1
00:00:00,566 --> 00:00:02,301
Chúng ta hãy tính
tích phân xác định

2
00:00:02,301 --> 00:00:07,566
từ 0 đến 1 của
x bình phương

3
00:00:07,566 --> 00:00:13,500
nhân với 2 mũ
x mũ 3, dx.

4
00:00:13,500 --> 00:00:15,900
Như mọi khi, tôi khuyên
bạn nên tạm dừng video

5
00:00:15,900 --> 00:00:20,233
và thử tự giải bài toán.

6
00:00:20,940 --> 00:00:22,634
Vậy coi như bạn đã
thử rồi nhé.

7
00:00:22,634 --> 00:00:24,300
Có một vài điều khá
thú vị ở đây.

8
00:00:24,300 --> 00:00:26,100
Thứ đầu tiên mà
tôi thấy là:

9
00:00:26,100 --> 00:00:28,367
"Chúng ta mới biết tính
đạo hàm và nguyên hàm

10
00:00:28,367 --> 00:00:31,700
của e mũ x, chứ không phải
một cơ số khác mũ x."

11
00:00:31,700 --> 00:00:34,700
Chúng ta đã biết
đạo hàm của e mũ x

12
00:00:34,700 --> 00:00:38,100
là e mũ x, hoặc chúng ta
cũng có thể nói

13
00:00:38,100 --> 00:00:43,700
nguyên hàm của e mũ x
là e mũ x cộng c.

14
00:00:43,700 --> 00:00:46,900
Vì ở biểu thức này,
chúng ta có trường hợp

15
00:00:47,930 --> 00:00:49,900
một cơ số được
nâng lên lũy thừa

16
00:00:49,900 --> 00:00:52,500
là một hàm của x,
nên ở đây chúng ta

17
00:00:52,500 --> 00:00:56,433
cần biến đổi cơ số này,
nhưng chúng ta sẽ làm thế nào?

18
00:00:56,433 --> 00:01:00,866
Cách tôi làm sẽ là
biểu diễn lại 2 theo số e

19
00:01:01,100 --> 00:01:03,233
Vậy 2 biểu diễn theo số e
sẽ là gì?

20
00:01:03,233 --> 00:01:09,900
2 sẽ bằng e, bằng e
được nâng lên lũy thừa

21
00:01:09,900 --> 00:01:13,033
mà chúng ta cần nâng e
lên để được 2.

22
00:01:13,033 --> 00:01:14,367
Vậy số mũ mà ta cần

23
00:01:14,367 --> 00:01:16,500
nâng e lên để
được 2 là gì?

24
00:01:16,500 --> 00:01:18,600
Đó sẽ là logarit
tự nhiên của 2.

25
00:01:18,633 --> 00:01:21,633
Vậy logarit tự nhiên của 2
là lũy thừa ta cần

26
00:01:21,633 --> 00:01:24,100
để nâng e lên để được 2.

27
00:01:24,100 --> 00:01:27,700
Vậy nếu bạn nâng e lên
lũy thừa này, bạn sẽ có 2.

28
00:01:27,700 --> 00:01:29,567
Chúng ta đã biểu diễn được 2.

29
00:01:29,567 --> 00:01:31,567
Giờ thì 2 mũ x mũ 3 là gì?

30
00:01:31,567 --> 00:01:34,500
Vậy nếu chúng ta nâng cả hai
phía lên lũy thừa x mũ 3,

31
00:01:34,500 --> 00:01:38,166
nâng cả hai phía lên
lũy thừa bậc x mũ 3,

32
00:01:38,166 --> 00:01:40,967
2 mũ x mũ 3 sẽ bằng,
nếu ta nâng một cơ số lên

33
00:01:40,967 --> 00:01:43,433
một lũy thừa và lại
nâng lũy thừa đó lên

34
00:01:43,433 --> 00:01:49,266
lũy thừa nữa, ở đây sẽ bằng
e mũ x mũ 3,

35
00:01:49,633 --> 00:01:53,000
x mũ 3, nhân với logarit
tự nhiên của 2,

36
00:01:53,100 --> 00:01:56,134
nhân với logarit
tự nhiên của 2.

