WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.870


00:00:00.870 --> 00:00:03.490
Zajmijmy się teraz nieco bardziej 
wyszukanym przykładem, spróbujemy

00:00:03.490 --> 00:00:04.610
zbadać pole wektorowe.

00:00:04.610 --> 00:00:07.780
Miejmy nadzieję, że dzięki 
temu wszystko stanie się

00:00:07.780 --> 00:00:08.580
nieco bardziej namacalne.

00:00:08.580 --> 00:00:12.710
Tak więc, powiedzmy, że prędkość 
płynu lub cząsteczek

00:00:12.710 --> 00:00:18.150
w płynie, w dowolnym 
punkcie płaszczyzny x-y,

00:00:18.150 --> 00:00:28.490
załóżmy, że w kierunku x, 
wynosi x^2... x^2+3x

00:00:28.490 --> 00:00:38.170
...+2 w kierunku x 
dodać y^2-3y+2

00:00:38.170 --> 00:00:39.770
w kierunku y.

00:00:39.770 --> 00:00:44.250
Ułatwieniem jest to, że mamy tylko 
jedno wyrażenie, którym musimy się zająć.

00:00:44.250 --> 00:00:45.910
Zatem zacznijmy od obliczeń.

00:00:45.910 --> 00:00:51.730
Znajdźmy dywergencję naszego 
pola wektorowego,

00:00:51.730 --> 00:00:54.050
dywergencję naszego pola.

00:00:54.050 --> 00:00:56.280
Zaraz pokażę wam wykres 
tego pola, więc

00:00:56.280 --> 00:00:58.270
nabierzemy intuicji jak 
to właściwie wygląda, zamiast

00:00:58.270 --> 00:01:01.870
moich nie-do-końca-udanych
rysunków.

00:01:01.870 --> 00:01:02.880
Czym jest więc dywergencja?

00:01:02.880 --> 00:01:05.200
Bierzemy pochodną cząstkową składowej x

00:01:05.200 --> 00:01:06.940
po x.

00:01:06.940 --> 00:01:09.430
Jest tu tylko zmienna x, zatem nie

00:01:09.430 --> 00:01:11.645
musimy się tak naprawdę martwić 
o traktowanie y lub z jako stałych.

00:01:11.645 --> 00:01:13.650
To tak naprawdę zwykła 
pochodna tego wyrażenia

00:01:13.650 --> 00:01:15.150
ze względu na x.

00:01:15.150 --> 00:01:19.820
Więc mamy 2x-3.

00:01:19.820 --> 00:01:22.520
Następnie dodajemy to do 
pochodnej cząstkowej

00:01:22.520 --> 00:01:25.290
składowej y, lub funkcji y, 
ze względu na y.

00:01:25.290 --> 00:01:27.800
W składowej y występują 
same y, zatem po prostu

00:01:27.800 --> 00:01:29.000
bierzemy pochodną po y.

00:01:29.000 --> 00:01:34.910
Czyli dodajemy 2y-3.

00:01:34.910 --> 00:01:39.300
Albo możemy powiedzieć, że 
dywergencja v, w dowolnym punkcie

00:01:39.300 --> 00:01:48.120
xy, czyli funkcja zmiennych x i y, 
wynosi 2x+2y-3.

00:01:48.120 --> 00:01:52.750
Zanim pokażę wam wykres, 
przeanalizujmy

00:01:52.750 --> 00:01:54.010
nieco funkcję.

00:01:54.010 --> 00:01:56.270
Przede wszystkim, spójrzmy 
na wyjściowe pole wektorowe,

00:01:56.270 --> 00:02:01.750
i pomyślmy kiedy to pole 
wektorowe ma jakieś

00:02:01.750 --> 00:02:03.400
ciekawe punkty.

00:02:03.400 --> 00:02:06.120
Cóż, myślę, że ciekawymi punktami 
są te, w których składowa x

00:02:06.120 --> 00:02:08.020
lub składowa y są równe 0.

00:02:08.020 --> 00:02:10.590
Kiedy więc składowa x 
jest równa 0?

00:02:10.590 --> 00:02:13.480
Dobrze... Jeśli rozłożymy na 
czynniki składową x... To

00:02:13.480 --> 00:02:17.420
tak samo jakbyśmy przepisali 
nasze pole wektorowe.

00:02:17.420 --> 00:02:23.010
Jeśli ją rozłożymy, to mamy
x-1 razy x-...

00:02:23.010 --> 00:02:29.910
...2 i dodać... A tu mamy ten 
sam wielomian tylko z y, dla

00:02:29.910 --> 00:02:38.500
składowej y, czyli 
y-1 razy y-2 razy j.

