Zajmijmy się teraz nieco bardziej wyszukanym przykładem, spróbujemy
zbadać pole wektorowe.
Miejmy nadzieję, że dzięki temu wszystko stanie się
nieco bardziej namacalne.
Tak więc, powiedzmy, że prędkość płynu lub cząsteczek
w płynie, w dowolnym punkcie płaszczyzny x-y,
załóżmy, że w kierunku x, wynosi x^2... x^2+3x
...+2 w kierunku x dodać y^2-3y+2
w kierunku y.
Ułatwieniem jest to, że mamy tylko jedno wyrażenie, którym musimy się zająć.
Zatem zacznijmy od obliczeń.
Znajdźmy dywergencję naszego pola wektorowego,
dywergencję naszego pola.
Zaraz pokażę wam wykres tego pola, więc
nabierzemy intuicji jak to właściwie wygląda, zamiast
moich nie-do-końca-udanych rysunków.
Czym jest więc dywergencja?
Bierzemy pochodną cząstkową składowej x
po x.
Jest tu tylko zmienna x, zatem nie
musimy się tak naprawdę martwić o traktowanie y lub z jako stałych.
To tak naprawdę zwykła pochodna tego wyrażenia
ze względu na x.
Więc mamy 2x-3.
Następnie dodajemy to do pochodnej cząstkowej
składowej y, lub funkcji y, ze względu na y.
W składowej y występują same y, zatem po prostu
bierzemy pochodną po y.
Czyli dodajemy 2y-3.
Albo możemy powiedzieć, że dywergencja v, w dowolnym punkcie
xy, czyli funkcja zmiennych x i y, wynosi 2x+2y-3.
Zanim pokażę wam wykres, przeanalizujmy
nieco funkcję.
Przede wszystkim, spójrzmy na wyjściowe pole wektorowe,
i pomyślmy kiedy to pole wektorowe ma jakieś
ciekawe punkty.
Cóż, myślę, że ciekawymi punktami są te, w których składowa x
lub składowa y są równe 0.
Kiedy więc składowa x jest równa 0?
Dobrze... Jeśli rozłożymy na czynniki składową x... To
tak samo jakbyśmy przepisali nasze pole wektorowe.
Jeśli ją rozłożymy, to mamy x-1 razy x-...
...2 i dodać... A tu mamy ten sam wielomian tylko z y, dla
składowej y, czyli y-1 razy y-2 razy j.
Zatem składowa x jest równa 0, kiedy x równa się 1... To są po prostu
pierwiastki tego wielomianu. Kiedy x równa się
1 lub 2, prawda?
Z kolei składowa y jest równa 0, kiedy y równa się 1 lub 2.
Zaś obie są równe 0, jeżeli weźmiemy dowolną kombinację
tych punktów.
Wobec tego punkty, gdzie składowe obie są równe 0 to (1, 1), x
jest 1, y jest 2, prawda? Ponieważ wówczas obie współrzędne
wynoszą 0. ... (2, 1) lub (2, 2).
Zatem to są punkty, gdzie szybkość
naszego płynu, albo cząsteczek płynu, wynosi 0.
Zaraz zobaczymy to na naszym wykresie.
Pozwólcie, że zadam jeszcze jedno pytanie.
W jakich punktach... No dobrze, najpierw zdecydujmy... Jaki punkt
ma dywergencję równą 0?
Powiedzmy... W jakim punkcie dywergencja jest równa 0.
Pozwólcie, że uprzątnę trochę miejsca.
Myślę, że mogę to usunąć.
Otrzymaliśmy nasze punkty, dowiedzieliśmy się gdzie
szybkość pola wektorowego równa się 0.
W takim razie przekonajmy się, kiedy dywergencja
jest równa 0.
Tak więc, to jest dywergencja
Zatem jeśli przyrównamy to do 0, 2x+2y, 2x...
...+2y, ojej, przepraszam.
Wiecie co? To jest 2x-3 dodać 2y-3.
Więc to jest 6, prawda?
-3 -3 to -6.
To właśnie mój słaby punkt: dodawanie i odejmowanie.
