-
Chúng ta hãy tính
tích phân xác định
-
từ 0 đến 1 của
x bình phương
-
nhân với 2 mũ
x mũ 3, dx.
-
Như mọi khi, tôi khuyên
bạn nên tạm dừng video
-
và thử tự giải bài toán.
-
Vậy coi như bạn đã
thử rồi nhé.
-
Có một vài điều khá
thú vị ở đây.
-
Thứ đầu tiên mà
tôi thấy là:
-
"Chúng ta mới biết tính
đạo hàm và nguyên hàm
-
của e mũ x, chứ không phải
một cơ số khác mũ x."
-
Chúng ta đã biết
đạo hàm của e mũ x
-
là e mũ x, hoặc chúng ta
cũng có thể nói
-
nguyên hàm của e mũ x
là e mũ x cộng c.
-
Vì ở biểu thức này,
chúng ta có trường hợp
-
một cơ số được
nâng lên lũy thừa
-
là một hàm của x,
nên ở đây chúng ta
-
cần biến đổi cơ số này,
nhưng chúng ta sẽ làm thế nào?
-
Cách tôi làm sẽ là
biểu diễn lại 2 theo số e
-
Vậy 2 biểu diễn theo số e
sẽ là gì?
-
2 sẽ bằng e, bằng e
được nâng lên lũy thừa
-
mà chúng ta cần nâng e
lên để được 2.
-
Vậy số mũ mà ta cần
-
nâng e lên để
được 2 là gì?
-
Đó sẽ là logarit
tự nhiên của 2.
-
Vậy logarit tự nhiên của 2
là lũy thừa ta cần
-
để nâng e lên để được 2.
-
Vậy nếu bạn nâng e lên
lũy thừa này, bạn sẽ có 2.
-
Chúng ta đã biểu diễn được 2.
-
Giờ thì 2 mũ x mũ 3 là gì?
-
Vậy nếu chúng ta nâng cả hai
phía lên lũy thừa x mũ 3,
-
nâng cả hai phía lên
lũy thừa bậc x mũ 3,
-
2 mũ x mũ 3 sẽ bằng,
nếu ta nâng một cơ số lên
-
một lũy thừa và lại
nâng lũy thừa đó lên
-
lũy thừa nữa, ở đây sẽ bằng
e mũ x mũ 3,
-
x mũ 3, nhân với logarit
tự nhiên của 2,
-
nhân với logarit
tự nhiên của 2.
-
Trông có vẻ khá thú vị rồi đó.
-
Chúng ta sẽ viết lại
phần này, và tôi sẽ,
-
ta tập trung tính tích phân
bất định trước, sẽ xem
-
ta có tính được không.
-
Sau đó chúng ta sẽ có thể
-
tính tiếp tích phân xác định.
-
Chúng ta hãy cùng nghĩ,
hãy thử tính
-
tích phân bất định của
x bình phương nhân với
-
2 mũ x mũ 3 dx.
-
Chúng ta đang muốn tìm
nguyên hàm của nó.
-
Tích phân này sẽ bằng
-
tích phân của - tôi vẫn
viết x bình phương,
-
nhưng thay vì 2 mũ x mũ 3,
-
tôi sẽ viết phần
chúng ta vừa tính.
-
Tôi sẽ copy phần đó sang đây.
-
Chúng ta vừa biết
biểu thức này
-
chính là 2 mũ x mũ 3.
-
Chúng ta copy và dán vào đây.
-
Cuối cùng là dx.
-
Tôi đã có thể biến đổi
cơ số ở đây thành e.
-
Thuận tiện hơn chút rồi nhưng
-
biểu thức vẫn còn
khá phức tạp.
-
Bạn có thể nghĩ rằng:
-
"Ồ, ta có thể dùng phương pháp
đổi biến số xem sao."
-
Vì ở đây ta có biểu thức rất
phức tạp này, x mũ 3 nhân với
-
logarit tự nhiên của 2,
nhưng đạo hàm của nó là gì?
-
Nó sẽ là 3x bình phương
-
nhân với logarit
tự nhiên của 2,
-
hay 3 nhân logarit tự nhiên
của 2 rồi nhân x bình phương.
-
Tức là một hằng số
nhân với x bình phương.
-
Chúng ta cũng có x bình phương
ở đây rồi nên
-
chúng ta có thể biến đổi nó
để có hằng số ở đây nữa.
-
Hãy thử nghĩ nhé.
-
Vậy nếu làm theo cách đó,
chúng ta đặt phần này là u,
-
nếu chúng ta đặt u bằng
x mũ 3 nhân với
-
logarit tự nhiên của 2,
d u sẽ bằng bao nhiêu?
-
d u ở đây sẽ bằng -
logarit tự nhiên của 2
-
chỉ là một hằng số
nên d u sẽ bằng
-
3x bình phương nhân với
logarit tự nhiên của 2.
