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Doppler effect formula for observed frequency

  • 0:00 - 0:03
    我已經知道 波源以
  • 0:03 - 0:06
    某個速度向右移動
  • 0:06 - 0:14
    所以我們只要設源的速度
  • 0:14 - 0:19
    我們把它叫做Vs 向右
  • 0:19 - 0:21
    所以實際上 我們要做上個影片做過的問題
  • 0:21 - 0:22
    但是要用更概括性的量來表示
  • 0:22 - 0:24
    這樣我們能推導出
  • 0:24 - 0:26
    觀察到頻率的通用公式
  • 0:26 - 0:30
    所以這是它向右移動的速度
  • 0:30 - 0:32
    它發出波
  • 0:32 - 0:35
    所以我們設它發出的波
  • 0:35 - 0:39
    所以波的速度
  • 0:39 - 0:43
    我們把這叫做Vw 放射向外
  • 0:43 - 0:46
    它有大小和方向
  • 0:46 - 0:50
    所以是放射向外的
  • 0:50 - 0:53
    這是波的速度
  • 0:53 - 0:56
    這個波有周期和頻率
  • 0:56 - 0:57
    但是從波源看來
  • 0:57 - 1:01
    它的周期和頻率是固定的
  • 1:01 - 1:02
    我們要做一些計算
  • 1:02 - 1:03
    這都是典型的機械運動知識
  • 1:03 - 1:05
    我們不討論相對論速度
  • 1:05 - 1:08
    所以我們不用擔心奇怪的東西會發生
  • 1:08 - 1:10
    就像接近光速什麽的
  • 1:10 - 1:15
    所以假設某周期-
  • 1:15 - 1:17
    我這樣寫
  • 1:17 - 1:22
    源周期 就是從源發出的
  • 1:22 - 1:23
    波的周期
  • 1:23 - 1:30
    所以源周期 我們把它叫做Ts
  • 1:30 - 1:33
    源頻率 可以是
  • 1:33 - 1:34
    我們學過 希望現在很直觀了
  • 1:34 - 1:36
    是它的倒數
  • 1:36 - 1:43
    源頻率可以是 我們設它是fs
  • 1:43 - 1:45
    這兩個互爲倒數
  • 1:45 - 1:47
    波周期的倒數
  • 1:47 - 1:49
    就是頻率 反之亦然
  • 1:49 - 1:51
    所以我們想一下會發生什麽
  • 1:51 - 1:57
    我們設在時間是0的時候 它釋放了第一個波峰
  • 1:57 - 2:00
    第一個脈衝 所以它釋放了脈衝
  • 2:00 - 2:01
    你們看不到 因爲它剛釋放出
  • 2:01 - 2:05
    現在向前走了t秒
  • 2:05 - 2:08
    我們設它的單位是秒 所以每過t秒
  • 2:08 - 2:10
    它釋放一個新的脈衝
  • 2:10 - 2:10
    首先
  • 2:10 - 2:15
    Ts秒之後 第一個脈衝在哪裏？
  • 2:15 - 2:18
    第一個脈衝的速度
  • 2:18 - 2:20
    乘以時間
  • 2:20 - 2:23
    速度乘以時間就等於距離
  • 2:23 - 2:24
    如果不相信我 我給你們舉一個例子
  • 2:24 - 2:28
    如果我告訴你們速度是5m/s
  • 2:28 - 2:30
    我們設周期是2秒
  • 2:30 - 2:32
    這就會得到10米
  • 2:32 - 2:34
    秒約掉了
  • 2:34 - 2:36
    所以爲了算出
  • 2:36 - 2:40
    在Ts秒內波走的距離
  • 2:40 - 2:43
    只要用Ts乘以波的速度
  • 2:43 - 2:46
    我們設它到了這裡
  • 2:46 - 2:48
    這是呈放射向外的
  • 2:48 - 2:50
    所以我畫成放射向外的
  • 2:50 - 2:53
    這是我能畫的最好的圓
  • 2:53 - 2:59
    這個距離 這個半徑
  • 2:59 - 3:03
    就等於速度乘以時間
  • 3:03 - 3:09
    第一個脈衝的速度 Vw
  • 3:09 - 3:10
    這實際上就是速率
  • 3:10 - 3:12
    我說這是Vw 呈放射狀向外
  • 3:12 - 3:13
    這不是個向量
  • 3:13 - 3:15
    你們能想象 這只是個數
  • 3:15 - 3:22
    Vw乘以周期 乘以Ts
  • 3:22 - 3:23
    我知道很抽象 但是只要想一下
  • 3:23 - 3:25
    這是距離乘以時間（本意爲速度乘以時間）
  • 3:25 - 3:27
    如果以10m/s移動
  • 3:27 - 3:31
    如果周期是2秒 這就是距離
  • 3:31 - 3:34
    2秒之後就傳播了10米（應該是20米）
  • 3:34 - 3:36
    現在
  • 3:36 - 3:38
    我們在影片開始的時候說過 物體在移動
  • 3:38 - 3:40
    所以盡管這是從
  • 3:40 - 3:42
    釋放波的這一點放射向外的
  • 3:42 - 3:43
    源不是靜止的
  • 3:43 - 3:45
    我們在上個影片中看到過了
  • 3:45 - 3:47
    它也在移動