Nieważne. Dywergencja...
2x+2y-6.
I chcemy się dowiedzieć kiedy to równa się 0.
Przyrównajmy więc to do 0.
Możemy to nieco uprościć.
Możemy podzielić obie strony równania przez 2, i dostaniemy x...
...+y-3 równa się 0.
Dostajemy x+y=3.
Możemy na tym poprzestać, albo możemy przekształcić to do naszej
tradycyjnej postaci mx+b. Uważam, że w ten sposób
łatwiej wyobrazić sobie prostą.
Można powiedzieć, że y=3-x.
Wobec tego, wzdłuż tej prostej, dywergencja pola wektorowego
jest równa 0, wzdłuż prostej y=3-x.
Jeżeli znajdziemy się powyżej tej prostej, dywergencja będzie
dodatnia. To prawda, ponieważ jeśli tylko zwiększylibyście tę wartość wtedy
znak przeszedłby dalej.
i mielibyście y>3-x.
Dlatego dla y>3-x dywergencja jest dodatnia.
Zaś dla y<3-x dywergencja jest ujemna.
Możecie zrobić to ze znakiem mniejszości i rozwiązać,
otrzymacie, że y>3-x, jeśli chcecie dowiedzieć się gdzie
dywergencja jest ujemna.
Myślę, że przeprowadziliśmy całą analizę, jaką mogliśmy przeprowadzić
Spójrzmy więc na wykres i zobaczmy czy to
zgadza się z naszą intuicją czym jest dywergencja,
i liczby które znaleźliśmy.
Mam nadzieję, że możecie to zobaczyć.
Więc to jest nasze pole wektorowe.
Nie mam miejsca, by to pokazać, ale myślę, że pamiętacie, że to
jest... No wiecie, x^2-3x+2.
Taka jest definicja naszego pola wektorowego.
Mamy to tutaj rozrysowane.
Zobaczyliśmy, po prostu zobaczyliśmy, że
składowa x i składowa y są równe 0
i stwierdziliśmy, że kiedy obie z nich są równe 0?
I stwierdziliśmy... No dobrze... że w punkcie (1, 1).
No więc, to jest punkt (1, 1), a długość
wektorów w tym punkcie jest równa 0.
Właściwie to mogę to nieco przybliżyć.
Właśnie tu, wszystkie wskazują do wewnątrz, ale stają się
coraz krótsze, kiedy zbliżamy się do punktu (1, 1), prawda?
Powiedzieliśmy też, że w punkcie (1, 2) - x jest 1, y jest 2.
I tu także widzimy, że długość wektorów
staje się bardzo, bardzo mała.
Znów przybliżymy.
Widzimy, że długość bardzo maleje.
W innym punkcie: (2, 1), po raz kolejny widzimy, że długość.
się zmniejsza. I w (2, 2) też.
Zatem jest to zgodne z tym, co stwierdziliśmy - że nasze pole
wektorowe staje się bardzo małe w tym punkcie.
I kolejna ciekawa rzecz, którą powiedzieliśmy. OK. Kiedy
dywergencja jest równa 0?
Cóż, dywergencja wynosiła 0 na prostej y...
...=3-x.
Zatem prosta y=3-x zaczyna się... Na przecięciu z osią y
to będzie 3, i biegnie w dół właśnie tak.
Czyż nie?
Gdziekolwiek, w dowolnym punkcie na tej prostej
dywergencja jest równa 0.
I jeśli popatrzymy na wykres, to rzeczywiście nabiera to sensu.
Ponieważ nie mogę rysować po tym wykresie... Ale jeśli narysowalibyśmy okrąg
właśnie tu. Załóżmy, że leży na tej prostej: y
równa się 3-x, moglibyśmy zobaczyć, że w danej jednostce
czasu, tak samo dużo cząsteczek ile wchodzi do środka od góry
z prawej, wychodzi od dołu z lewej, prawda?
Dużo wchodzących od góry z prawej strony i dużo wychodzących
od dołu z lewej strony.
Chociaż wektory są mniej więcej takiej samej długości.
