0:00:00.000,0:00:00.870


0:00:00.870,0:00:03.490
Zajmijmy się teraz nieco bardziej [br]wyszukanym przykładem, spróbujemy

0:00:03.490,0:00:04.610
zbadać pole wektorowe.

0:00:04.610,0:00:07.780
Miejmy nadzieję, że dzięki [br]temu wszystko stanie się

0:00:07.780,0:00:08.580
nieco bardziej namacalne.

0:00:08.580,0:00:12.710
Tak więc, powiedzmy, że prędkość [br]płynu lub cząsteczek

0:00:12.710,0:00:18.150
w płynie, w dowolnym [br]punkcie płaszczyzny x-y,

0:00:18.150,0:00:28.490
załóżmy, że w kierunku x, [br]wynosi x^2... x^2+3x

0:00:28.490,0:00:38.170
...+2 w kierunku x [br]dodać y^2-3y+2

0:00:38.170,0:00:39.770
w kierunku y.

0:00:39.770,0:00:44.250
Ułatwieniem jest to, że mamy tylko [br]jedno wyrażenie, którym musimy się zająć.

0:00:44.250,0:00:45.910
Zatem zacznijmy od obliczeń.

0:00:45.910,0:00:51.730
Znajdźmy dywergencję naszego [br]pola wektorowego,

0:00:51.730,0:00:54.050
dywergencję naszego pola.

0:00:54.050,0:00:56.280
Zaraz pokażę wam wykres [br]tego pola, więc

0:00:56.280,0:00:58.270
nabierzemy intuicji jak [br]to właściwie wygląda, zamiast

0:00:58.270,0:01:01.870
moich nie-do-końca-udanych[br]rysunków.

0:01:01.870,0:01:02.880
Czym jest więc dywergencja?

0:01:02.880,0:01:05.200
Bierzemy pochodną cząstkową składowej x

0:01:05.200,0:01:06.940
po x.

0:01:06.940,0:01:09.430
Jest tu tylko zmienna x, zatem nie

0:01:09.430,0:01:11.645
musimy się tak naprawdę martwić [br]o traktowanie y lub z jako stałych.

0:01:11.645,0:01:13.650
To tak naprawdę zwykła [br]pochodna tego wyrażenia

0:01:13.650,0:01:15.150
ze względu na x.

0:01:15.150,0:01:19.820
Więc mamy 2x-3.

0:01:19.820,0:01:22.520
Następnie dodajemy to do [br]pochodnej cząstkowej

0:01:22.520,0:01:25.290
składowej y, lub funkcji y, [br]ze względu na y.

0:01:25.290,0:01:27.800
W składowej y występują [br]same y, zatem po prostu

0:01:27.800,0:01:29.000
bierzemy pochodną po y.

0:01:29.000,0:01:34.910
Czyli dodajemy 2y-3.

0:01:34.910,0:01:39.300
Albo możemy powiedzieć, że [br]dywergencja v, w dowolnym punkcie

0:01:39.300,0:01:48.120
xy, czyli funkcja zmiennych x i y, [br]wynosi 2x+2y-3.

0:01:48.120,0:01:52.750
Zanim pokażę wam wykres, [br]przeanalizujmy

0:01:52.750,0:01:54.010
nieco funkcję.

0:01:54.010,0:01:56.270
Przede wszystkim, spójrzmy [br]na wyjściowe pole wektorowe,

0:01:56.270,0:02:01.750
i pomyślmy kiedy to pole [br]wektorowe ma jakieś

0:02:01.750,0:02:03.400
ciekawe punkty.

0:02:03.400,0:02:06.120
Cóż, myślę, że ciekawymi punktami [br]są te, w których składowa x

0:02:06.120,0:02:08.020
lub składowa y są równe 0.

0:02:08.020,0:02:10.590
Kiedy więc składowa x [br]jest równa 0?

0:02:10.590,0:02:13.480
Dobrze... Jeśli rozłożymy na [br]czynniki składową x... To

0:02:13.480,0:02:17.420
tak samo jakbyśmy przepisali [br]nasze pole wektorowe.

0:02:17.420,0:02:23.010
Jeśli ją rozłożymy, to mamy[br]x-1 razy x-...

0:02:23.010,0:02:29.910
...2 i dodać... A tu mamy ten [br]sam wielomian tylko z y, dla

0:02:29.910,0:02:38.500
składowej y, czyli [br]y-1 razy y-2 razy j.