  • 3:47 - 3:48
    速度是多快？
  • 3:48 - 3:49
    同樣的計算
  • 3:49 - 3:52
    用速度乘以同一個時間
  • 3:52 - 3:54
    記住 Ts秒之後
  • 3:54 - 3:59
    或者周期Ts秒之後 這是什麽樣的
  • 3:59 - 4:01
    它向右移動
  • 4:01 - 4:02
    我們假設它在這裡
  • 4:02 - 4:06
    我們設它移動到這
  • 4:06 - 4:08
    在影片中 我們假設
  • 4:08 - 4:10
    源的速度
  • 4:10 - 4:12
    比波的速度慢
  • 4:12 - 4:14
    當它們相等
  • 4:14 - 4:15
    就會發生一些很有趣的事情
  • 4:15 - 4:17
    顯然 當它以不同的速度移動
  • 4:17 - 4:19
    但是我們假設 它的速度小一些
  • 4:19 - 4:23
    源的速度比波的速度小
  • 4:23 - 4:24
    但是這個距離是多少？
  • 4:24 - 4:26
    記住 我們在談論-
  • 4:26 - 4:27
    我也用橙色畫
  • 4:27 - 4:30
    你們可以說橙色的就是
  • 4:30 - 4:33
    Ts秒之後發生的
  • 4:33 - 4:35
    所以這個距離
  • 4:35 - 4:36
    這個距離
  • 4:36 - 4:39
    我換個顏色
  • 4:39 - 4:41
    就是源的速度
  • 4:41 - 4:46
    就是Vs
  • 4:46 - 4:47
    乘以經過的時間
  • 4:47 - 4:48
    我在一開始說過
  • 4:48 - 4:50
    這段時間就是波的周期
  • 4:50 - 4:52
    這就是問題中的時間
  • 4:52 - 4:55
    所以波的周期Ts
  • 4:55 - 4:58
    所以經過一個周期 如果這是5秒
  • 4:58 - 5:00
    那麽就可以說 5秒之後
  • 5:00 - 5:02
    源移動了這個距離
  • 5:02 - 5:04
    Vs乘以Ts
  • 5:04 - 5:09
    波的第一個波峰移動了這個距離
  • 5:09 - 5:12
    Vw乘以Ts
  • 5:12 - 5:14
    現在 我們說的這個時間
  • 5:14 - 5:16
    就是放出的波的周期
  • 5:16 - 5:19
    所以經過這一段時間
  • 5:19 - 5:22
    這個源就能放出另一個波峰
  • 5:22 - 5:24
    這已經恰好過了一個周期
  • 5:24 - 5:27
    所以它現在要釋放波
  • 5:27 - 5:30
    所以在這一點 它正在放出波
  • 5:30 - 5:33
    所以它Ts秒之前
  • 5:33 - 5:36
    或幾個小時之前
  • 5:36 - 5:38
    幾微妙之前放出的波峰之間的距離是多少
  • 5:38 - 5:39
    我們不知道
  • 5:39 - 5:41
    這個波峰和剛放出的
  • 5:41 - 5:43
    波峰之間的距離是多少？
  • 5:43 - 5:45
    它們移動速度是相同的
  • 5:45 - 5:47
    但是這一個已經在這裡了
  • 5:47 - 5:50
    而這一個從源的位置出發
  • 5:50 - 5:52
    所以它們距離的差
  • 5:52 - 5:53
    至少你們這樣看
  • 5:53 - 5:56
    就是這個波峰和這個源之間的距離
  • 5:56 - 5:59
    所以這個距離是多少？
  • 5:59 - 6:03
    這個距離是什麽？
  • 6:03 - 6:06
    這個距離 我們說過
  • 6:06 - 6:11
    整個這個距離是Vw
  • 6:11 - 6:13
    波的速度
  • 6:13 - 6:15
    乘以波源處
  • 6:15 - 6:17
    波的周期
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    我們要減去
  • 6:19 - 6:21
    源本身移動的距離
  • 6:21 - 6:23
    這種情況下 源向這個方向移動
  • 6:23 - 6:25
    如果從這個角度看
  • 6:25 - 6:27
    就是波前
  • 6:27 - 6:32
    所以要減去Vs
  • 6:32 - 6:34
    源的速度
  • 6:34 - 6:38
    乘以從波源處看
  • 6:38 - 6:40
    的波的周期
  • 6:40 - 6:42
    所以我問你們一個問題
  • 6:42 - 6:44
    如果你們坐在這裡 如果你們是觀察者
  • 6:44 - 6:50
    你們是這個人 坐在這裡
  • 6:50 - 6:52
    剛好第一個波峰經過
  • 6:52 - 6:55
    剛好第一個波峰經過你們
  • 6:55 - 6:59
    要過多長時間才會等到第二個波峰
  • 6:59 - 7:00
    現在釋放出的波峰
  • 7:00 - 7:03
    要過多長時間才能經過你們？
  • 7:03 - 7:05
    它要走過這段距離
  • 7:05 - 7:07
    它要走過這段距離
  • 7:07 - 7:08
    我把這寫下來
  • 7:08 - 7:09
    所以我問的問題是
  • 7:09 - 7:12
    從站在源移動方向上的觀察者的角度來看