A jeśli przeniesiemy się na dół, jeśli przeniesiemy się tu, na prostą, to
wygląda to tak jakby mniej wchodziło, ale
również i mniej wychodziło.
Wiem, że trudno to dostrzec, ale gdziekolwiek na tej prostej
jest tak samo dużo wektorów wchodzących jak i wychodzących.
I właśnie dlatego, dywergencja wynosi 0.
Spójrzmy teraz na pozostałe punkty.
Obliczyliśmy, że tutaj dywergencja jest dodatnia.
[NIEZROZUMIAŁE]
w dowolnym punkcie.
Gdybyśmy mieli narysować tutaj okrąg, zobaczylibyśmy wektory
po lewej stronie okręgu, którego nie możecie zobaczyć,
ponieważ nie mogę na tym wykresie nic narysować.
Ale faktycznie... Powiedzmy, że mamy kwadrat.
Powiedzmy, że moim obszarem jest kwadrat, dobrze?
Ten tutaj.
Jeśli ten kwadrat jest moim obszarem, widzimy, że wektory po
lewej stronie są większe, że te wychodzące są większe aniżeli
te wchodzące, prawda?
Więc jeśli w danej jednostce czasu więcej wychodzi niż
niż wchodzi, wówczas robię się rzadszy. Można też powiedzieć,
że cząsteczki się rozbiegają.
I to rzeczywiście ma sens, bo mam dodatnią dywergencję.
A jeśli przeniesiemy się tu, tu gdzie dywergencja jest ujemna...
Wybierzmy dowolne miejsce.
Powiedzmy, że kwadrat, ten tutaj.
Widzimy, że wektory wchodzące... że długości
wektorów wchodzących do jego wnętrza, są większe niż długości
wektorów wychodzących z niego.
Czyli w danej jednostce czasu, więcej wchodzi niż wychodzi.
Więc robi się bardziej gęsty, skupia się.
Możecie zatem wyobrażać sobie ujemną dywergencję jako zagęszczanie się.
Właściwie jest to też skupianie.
W zasadzie dzieje się coś interesującego
w tych dwóch punktach.
Powiedzieliśmy, że w punkcie (2, 1)... Widzimy, że
w kierunku y to tak naprawdę zbiega się, tak?
Powyżej y=1, strzałki wskazują na dół,
zaś poniżej tego punktu, strzałki są skierowane do góry, prawda?
właściwie zbiegają się, albo
mamy ujemną dywergencję.
Rzeczy wchodzą do danego miejsca.
Ale w kierunku x, rzeczy są wypychane, tak?
Z tego powodu dywergencja jest tutaj zerowa. Możecie
mieć cząsteczki wchodzące w pewien obszar od góry i od dołu, ale
tak samo dużo wychodzących na lewo
i na prawo.
Więc to jest trochę tak jakby cząstki były odchylane na zewnątrz.
Czyli na siatce, między obydwoma wymiarami, nie macie
wzrostu ani spadku gęstości wzdłuż prostej y...
...=3-x.
Póki nie wyczerpałem czasu, chciałbym pokazać wam podstawową
intuicję, dlaczego dywergencja jest dodatnia i dlaczego
oznacza to, że cząstki wypływają na zewnątrz, kiedy tempo
zmian jest dodatnie.
Jak powiedzieliśmy - dywergencja jest dodatnia.
Powiedzmy, że w tym miejscu, dobrze?
I ma to sens. Jeśli nasze pochodne cząstkowe są
dodatnie, to znaczy, że długość naszego wektora jest
coraz większa dla dużych wartości naszych
x i y, prawda?
Więc jeśli długość naszego wektora staje się coraz większa
dla większych wartości x i y, wektory
po prawej stronie będą dłuższe
niż te po lewej stronie.
Powiększają się.
A jeśli miałbym narysować brzeg, więcej będzie
wychodziło na prawo niż wchodziło po lewo
Więc mamy dodatnią dywergencję, lub
zmniejsza się nam zagęszczenie.
W każdym razie, mam nadzieję, że za bardzo nie namieszałem.
Jednak znowu skończył mi się czas.
Zobaczymy się w następnym nagraniu.