0:02:38.500,0:02:43.130
Zatem składowa x jest równa 0, kiedy [br]x równa się 1... To są po prostu

0:02:43.130,0:02:45.060
pierwiastki tego wielomianu. [br]Kiedy x równa się

0:02:45.060,0:02:47.050
1 lub 2, prawda?

0:02:47.050,0:02:51.980
Z kolei składowa y jest równa 0,[br]kiedy y równa się 1 lub 2.

0:02:51.980,0:02:54.790
Zaś obie są równe 0, jeżeli [br]weźmiemy dowolną kombinację

0:02:54.790,0:02:55.420
tych punktów.

0:02:55.420,0:03:02.240
Wobec tego punkty, gdzie składowe[br]obie są równe 0 to (1, 1), x

0:03:02.240,0:03:04.690
jest 1, y jest 2, prawda? [br]Ponieważ wówczas obie współrzędne

0:03:04.690,0:03:10.340
wynoszą 0. [br]... (2, 1) lub (2, 2).

0:03:10.340,0:03:15.090
Zatem to są punkty, gdzie szybkość

0:03:15.090,0:03:17.490
naszego płynu, albo [br]cząsteczek płynu, wynosi 0.

0:03:17.490,0:03:20.200
Zaraz zobaczymy to [br]na naszym wykresie.

0:03:20.200,0:03:21.670
Pozwólcie, że zadam [br]jeszcze jedno pytanie.

0:03:21.670,0:03:26.960
W jakich punktach... No dobrze, [br]najpierw zdecydujmy... Jaki punkt

0:03:26.960,0:03:29.290
ma dywergencję równą 0?

0:03:29.290,0:03:31.500
Powiedzmy... W jakim punkcie [br]dywergencja jest równa 0.

0:03:31.500,0:03:34.460
Pozwólcie, że uprzątnę [br]trochę miejsca.

0:03:34.460,0:03:35.570
Myślę, że mogę to usunąć.

0:03:35.570,0:03:40.140
Otrzymaliśmy nasze punkty, [br]dowiedzieliśmy się gdzie

0:03:40.140,0:03:43.072
szybkość pola wektorowego [br]równa się 0.

0:03:43.072,0:03:47.790
W takim razie przekonajmy się, [br]kiedy dywergencja

0:03:47.790,0:03:49.870
jest równa 0.

0:03:49.870,0:03:50.940
Tak więc, to jest dywergencja

0:03:50.940,0:03:57.610
Zatem jeśli przyrównamy to [br]do 0, 2x+2y, 2x...

0:03:57.610,0:03:59.250
...+2y, ojej, przepraszam.

0:03:59.250,0:04:01.330
Wiecie co? To jest [br]2x-3 dodać 2y-3.

0:04:01.330,0:04:03.640
Więc to jest 6, prawda?

0:04:03.640,0:04:06.480
-3 -3 to -6.

0:04:06.480,0:04:09.880
To właśnie mój słaby punkt: [br]dodawanie i odejmowanie.

0:04:09.880,0:04:11.560
Nieważne. Dywergencja...

0:04:11.560,0:04:14.710
2x+2y-6.

0:04:14.710,0:04:16.860
I chcemy się dowiedzieć [br]kiedy to równa się 0.

0:04:16.860,0:04:19.950
Przyrównajmy więc to do 0.

0:04:19.950,0:04:22.090
Możemy to nieco uprościć.

0:04:22.090,0:04:25.760
Możemy podzielić obie strony [br]równania przez 2, i dostaniemy x...

0:04:25.760,0:04:28.940
...+y-3 równa się 0.

0:04:28.940,0:04:32.640
Dostajemy x+y=3.

0:04:32.640,0:04:35.190
Możemy na tym poprzestać, albo [br]możemy przekształcić to do naszej

0:04:35.190,0:04:39.690
tradycyjnej postaci mx+b. [br]Uważam, że w ten sposób

0:04:39.690,0:04:41.330
łatwiej wyobrazić sobie prostą.

0:04:41.330,0:04:45.930
Można powiedzieć, że y=3-x.

0:04:45.930,0:04:50.960
Wobec tego, wzdłuż tej prostej, [br]dywergencja pola wektorowego

0:04:50.960,0:04:55.830
jest równa 0, wzdłuż prostej y=3-x.