  • 7:12 - 7:15
    周期是多少？
  • 7:15 - 7:19
    所以從觀察者的角度看到的
  • 7:19 - 7:21
    波的周期等於
  • 7:21 - 7:23
    下個波峰移動的距離
  • 7:23 - 7:25
    就是上面這個
  • 7:25 - 7:27
    所以我們複製和粘貼
  • 7:30 - 7:32
    所以就是這個
  • 7:32 - 7:34
    把這個刪掉
  • 7:34 - 7:35
    這看起來不應該像等號
  • 7:35 - 7:39
    所以我可以把這個刪掉 或者加上一個負號
  • 7:39 - 7:40
    所以就是這個距離
  • 7:40 - 7:42
    下一個脈衝要移動的距離
  • 7:42 - 7:44
    恰好在這時刻被釋放的的那個脈衝移動的距離
  • 7:44 - 7:46
    除以脈衝的速度
  • 7:46 - 7:49
    或波的速率 或波的速度
  • 7:49 - 7:50
    我們知道這是什麽
  • 7:50 - 7:58
    這是Vw
  • 7:58 - 8:02
    現在 這表示出了觀察者看到的周期
  • 8:02 - 8:03
    現在 如果要求頻率
  • 8:03 - 8:04
    我們可以改動一下
  • 8:04 - 8:06
    我們做一下
  • 8:06 - 8:08
    所以我們也可以寫成這樣
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    我們可以提出源的周期
  • 8:12 - 8:14
    所以Ts應該被提出
  • 8:14 - 8:17
    所以就變成了Ts乘以
  • 8:17 - 8:25
    波的速度減去源的速度
  • 8:25 - 8:28
    所有這些除以波的速度
  • 8:28 - 8:30
    所以就像這樣 我們得到了
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    這個觀察者看到的波周期的公式
  • 8:33 - 8:37
    這個觀察者坐在物體移動的路徑上
  • 8:37 - 8:41
    公式是波源的實際周期
  • 8:41 - 8:45
    波的速度和源的速度的函數
  • 8:45 - 8:46
    現在 如果想要求出頻率
  • 8:46 - 8:48
    只要取它的倒數
  • 8:48 - 8:49
    所以我們做一下
  • 8:49 - 8:51
    所以觀察者觀察到的頻率
  • 8:51 - 8:53
    這就是它過了多少秒
  • 8:53 - 8:55
    看到下一個波峰
  • 8:55 - 8:57
    如果要求周期每秒 求倒數
  • 8:57 - 8:58
    所以觀察者看到的頻率
  • 8:58 - 8:59
    就是它的倒數
  • 8:59 - 9:02
    所以如果求這個表達式的倒數
  • 9:02 - 9:05
    就得到1/Ts
  • 9:05 - 9:07
    乘以Vw
  • 9:07 - 9:11
    除以波速減去源的速度
  • 9:11 - 9:12
    當然
  • 9:12 - 9:14
    1除以源的周期
  • 9:14 - 9:16
    和這是相同的
  • 9:16 - 9:18
    這些和
  • 9:18 - 9:20
    源的頻率是相同的
  • 9:20 - 9:22
    所以有了這個 我們有了兩個關係式
  • 9:22 - 9:24
    至少如果你們在波源運動路徑上
  • 9:24 - 9:28
    如果源的速度方向是向著你們的
  • 9:28 - 9:30
    那麽就有了這個公式
  • 9:30 - 9:31
    我把這重寫一下
  • 9:31 - 9:35
    因爲觀察者看到的周期
  • 9:35 - 9:37
    源發出
  • 9:37 - 9:39
    的周期
  • 9:39 - 9:41
    乘以波的速度
  • 9:41 - 9:43
    減去源的速度
  • 9:43 - 9:45
    這是源的速度
  • 9:45 - 9:48
    除以波本身的速度
  • 9:48 - 9:51
    頻率 從觀察者的角度
  • 9:51 - 9:54
    就是這個的倒數 就是頻率
  • 9:54 - 9:56
    這個周期的倒數就是
  • 9:56 - 9:58
    源的頻率
  • 9:58 - 10:00
    乘以波的速度
  • 10:00 - 10:03
    除以波的速度
  • 10:03 - 10:05
    減去源的速度
  • 10:05 - 10:08
    在下個影片中 我要做同樣的練習
  • 10:08 - 10:10
    但是我只要想一下 坐在這裡的
  • 10:10 - 10:12
    觀察者看到了什麽
Title:
Doppler effect formula for observed frequency
Description:

Doppler effect formula for observed frequency
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Video Language:
English
Duration:
10:13
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

Revisions

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