00:02:38.500 --> 00:02:43.130
Zatem składowa x jest równa 0, kiedy 
x równa się 1... To są po prostu

00:02:43.130 --> 00:02:45.060
pierwiastki tego wielomianu. 
Kiedy x równa się

00:02:45.060 --> 00:02:47.050
1 lub 2, prawda?

00:02:47.050 --> 00:02:51.980
Z kolei składowa y jest równa 0,
kiedy y równa się 1 lub 2.

00:02:51.980 --> 00:02:54.790
Zaś obie są równe 0, jeżeli 
weźmiemy dowolną kombinację

00:02:54.790 --> 00:02:55.420
tych punktów.

00:02:55.420 --> 00:03:02.240
Wobec tego punkty, gdzie składowe
obie są równe 0 to (1, 1), x

00:03:02.240 --> 00:03:04.690
jest 1, y jest 2, prawda? 
Ponieważ wówczas obie współrzędne

00:03:04.690 --> 00:03:10.340
wynoszą 0. 
... (2, 1) lub (2, 2).

00:03:10.340 --> 00:03:15.090
Zatem to są punkty, gdzie szybkość

00:03:15.090 --> 00:03:17.490
naszego płynu, albo 
cząsteczek płynu, wynosi 0.

00:03:17.490 --> 00:03:20.200
Zaraz zobaczymy to 
na naszym wykresie.

00:03:20.200 --> 00:03:21.670
Pozwólcie, że zadam 
jeszcze jedno pytanie.

00:03:21.670 --> 00:03:26.960
W jakich punktach... No dobrze, 
najpierw zdecydujmy... Jaki punkt

00:03:26.960 --> 00:03:29.290
ma dywergencję równą 0?

00:03:29.290 --> 00:03:31.500
Powiedzmy... W jakim punkcie 
dywergencja jest równa 0.

00:03:31.500 --> 00:03:34.460
Pozwólcie, że uprzątnę 
trochę miejsca.

00:03:34.460 --> 00:03:35.570
Myślę, że mogę to usunąć.

00:03:35.570 --> 00:03:40.140
Otrzymaliśmy nasze punkty, 
dowiedzieliśmy się gdzie

00:03:40.140 --> 00:03:43.072
szybkość pola wektorowego 
równa się 0.

00:03:43.072 --> 00:03:47.790
W takim razie przekonajmy się, 
kiedy dywergencja

00:03:47.790 --> 00:03:49.870
jest równa 0.

00:03:49.870 --> 00:03:50.940
Tak więc, to jest dywergencja

00:03:50.940 --> 00:03:57.610
Zatem jeśli przyrównamy to 
do 0, 2x+2y, 2x...

00:03:57.610 --> 00:03:59.250
...+2y, ojej, przepraszam.

00:03:59.250 --> 00:04:01.330
Wiecie co? To jest 
2x-3 dodać 2y-3.

00:04:01.330 --> 00:04:03.640
Więc to jest 6, prawda?

00:04:03.640 --> 00:04:06.480
-3 -3 to -6.

00:04:06.480 --> 00:04:09.880
To właśnie mój słaby punkt: 
dodawanie i odejmowanie.

00:04:09.880 --> 00:04:11.560
Nieważne. Dywergencja...

00:04:11.560 --> 00:04:14.710
2x+2y-6.

00:04:14.710 --> 00:04:16.860
I chcemy się dowiedzieć 
kiedy to równa się 0.

00:04:16.860 --> 00:04:19.950
Przyrównajmy więc to do 0.

00:04:19.950 --> 00:04:22.090
Możemy to nieco uprościć.

00:04:22.090 --> 00:04:25.760
Możemy podzielić obie strony 
równania przez 2, i dostaniemy x...

00:04:25.760 --> 00:04:28.940
...+y-3 równa się 0.

00:04:28.940 --> 00:04:32.640
Dostajemy x+y=3.

00:04:32.640 --> 00:04:35.190
Możemy na tym poprzestać, albo 
możemy przekształcić to do naszej

00:04:35.190 --> 00:04:39.690
tradycyjnej postaci mx+b. 
Uważam, że w ten sposób

00:04:39.690 --> 00:04:41.330
łatwiej wyobrazić sobie prostą.

00:04:41.330 --> 00:04:45.930
Można powiedzieć, że y=3-x.

00:04:45.930 --> 00:04:50.960
Wobec tego, wzdłuż tej prostej, 
dywergencja pola wektorowego

00:04:50.960 --> 00:04:55.830
jest równa 0, wzdłuż prostej y=3-x.