0:04:55.830,0:04:58.990
Jeżeli znajdziemy się powyżej tej [br]prostej, dywergencja będzie

0:04:58.990,0:05:02.210
dodatnia. To prawda, ponieważ jeśli [br]tylko zwiększylibyście tę wartość wtedy

0:05:02.210,0:05:03.520
znak przeszedłby dalej.

0:05:03.520,0:05:05.890
i mielibyście y>3-x.

0:05:05.890,0:05:13.640
Dlatego dla y>3-x dywergencja [br]jest dodatnia.

0:05:13.640,0:05:19.420
Zaś dla y<3-x dywergencja jest ujemna.

0:05:19.420,0:05:21.880
Możecie zrobić to ze znakiem [br]mniejszości i rozwiązać,

0:05:21.880,0:05:24.310
otrzymacie, że y>3-x,[br]jeśli chcecie dowiedzieć się gdzie

0:05:24.310,0:05:25.640
dywergencja jest ujemna.

0:05:25.640,0:05:28.510
Myślę, że przeprowadziliśmy całą analizę, [br]jaką mogliśmy przeprowadzić

0:05:28.510,0:05:31.020
Spójrzmy więc na wykres i zobaczmy czy to

0:05:31.020,0:05:33.760
zgadza się z naszą intuicją [br]czym jest dywergencja,

0:05:33.760,0:05:34.755
i liczby które znaleźliśmy.

0:05:37.480,0:05:39.280
Mam nadzieję, że możecie to zobaczyć.

0:05:39.280,0:05:41.450
Więc to jest nasze pole wektorowe.

0:05:41.450,0:05:45.630
Nie mam miejsca, by to pokazać,[br]ale myślę, że pamiętacie, że to

0:05:45.630,0:05:47.620
jest... No wiecie, x^2-3x+2.

0:05:47.620,0:05:50.370
Taka jest definicja naszego [br]pola wektorowego.

0:05:50.370,0:05:51.590
Mamy to tutaj rozrysowane.

0:05:51.590,0:05:55.040
Zobaczyliśmy, po prostu [br]zobaczyliśmy, że

0:05:55.040,0:05:57.130
składowa x i składowa y [br]są równe 0

0:05:57.130,0:05:58.980
i stwierdziliśmy, że kiedy [br]obie z nich są równe 0?

0:05:58.980,0:06:01.370
I stwierdziliśmy... No dobrze... [br]że w punkcie (1, 1).

0:06:01.370,0:06:04.290
No więc, to jest [br]punkt (1, 1), a długość

0:06:04.290,0:06:06.210
wektorów w tym [br]punkcie jest równa 0.

0:06:06.210,0:06:09.600
Właściwie to mogę to[br]nieco przybliżyć.

0:06:09.600,0:06:11.750
Właśnie tu, wszystkie wskazują [br]do wewnątrz, ale stają się

0:06:11.750,0:06:16.130
coraz krótsze, kiedy zbliżamy [br]się do punktu (1, 1), prawda?

0:06:16.130,0:06:19.690
Powiedzieliśmy też, że w punkcie[br](1, 2) - x jest 1, y jest 2.

0:06:19.690,0:06:22.290
I tu także widzimy, [br]że długość wektorów

0:06:22.290,0:06:24.680
staje się bardzo, bardzo mała.

0:06:24.680,0:06:26.480
Znów przybliżymy.

0:06:26.480,0:06:29.020
Widzimy, że długość [br]bardzo maleje.

0:06:29.020,0:06:31.460
W innym punkcie: (2, 1), po raz[br]kolejny widzimy, że długość.

0:06:31.460,0:06:33.060
się zmniejsza. I w (2, 2) też.

0:06:33.060,0:06:35.590
Zatem jest to zgodne z tym, co[br]stwierdziliśmy - że nasze pole

0:06:35.590,0:06:37.980
wektorowe staje się bardzo [br]małe w tym punkcie.

0:06:37.980,0:06:39.900
I kolejna ciekawa rzecz, którą[br]powiedzieliśmy. OK. Kiedy

0:06:39.900,0:06:41.500
dywergencja jest równa 0?

0:06:41.500,0:06:46.160
Cóż, dywergencja [br]wynosiła 0 na prostej y...

0:06:46.160,0:06:48.800
...=3-x.

0:06:48.800,0:06:52.250
Zatem prosta y=3-x zaczyna się...[br]Na przecięciu z osią y

0:06:52.250,0:06:55.640
to będzie 3, i biegnie [br]w dół właśnie tak.