-
Chúng ta còn có thể
-
hoán đổi thứ tự các thừa số.
-
Chúng ta có thể viết thành
-
x bình phương nhân với
3 nhân logarit tự nhiên của 2,
-
và sử dụng các tính chất
của logarit, nó sẽ bằng
-
x bình phương nhân với
logarit tự nhiên của 2 mũ 3.
-
3 nhân với logarit tự nhiên
-
của 2 là logarit tự nhiên của 2 mũ 3.
-
Vậy nó sẽ là x bình phương
nhân với logarit tự nhiên của 8.
-
Vậy nếu đây là u, d u sẽ ở đâu?
-
À và chúng ta cũng không
được bỏ sót dx nhé.
-
Ta có dx ở đây, dx, dx, và dx.
-
Vậy d u nằm ở đâu? Chúng ta đã
có dx. Tôi sẽ đánh dấu chúng.
-
Có dx ở đây, có dx đây nữa.
-
Có x bình phương ở đây,
x bình phương ở đây.
-
Vậy chúng ta sẽ cần
-
logarit tự nhiên của 8.
-
Lý tưởng nhất là chúng ta
có logarit tự nhiên của 8
-
ở đây, và chúng ta có thể
đặt nó ở đó, miễn là,
-
chúng ta có thể nhân với
logarit tự nhiên của 8
-
miễn là chúng ta cũng chia cho
logarit tự nhiên của 8.
-
Chúng ta có thể làm ở ngay đây,
-
chia cho logarit tự nhiên của 8.
-
Nhưng chúng ta cũng biết
nguyên hàm của một hằng số
-
nhân với một hàm số
cũng sẽ bằng hằng số
-
nhân với nguyên hàm
của hàm số đó.
-
Vậy chúng ta sẽ đưa
nó ra ngoài.
-
Chúng ta có 1 trên
logarit tự nhiên của 8.
-
Chúng ta sẽ biến đổi tích phân
dưới dạng u và d u.
-
Nó sẽ được rút gọn thành
1 trên logarit tự nhiên
-
của 8 nhân với nguyên hàm của
-
e mũ u, e mũ u, đó là u, d u.
-
Phần này nhân với phần này
nhân với phần đó là d u, d u.
-
Đến đây thì đơn giản hơn rồi,
-
chúng ta có thể đoán được
nó sẽ là gì.
-
Nó sẽ bằng - để tôi
viết 1 trên
-
logarit tự nhiên
của 8 ra đây -
-
1 trên logarit tự nhiên
của 8, nhân với e mũ u,
-
và tất nhiên nếu chúng ta
đang tính nguyên hàm
-
thì sẽ còn hằng số
C ở đây nữa.
-
Sau đó chúng ta sẽ
thay thế lại u.
-
Chúng ta đã biết u là gì rồi.
-
Vậy ở đây sẽ bằng
nguyên hàm của
-
biểu thức này, là 1 trên
logarit tự nhiên của 8
-
nhân với e mũ, thay vì u,
chúng ta đã biết u là
-
x mũ 3 nhân với
logarit tự nhiên của 2.
-
Và tất nhiên chúng ta sẽ
viết cộng C ở đây.
-
Giờ chúng ta quay về với
bài toán ban đầu.
-
Chúng ta cần tính nguyên hàm
của phần này
-
tại mỗi cận này.
-
Chúng ta sẽ viết lại.
-
Từ những gì chúng ta vừa tính,
tôi sẽ copy phần này ra đây.
-
Tích phân này sẽ bằng
-
giá trị của nguyên hàm tại 1
-
trừ đi giá trị của
nguyên hàm tại 0.
-
Chúng ta không cần
-
tính đến hằng số vì chúng
sẽ trừ đi nhau.
-
Vậy chúng ta sẽ có,
chúng ta sẽ có 1 -
-
tôi sẽ tính giá trị tại 1 trước.
-
Chúng ta sẽ có 1 trên
logarit tự nhiên của 8
-
nhân với e mũ 1 mũ 3,
-
tức là 1, nhân với logarit
tự nhiên của 2,
-
logarit tự nhiên của 2,
đó là giá trị tại 1.
-
Sau đó chúng ta sẽ trừ đi
giá trị của nguyên hàm tại 0.
-
Vậy nó sẽ là 1 trên logarit
tự nhiên của 8
-
nhân với e mũ, khi x bằng 0
-
thì toàn bộ chỗ này sẽ bằng 0.
-
e mũ 0 bằng 1, và e mũ
logarit tự nhiên của 2
-
sẽ trở thành 2
-
như ta đã biết từ trước,
-
vậy phần này sẽ bằng 2.
-
Vậy chúng ta còn 2 trên
logarit tự nhiên của 8
-
trừ đi 1 trên logarit
tự nhiên của 8, tức là
-
bằng với 1 trên logarit
tự nhiên của 8.
-
Và chúng ta đã xong rồi đó.
Khan Academy