00:04:55.830 --> 00:04:58.990
Jeżeli znajdziemy się powyżej tej 
prostej, dywergencja będzie

00:04:58.990 --> 00:05:02.210
dodatnia. To prawda, ponieważ jeśli 
tylko zwiększylibyście tę wartość wtedy

00:05:02.210 --> 00:05:03.520
znak przeszedłby dalej.

00:05:03.520 --> 00:05:05.890
i mielibyście y>3-x.

00:05:05.890 --> 00:05:13.640
Dlatego dla y>3-x dywergencja 
jest dodatnia.

00:05:13.640 --> 00:05:19.420
Zaś dla y<3-x dywergencja jest ujemna.

00:05:19.420 --> 00:05:21.880
Możecie zrobić to ze znakiem 
mniejszości i rozwiązać,

00:05:21.880 --> 00:05:24.310
otrzymacie, że y>3-x,
jeśli chcecie dowiedzieć się gdzie

00:05:24.310 --> 00:05:25.640
dywergencja jest ujemna.

00:05:25.640 --> 00:05:28.510
Myślę, że przeprowadziliśmy całą analizę, 
jaką mogliśmy przeprowadzić

00:05:28.510 --> 00:05:31.020
Spójrzmy więc na wykres i zobaczmy czy to

00:05:31.020 --> 00:05:33.760
zgadza się z naszą intuicją 
czym jest dywergencja,

00:05:33.760 --> 00:05:34.755
i liczby które znaleźliśmy.

00:05:37.480 --> 00:05:39.280
Mam nadzieję, że możecie to zobaczyć.

00:05:39.280 --> 00:05:41.450
Więc to jest nasze pole wektorowe.

00:05:41.450 --> 00:05:45.630
Nie mam miejsca, by to pokazać,
ale myślę, że pamiętacie, że to

00:05:45.630 --> 00:05:47.620
jest... No wiecie, x^2-3x+2.

00:05:47.620 --> 00:05:50.370
Taka jest definicja naszego 
pola wektorowego.

00:05:50.370 --> 00:05:51.590
Mamy to tutaj rozrysowane.

00:05:51.590 --> 00:05:55.040
Zobaczyliśmy, po prostu 
zobaczyliśmy, że

00:05:55.040 --> 00:05:57.130
składowa x i składowa y 
są równe 0

00:05:57.130 --> 00:05:58.980
i stwierdziliśmy, że kiedy 
obie z nich są równe 0?

00:05:58.980 --> 00:06:01.370
I stwierdziliśmy... No dobrze... 
że w punkcie (1, 1).

00:06:01.370 --> 00:06:04.290
No więc, to jest 
punkt (1, 1), a długość

00:06:04.290 --> 00:06:06.210
wektorów w tym 
punkcie jest równa 0.

00:06:06.210 --> 00:06:09.600
Właściwie to mogę to
nieco przybliżyć.

00:06:09.600 --> 00:06:11.750
Właśnie tu, wszystkie wskazują 
do wewnątrz, ale stają się

00:06:11.750 --> 00:06:16.130
coraz krótsze, kiedy zbliżamy 
się do punktu (1, 1), prawda?

00:06:16.130 --> 00:06:19.690
Powiedzieliśmy też, że w punkcie
(1, 2) - x jest 1, y jest 2.

00:06:19.690 --> 00:06:22.290
I tu także widzimy, 
że długość wektorów

00:06:22.290 --> 00:06:24.680
staje się bardzo, bardzo mała.

00:06:24.680 --> 00:06:26.480
Znów przybliżymy.

00:06:26.480 --> 00:06:29.020
Widzimy, że długość 
bardzo maleje.

00:06:29.020 --> 00:06:31.460
W innym punkcie: (2, 1), po raz
kolejny widzimy, że długość.

00:06:31.460 --> 00:06:33.060
się zmniejsza. I w (2, 2) też.

00:06:33.060 --> 00:06:35.590
Zatem jest to zgodne z tym, co
stwierdziliśmy - że nasze pole

00:06:35.590 --> 00:06:37.980
wektorowe staje się bardzo 
małe w tym punkcie.

00:06:37.980 --> 00:06:39.900
I kolejna ciekawa rzecz, którą
powiedzieliśmy. OK. Kiedy

00:06:39.900 --> 00:06:41.500
dywergencja jest równa 0?

00:06:41.500 --> 00:06:46.160
Cóż, dywergencja 
wynosiła 0 na prostej y...

00:06:46.160 --> 00:06:48.800
...=3-x.

00:06:48.800 --> 00:06:52.250
Zatem prosta y=3-x zaczyna się...
Na przecięciu z osią y

00:06:52.250 --> 00:06:55.640
to będzie 3, i biegnie 
w dół właśnie tak.

