Maxwell Boltzmann distribution

Сега ще поговорим

за разпределението
на Максуел-Болцман.

Това е портрет на учения

Джеймс Кларк Максуел.

това е любимият ми портрет,

тук е с жена си Катрин Максуел
и тяхното куче.

Джеймс Максуел е един
от титаните на физиката,

известен с уравнениеята на Максуел.

Той прави основополагащи
разработки

в цветната фотография

и мисли по въпроса
за разпределението

на скоростите на частиците

в един идеален газ.

Другият господин е Людвиг Болцман.

Той е смятан за един от основателите

на статистическата механика.

Разпределението на Максуел-Болцман
носи това име,

не защото двамата
са си сътрудничели,

а достигат до него
независимо един от друг.

Всеки от тях описва
разпределението

на скоростите
на въздушните частици.

Да поспрем малко

за един мисловен експеримент.

Даден ни е един съд.

Ето този.

В него има въздух.

Въздухът се състои
предимно от азот.

За да е по-просто, нека
е пълен само с азот.

Ще нарисувам азотни молекули.

Даден ни е и термометър.

Поставям го в съда.

Термометърът показва

точно 300 градуса по Келвин.

Какво означава
температурата 300 келвина?

В ежедневието си имаме

сетивно усещане за температура.

Не искаме да пипаме
горещи неща.

За да не се опарим.

Или твърде студени неща,
за да не треперим.

Така нашият мозък

възприема понятието
температура.

Но какво се случва
на молекулно ниво?

Има един много точен

начин да си представим
температурата:

на езика на физиката,

температурата

е пропорционална
на средната кинетична енергия

на молекулите в дадената система.

Ще го запиша така:

температурата е пропорционална
на средната кинетична енергия.

Средната

кинетична

енергия

в системата.

Добавям уточнението „средна“.

За да бъдем по-конкретни,

нека си представим,
че имаме два съда.

Това е единият,

а това е другият.

Това са два други съда.

Да кажем, че съдържат

еднакъв брой молекули
азотен газ.

Ще нарисувам по 10.

Очевидно примерът
не е реалистичен:

в реалността са много повече.

Но за да добием представа

са достатъчно по десет.

Да приемем, че

температурата тук е
300 келвина.

Температурата на първата система
е 300 келвина.

А температурата
на втората система е 200 келвина.

Да си представим
какво правят тези молекули.

Те се движат наоколо,
блъскат се,

не са в синхрон.

Средната кинетична енергия
на молекулите

в тази система е по-голяма.

Да вземем тази молекула.

Тя може да се движи
в тази посока.

Това е нейната скорост.

Другата частица
има такава скорост.

Таи отива насам,

а тази може
почти да не се движи.

Следващата може
да бърза много насам.

А тази да се движи
много бързо натам.

Тази прави това,

другата това,

а тази това.

Ако сравниш тази система с тази,

все ще намериш
отделна молекула,

която се движи много бързо.

Тя дори може да се движи
по-бързо

от коя да е молекула
в първата система.

Но средната
кинетична енергия

на молекулите тук
е по-ниска.

Например тази прави така.

Рисувам...

Средната им кинетична
енергия е по-малка.

Това не означава, че всяка
от тези молекули

е по-бавна от всяка от молекулите
в първата система,

или има по-малка кинетична
енергия от нея.

Но средната кинетична енергия
на тези е по-малка.

Можем да начертаем
крива на разпределението.

Това наричаме

разпределение на
Максуел-Болцман.

Да го направим.

Начертаваме координатна система.

Това е моята.

По тази ос
ще изобразя скоростта.

Ето така.

А по другата ос
ще е броят молекули.

Брой молекули ето тук.

За първата система,
която е при 300 келвина,

разпределението може
да изглежда така.

Сега ще начертая
примерно разпределение.

Нека използвам различен цвят.

Така се разпределят

всички молекули в системата

по брой
според скоростта си.

Ето така,

това е разпределението
на Максуел-Болцман

за тази система,

да я наречем система А.

Това е тази тук.

Другата система,
която е с по-ниска температура,

което значи, че има
по-ниска кинетична енергия,

има друго разпределение
на частиците си.

Най-вероятно при нея

най-голям брой от молекулите

имат по-ниска скорост.

Например ето такава,

тук.

Разпределението
при нея изглежда

по такъв начин.

Чертая го в жълто.

Сигурно ти изглежда логично,

че скоростта, при която
ще имам най-много молекули

в система В ще е по-ниска,

отколкото скоростта
с най-много молекули в система А.

Това е така, защото
средната кинетична

енергия тук е по-ниска.

Средната скорост е по-малка.

Но защо върхът тук е по-висок?

Да си припомним,
двете системи

имат еднакъв брой молекули.

Поради това

площите под двете криви
трябва да са равни.

Щом тази крива е по-тясна,
то тя трябва да е по-висока.

Ако пък увеличим

температурата на тази система
още повече,

Например, ако я загрея

до 400 градуса по Келвин,

тогава разпределението

ще изгелжда ето така.

Това е за система
с по-голяма температура.

Загрята система.

Това представлява
разпределението на Максуел-Болцман.

Няма да показвам
сложното му уравнение,

но това е неговата същност.

И тя е доста логична идея.

Когато мислиш за скоростта

на отделни частици,
например от въздуха,

може да ти изглеждат
привидно неподвижни.

Но като си представиш,
че въздухът около теб е предимно азот,

можеш да разбереш
най-вероятната скорост

на произволна азотна молекула

от въздуха около теб.

Сега ще запиша

най-вероятната ѝ скорост.

Може да се изненадаш.

При стайна температура,

възможната скорост

на азотната молекула

при стайна температура.

Да речем, че това е
разпределението

на Максуел-Болцман
за азота при стайна температура.

В нашия пример ще приемем,

че стайната температура
е 300 келвина.

Най-вероятната скорост

е тази, за която имаме
най-голям брой молекули,

които се движат

с такава скорост.

Опитай първо да познаеш
каква е тя, преди да ти кажа:

може да е изненадваща!

Оказва се, че при температура

300 келвина тази скорост
е приблизително

422 метра в секунда!

Цели 422 метра
за една секунда!

Представи си как нещо изминава
422 метра само за секунда.

В по-позната мерна единица,

това е скорост над
1500 километра в час!

И така, точно в момента

около теб

най-голям брой

от азотните молекули

се движат със скорост около тази

и се блъскат в теб.

Това е, което създава
въздушното налягане.

И не само с такава скорост,
има и молекули,

които се движат по-бързо от това.

По-бързо и от 422 метра в секунда.

Много по-бързо.

Някои от частиците
около теб се движат

с хиляди километри в час

и се блъскат в тялото ти
и в този момент.

Може да се зачудиш
защо това не боли?

Това ти дава представа
колко е малка масата

на азотната молекула,

щом се блъска в теб
с хиляди километри в час

и все пак не я усещаш.

Усеща се само като налягане
на околния въздух.

На пръв поглед
изглежда невъобразимо:

422 метра в секунда,

та това е по-бързо
от скоростта на звука?

Звукът се движи
с приблизително 340 метра в секунда.

Как е възможно това?

Просто помисли над това.

Звукът се разпространява
по въздуха,

чрез сблъсъците
на неговите частици.

Следователно въздушните частици,

или поне някои от тях,

трябва да се движат
по-бързо от звука.

Е, не всичко около теб

се движи чак толкова бързо

и то в различни посоки;

някои частици може да са
почти неподвижни.

Но някои от тях се движат
изключително бързо.

Не е ли страхотно това?