0:06:55.640,0:06:56.020
Czyż nie?

0:06:56.020,0:06:58.730
Gdziekolwiek, w dowolnym[br]punkcie na tej prostej

0:06:58.730,0:07:00.270
dywergencja jest równa 0.

0:07:00.270,0:07:03.310
I jeśli popatrzymy na wykres, [br]to rzeczywiście nabiera to sensu.

0:07:03.310,0:07:06.570
Ponieważ nie mogę rysować po tym wykresie...[br]Ale jeśli narysowalibyśmy okrąg

0:07:06.570,0:07:11.450
właśnie tu. Załóżmy, że [br]leży na tej prostej: y

0:07:11.450,0:07:14.920
równa się 3-x, moglibyśmy [br]zobaczyć, że w danej jednostce

0:07:14.920,0:07:18.000
czasu, tak samo dużo cząsteczek ile[br]wchodzi do środka od góry

0:07:18.000,0:07:20.990
z prawej, wychodzi od[br]dołu z lewej, prawda?

0:07:20.990,0:07:23.670
Dużo wchodzących od góry z prawej [br]strony i dużo wychodzących

0:07:23.670,0:07:24.340
od dołu z lewej strony.

0:07:24.340,0:07:26.740
Chociaż wektory są mniej [br]więcej takiej samej długości.

0:07:26.740,0:07:32.030
A jeśli przeniesiemy się na dół, [br]jeśli przeniesiemy się tu, na prostą, to

0:07:32.030,0:07:35.860
wygląda to tak jakby [br]mniej wchodziło, ale

0:07:35.860,0:07:36.970
również i mniej wychodziło.

0:07:36.970,0:07:39.520
Wiem, że trudno to dostrzec, ale[br]gdziekolwiek na tej prostej

0:07:39.520,0:07:41.450
jest tak samo dużo wektorów [br]wchodzących jak i wychodzących.

0:07:41.450,0:07:45.240
I właśnie dlatego,[br]dywergencja wynosi 0.

0:07:45.240,0:07:47.650
Spójrzmy teraz na pozostałe punkty.

0:07:47.650,0:07:50.630
Obliczyliśmy, że tutaj [br]dywergencja jest dodatnia.

0:07:50.630,0:07:51.740
[NIEZROZUMIAŁE]

0:07:51.740,0:07:53.310
w dowolnym punkcie.

0:07:53.310,0:07:57.150
Gdybyśmy mieli narysować tutaj [br]okrąg, zobaczylibyśmy wektory

0:07:57.150,0:08:00.080
po lewej stronie okręgu, [br]którego nie możecie zobaczyć,

0:08:00.080,0:08:02.050
ponieważ nie mogę na tym [br]wykresie nic narysować.

0:08:02.050,0:08:04.790
Ale faktycznie... [br]Powiedzmy, że mamy kwadrat.

0:08:04.790,0:08:07.690
Powiedzmy, że moim obszarem [br]jest kwadrat, dobrze?

0:08:07.690,0:08:09.210
Ten tutaj.

0:08:09.210,0:08:12.320
Jeśli ten kwadrat jest moim obszarem,[br]widzimy, że wektory po

0:08:12.320,0:08:15.980
lewej stronie są większe, że te [br]wychodzące są większe aniżeli

0:08:15.980,0:08:18.830
te wchodzące, prawda?

0:08:18.830,0:08:22.540
Więc jeśli w danej jednostce [br]czasu więcej wychodzi niż

0:08:22.540,0:08:27.180
niż wchodzi, wówczas robię [br]się rzadszy. Można też powiedzieć,

0:08:27.180,0:08:28.860
że cząsteczki się rozbiegają.

0:08:28.860,0:08:32.070
I to rzeczywiście ma sens, bo [br]mam dodatnią dywergencję.

0:08:32.070,0:08:35.210
A jeśli przeniesiemy się tu, tu [br]gdzie dywergencja jest ujemna...

0:08:35.210,0:08:36.880
Wybierzmy dowolne miejsce.

0:08:36.880,0:08:39.600
Powiedzmy, że kwadrat, ten tutaj.

0:08:39.600,0:08:43.710
Widzimy, że wektory wchodzące...[br]że długości

0:08:43.710,0:08:47.470
wektorów wchodzących do jego [br]wnętrza, są większe niż długości

0:08:47.470,0:08:48.800
wektorów wychodzących z niego.