00:06:55.640 --> 00:06:56.020
Czyż nie?

00:06:56.020 --> 00:06:58.730
Gdziekolwiek, w dowolnym
punkcie na tej prostej

00:06:58.730 --> 00:07:00.270
dywergencja jest równa 0.

00:07:00.270 --> 00:07:03.310
I jeśli popatrzymy na wykres, 
to rzeczywiście nabiera to sensu.

00:07:03.310 --> 00:07:06.570
Ponieważ nie mogę rysować po tym wykresie...
Ale jeśli narysowalibyśmy okrąg

00:07:06.570 --> 00:07:11.450
właśnie tu. Załóżmy, że 
leży na tej prostej: y

00:07:11.450 --> 00:07:14.920
równa się 3-x, moglibyśmy 
zobaczyć, że w danej jednostce

00:07:14.920 --> 00:07:18.000
czasu, tak samo dużo cząsteczek ile
wchodzi do środka od góry

00:07:18.000 --> 00:07:20.990
z prawej, wychodzi od
dołu z lewej, prawda?

00:07:20.990 --> 00:07:23.670
Dużo wchodzących od góry z prawej 
strony i dużo wychodzących

00:07:23.670 --> 00:07:24.340
od dołu z lewej strony.

00:07:24.340 --> 00:07:26.740
Chociaż wektory są mniej 
więcej takiej samej długości.

00:07:26.740 --> 00:07:32.030
A jeśli przeniesiemy się na dół, 
jeśli przeniesiemy się tu, na prostą, to

00:07:32.030 --> 00:07:35.860
wygląda to tak jakby 
mniej wchodziło, ale

00:07:35.860 --> 00:07:36.970
również i mniej wychodziło.

00:07:36.970 --> 00:07:39.520
Wiem, że trudno to dostrzec, ale
gdziekolwiek na tej prostej

00:07:39.520 --> 00:07:41.450
jest tak samo dużo wektorów 
wchodzących jak i wychodzących.

00:07:41.450 --> 00:07:45.240
I właśnie dlatego,
dywergencja wynosi 0.

00:07:45.240 --> 00:07:47.650
Spójrzmy teraz na pozostałe punkty.

00:07:47.650 --> 00:07:50.630
Obliczyliśmy, że tutaj 
dywergencja jest dodatnia.

00:07:50.630 --> 00:07:51.740
[NIEZROZUMIAŁE]

00:07:51.740 --> 00:07:53.310
w dowolnym punkcie.

00:07:53.310 --> 00:07:57.150
Gdybyśmy mieli narysować tutaj 
okrąg, zobaczylibyśmy wektory

00:07:57.150 --> 00:08:00.080
po lewej stronie okręgu, 
którego nie możecie zobaczyć,

00:08:00.080 --> 00:08:02.050
ponieważ nie mogę na tym 
wykresie nic narysować.

00:08:02.050 --> 00:08:04.790
Ale faktycznie... 
Powiedzmy, że mamy kwadrat.

00:08:04.790 --> 00:08:07.690
Powiedzmy, że moim obszarem 
jest kwadrat, dobrze?

00:08:07.690 --> 00:08:09.210
Ten tutaj.

00:08:09.210 --> 00:08:12.320
Jeśli ten kwadrat jest moim obszarem,
widzimy, że wektory po

00:08:12.320 --> 00:08:15.980
lewej stronie są większe, że te 
wychodzące są większe aniżeli

00:08:15.980 --> 00:08:18.830
te wchodzące, prawda?

00:08:18.830 --> 00:08:22.540
Więc jeśli w danej jednostce 
czasu więcej wychodzi niż

00:08:22.540 --> 00:08:27.180
niż wchodzi, wówczas robię 
się rzadszy. Można też powiedzieć,

00:08:27.180 --> 00:08:28.860
że cząsteczki się rozbiegają.

00:08:28.860 --> 00:08:32.070
I to rzeczywiście ma sens, bo 
mam dodatnią dywergencję.

00:08:32.070 --> 00:08:35.210
A jeśli przeniesiemy się tu, tu 
gdzie dywergencja jest ujemna...

00:08:35.210 --> 00:08:36.880
Wybierzmy dowolne miejsce.

00:08:36.880 --> 00:08:39.600
Powiedzmy, że kwadrat, ten tutaj.

00:08:39.600 --> 00:08:43.710
Widzimy, że wektory wchodzące...
że długości

00:08:43.710 --> 00:08:47.470
wektorów wchodzących do jego 
wnętrza, są większe niż długości

00:08:47.470 --> 00:08:48.800
wektorów wychodzących z niego.

