie tu. Załóżmy, że
leży na tej prostej: y
równa się 3-x, moglibyśmy
zobaczyć, że w danej jednostce
czasu, tak samo dużo cząsteczek ile
wchodzi do środka od góry
z prawej, wychodzi od
dołu z lewej, prawda?
Dużo wchodzących od góry z prawej
strony i dużo wychodzących
od dołu z lewej strony.
Chociaż wektory są mniej
więcej takiej samej długości.
A jeśli przeniesiemy się na dół,
jeśli przeniesiemy się tu, na prostą, to
wygląda to tak jakby
mniej wchodziło, ale
również i mniej wychodziło.
Wiem, że trudno to dostrzec, ale
gdziekolwiek na tej prostej
jest tak samo dużo wektorów
wchodzących jak i wychodzących.
I właśnie dlatego,
dywergencja wynosi 0.
Spójrzmy teraz na pozostałe punkty.
Obliczyliśmy, że tutaj
dywergencja jest dodatnia.
[NIEZROZUMIAŁE]
w dowolnym punkcie.
Gdybyśmy mieli narysować tutaj
okrąg, zobaczylibyśmy wektory
po lewej stronie okręgu,
którego nie możecie zobaczyć,
ponieważ nie mogę na tym
wykresie nic narysować.
Ale faktycznie...
Powiedzmy, że mamy kwadrat.
Powiedzmy, że moim obszarem
jest kwadrat, dobrze?
Ten tutaj.
Jeśli ten kwadrat jest moim obszarem,
widzimy, że wektory po
lewej stronie są większe, że te
wychodzące są większe aniżeli
te wchodzące, prawda?
Więc jeśli w danej jednostce
czasu więcej wychodzi niż
niż wchodzi, wówczas robię
się rzadszy. Można też powiedzieć,
że cząsteczki się rozbiegają.
I to rzeczywiście ma sens, bo
mam dodatnią dywergencję.
A jeśli przeniesiemy się tu, tu
gdzie dywergencja jest ujemna...
Wybierzmy dowolne miejsce.
Powiedzmy, że kwadrat, ten tutaj.
Widzimy, że wektory wchodzące...
że długości
wektorów wchodzących do jego
wnętrza, są większe niż długości
wektorów wychodzących z niego.
Czyli w danej jednostce czasu,
więcej wchodzi niż wychodzi.
Więc robi się bardziej
gęsty, skupia się.
Możecie zatem wyobrażać sobie ujemną
dywergencję jako zagęszczanie się.
Właściwie jest to też skupianie.
W zasadzie dzieje się
coś interesującego
w tych dwóch punktach.
Powiedzieliśmy, że w punkcie (2, 1)...
Widzimy, że
w kierunku y to tak naprawdę
zbiega się, tak?
Powyżej y=1, strzałki
wskazują na dół,
zaś poniżej tego punktu, strzałki
są skierowane do góry, prawda?
właściwie zbiegają się, albo
mamy ujemną dywergencję.
Rzeczy wchodzą do
danego miejsca.
Ale w kierunku x, rzeczy
są wypychane, tak?
Z tego powodu dywergencja
jest tutaj zerowa. Możecie
mieć cząsteczki wchodzące w pewien
obszar od góry i od dołu, ale
tak samo dużo wychodzących na lewo
i na prawo.
Więc to jest trochę tak jakby cząstki
były odchylane na zewnątrz.
Czyli na siatce, między obydwoma
wymiarami, nie macie
wzrostu ani spadku
gęstości wzdłuż prostej y...
...=3-x.
Póki nie wyczerpałem czasu,
chciałbym pokazać wam podstawową
intuicję, dlaczego dywergencja
jest dodatnia i dlaczego
oznacza to, że cząstki wypływają
na zewnątrz, kiedy tempo
zmian jest dodatnie.
Jak powiedzieliśmy - dywergencja jest dodatnia.
Powiedzmy, że w tym miejscu, dobrze?
I ma to sens. Jeśli nasze
pochodne cząstkowe są
dodatnie, to znaczy, że
długość naszego wektora jest
coraz większa dla dużych wartości naszych
x i y, prawda?
Więc jeśli długość naszego
wektora staje się coraz większa
dla większych wartości x i y, wektory
po prawej stronie będą dłuższe
niż te po lewej stronie.
Powiększają się.
A jeśli miałbym narysować
brzeg, więcej będzie
wychodziło na prawo niż
wchodziło po lewo
Więc mamy dodatnią dywergencję, lub
zmniejsza się nam zagęszczenie.
W każdym razie, mam nadzieję,
że za bardzo nie namieszałem.
Jednak znowu skończył
mi się czas.
Zobaczymy się w następnym nagraniu.