0:08:48.800,0:08:51.390
Czyli w danej jednostce czasu,[br]więcej wchodzi niż wychodzi.

0:08:51.390,0:08:53.850
Więc robi się bardziej [br]gęsty, skupia się.

0:08:53.850,0:08:56.600
Możecie zatem wyobrażać sobie ujemną [br]dywergencję jako zagęszczanie się.

0:08:56.600,0:08:58.610
Właściwie jest to też skupianie.

0:08:58.610,0:09:00.770
W zasadzie dzieje się[br]coś interesującego

0:09:00.770,0:09:04.240
w tych dwóch punktach.

0:09:04.240,0:09:09.220
Powiedzieliśmy, że w punkcie (2, 1)... [br]Widzimy, że

0:09:09.220,0:09:13.580
w kierunku y to tak naprawdę [br]zbiega się, tak?

0:09:13.580,0:09:18.030
Powyżej y=1, strzałki [br]wskazują na dół,

0:09:18.030,0:09:20.630
zaś poniżej tego punktu, strzałki [br]są skierowane do góry, prawda?

0:09:20.630,0:09:23.310
właściwie zbiegają się, albo

0:09:23.310,0:09:24.490
mamy ujemną dywergencję.

0:09:24.490,0:09:26.990
Rzeczy wchodzą do [br]danego miejsca.

0:09:26.990,0:09:30.690
Ale w kierunku x, rzeczy [br]są wypychane, tak?

0:09:30.690,0:09:33.890
Z tego powodu dywergencja [br]jest tutaj zerowa. Możecie

0:09:33.890,0:09:38.020
mieć cząsteczki wchodzące w pewien [br]obszar od góry i od dołu, ale

0:09:38.020,0:09:41.090
tak samo dużo wychodzących na lewo

0:09:41.090,0:09:41.650
i na prawo.

0:09:41.650,0:09:44.160
Więc to jest trochę tak jakby cząstki [br]były odchylane na zewnątrz.

0:09:44.160,0:09:48.710
Czyli na siatce, między obydwoma [br]wymiarami, nie macie

0:09:48.710,0:09:52.030
wzrostu ani spadku[br]gęstości wzdłuż prostej y...

0:09:52.030,0:09:53.680
...=3-x.

0:09:53.680,0:09:56.180
Póki nie wyczerpałem czasu, [br]chciałbym pokazać wam podstawową

0:09:56.180,0:10:00.880
intuicję, dlaczego dywergencja [br]jest dodatnia i dlaczego

0:10:00.880,0:10:04.930
oznacza to, że cząstki wypływają [br]na zewnątrz, kiedy tempo

0:10:04.930,0:10:06.300
zmian jest dodatnie.

0:10:06.300,0:10:07.590
Jak powiedzieliśmy - dywergencja jest dodatnia.

0:10:07.590,0:10:09.420
Powiedzmy, że w tym miejscu, dobrze?

0:10:09.420,0:10:12.350
I ma to sens. Jeśli nasze [br]pochodne cząstkowe są

0:10:12.350,0:10:15.710
dodatnie, to znaczy, że [br]długość naszego wektora jest

0:10:15.710,0:10:18.690
coraz większa dla dużych wartości naszych

0:10:18.690,0:10:20.510
x i y, prawda?

0:10:20.510,0:10:22.760
Więc jeśli długość naszego [br]wektora staje się coraz większa

0:10:22.760,0:10:26.120
dla większych wartości x i y, wektory

0:10:26.120,0:10:28.310
po prawej stronie będą dłuższe

0:10:28.310,0:10:29.290
niż te po lewej stronie.

0:10:29.290,0:10:31.190
Powiększają się.

0:10:31.190,0:10:34.390
A jeśli miałbym narysować [br]brzeg, więcej będzie

0:10:34.390,0:10:36.290
wychodziło na prawo niż [br]wchodziło po lewo

0:10:36.290,0:10:39.220
Więc mamy dodatnią dywergencję, lub

0:10:39.220,0:10:40.520
zmniejsza się nam zagęszczenie.

0:10:40.520,0:10:43.840
W każdym razie, mam nadzieję, [br]że za bardzo nie namieszałem.

0:10:43.840,0:10:45.690
Jednak znowu skończył [br]mi się czas.

0:10:45.690,0:10:48.012
Zobaczymy się w następnym nagraniu.