00:08:48.800 --> 00:08:51.390
Czyli w danej jednostce czasu,
więcej wchodzi niż wychodzi.

00:08:51.390 --> 00:08:53.850
Więc robi się bardziej 
gęsty, skupia się.

00:08:53.850 --> 00:08:56.600
Możecie zatem wyobrażać sobie ujemną 
dywergencję jako zagęszczanie się.

00:08:56.600 --> 00:08:58.610
Właściwie jest to też skupianie.

00:08:58.610 --> 00:09:00.770
W zasadzie dzieje się
coś interesującego

00:09:00.770 --> 00:09:04.240
w tych dwóch punktach.

00:09:04.240 --> 00:09:09.220
Powiedzieliśmy, że w punkcie (2, 1)... 
Widzimy, że

00:09:09.220 --> 00:09:13.580
w kierunku y to tak naprawdę 
zbiega się, tak?

00:09:13.580 --> 00:09:18.030
Powyżej y=1, strzałki 
wskazują na dół,

00:09:18.030 --> 00:09:20.630
zaś poniżej tego punktu, strzałki 
są skierowane do góry, prawda?

00:09:20.630 --> 00:09:23.310
właściwie zbiegają się, albo

00:09:23.310 --> 00:09:24.490
mamy ujemną dywergencję.

00:09:24.490 --> 00:09:26.990
Rzeczy wchodzą do 
danego miejsca.

00:09:26.990 --> 00:09:30.690
Ale w kierunku x, rzeczy 
są wypychane, tak?

00:09:30.690 --> 00:09:33.890
Z tego powodu dywergencja 
jest tutaj zerowa. Możecie

00:09:33.890 --> 00:09:38.020
mieć cząsteczki wchodzące w pewien 
obszar od góry i od dołu, ale

00:09:38.020 --> 00:09:41.090
tak samo dużo wychodzących na lewo

00:09:41.090 --> 00:09:41.650
i na prawo.

00:09:41.650 --> 00:09:44.160
Więc to jest trochę tak jakby cząstki 
były odchylane na zewnątrz.

00:09:44.160 --> 00:09:48.710
Czyli na siatce, między obydwoma 
wymiarami, nie macie

00:09:48.710 --> 00:09:52.030
wzrostu ani spadku
gęstości wzdłuż prostej y...

00:09:52.030 --> 00:09:53.680
...=3-x.

00:09:53.680 --> 00:09:56.180
Póki nie wyczerpałem czasu, 
chciałbym pokazać wam podstawową

00:09:56.180 --> 00:10:00.880
intuicję, dlaczego dywergencja 
jest dodatnia i dlaczego

00:10:00.880 --> 00:10:04.930
oznacza to, że cząstki wypływają 
na zewnątrz, kiedy tempo

00:10:04.930 --> 00:10:06.300
zmian jest dodatnie.

00:10:06.300 --> 00:10:07.590
Jak powiedzieliśmy - dywergencja jest dodatnia.

00:10:07.590 --> 00:10:09.420
Powiedzmy, że w tym miejscu, dobrze?

00:10:09.420 --> 00:10:12.350
I ma to sens. Jeśli nasze 
pochodne cząstkowe są

00:10:12.350 --> 00:10:15.710
dodatnie, to znaczy, że 
długość naszego wektora jest

00:10:15.710 --> 00:10:18.690
coraz większa dla dużych wartości naszych

00:10:18.690 --> 00:10:20.510
x i y, prawda?

00:10:20.510 --> 00:10:22.760
Więc jeśli długość naszego 
wektora staje się coraz większa

00:10:22.760 --> 00:10:26.120
dla większych wartości x i y, wektory

00:10:26.120 --> 00:10:28.310
po prawej stronie będą dłuższe

00:10:28.310 --> 00:10:29.290
niż te po lewej stronie.

00:10:29.290 --> 00:10:31.190
Powiększają się.

00:10:31.190 --> 00:10:34.390
A jeśli miałbym narysować 
brzeg, więcej będzie

00:10:34.390 --> 00:10:36.290
wychodziło na prawo niż 
wchodziło po lewo

00:10:36.290 --> 00:10:39.220
Więc mamy dodatnią dywergencję, lub

00:10:39.220 --> 00:10:40.520
zmniejsza się nam zagęszczenie.

00:10:40.520 --> 00:10:43.840
W każdym razie, mam nadzieję, 
że za bardzo nie namieszałem.

00:10:43.840 --> 00:10:45.690
Jednak znowu skończył 
mi się czas.

00:10:45.690 --> 00:10:48.012
Zobaczymy się w następnym nagraniu.