37
00:01:56,233 --> 00:01:59,166
Trông có vẻ khá thú vị rồi đó.

38
00:01:59,166 --> 00:02:01,567
Chúng ta sẽ viết lại
phần này, và tôi sẽ,

39
00:02:01,567 --> 00:02:04,100
ta tập trung tính tích phân
bất định trước, sẽ xem

40
00:02:04,100 --> 00:02:05,166
ta có tính được không.

41
00:02:05,166 --> 00:02:06,500
Sau đó chúng ta sẽ có thể

42
00:02:06,500 --> 00:02:08,566
tính tiếp tích phân xác định.

43
00:02:08,566 --> 00:02:11,566
Chúng ta hãy cùng nghĩ,
hãy thử tính

44
00:02:11,566 --> 00:02:15,033
tích phân bất định của
x bình phương nhân với

45
00:02:15,033 --> 00:02:18,500
2 mũ x mũ 3 dx.

46
00:02:18,500 --> 00:02:20,566
Chúng ta đang muốn tìm
nguyên hàm của nó.

47
00:02:20,566 --> 00:02:23,166
Tích phân này sẽ bằng

48
00:02:23,166 --> 00:02:28,433
tích phân của - tôi vẫn
viết x bình phương,

49
00:02:28,433 --> 00:02:30,366
nhưng thay vì 2 mũ x mũ 3,

50
00:02:30,366 --> 00:02:32,166
tôi sẽ viết phần
chúng ta vừa tính.

51
00:02:32,166 --> 00:02:33,833
Tôi sẽ copy phần đó sang đây.

52
00:02:33,833 --> 00:02:35,300
Chúng ta vừa biết
biểu thức này

53
00:02:35,300 --> 00:02:38,500
chính là 2 mũ x mũ 3.

54
00:02:38,500 --> 00:02:42,867
Chúng ta copy và dán vào đây.

55
00:02:43,433 --> 00:02:47,800
Cuối cùng là dx.

56
00:02:48,838 --> 00:02:51,767
Tôi đã có thể biến đổi
cơ số ở đây thành e.

57
00:02:51,767 --> 00:02:53,434
Thuận tiện hơn chút rồi nhưng

58
00:02:53,434 --> 00:02:55,366
biểu thức vẫn còn
khá phức tạp.

59
00:02:55,366 --> 00:02:57,700
Bạn có thể nghĩ rằng:

60
00:02:57,700 --> 00:03:00,966
"Ồ, ta có thể dùng phương pháp
đổi biến số xem sao."

61
00:03:00,966 --> 00:03:05,033
Vì ở đây ta có biểu thức rất
phức tạp này, x mũ 3 nhân với

62
00:03:05,033 --> 00:03:08,000
logarit tự nhiên của 2,
nhưng đạo hàm của nó là gì?

63
00:03:08,033 --> 00:03:09,366
Nó sẽ là 3x bình phương

64
00:03:09,366 --> 00:03:11,167
nhân với logarit
tự nhiên của 2,

65
00:03:11,167 --> 00:03:13,966
hay 3 nhân logarit tự nhiên
của 2 rồi nhân x bình phương.

66
00:03:13,966 --> 00:03:16,166
Tức là một hằng số
nhân với x bình phương.

67
00:03:16,166 --> 00:03:18,766
Chúng ta cũng có x bình phương
ở đây rồi nên

68
00:03:18,766 --> 00:03:22,934
chúng ta có thể biến đổi nó
để có hằng số ở đây nữa.

69
00:03:22,967 --> 00:03:24,233
Hãy thử nghĩ nhé.

70
00:03:24,233 --> 00:03:27,900
Vậy nếu làm theo cách đó,
chúng ta đặt phần này là u,

71
00:03:27,900 --> 00:03:33,233
nếu chúng ta đặt u bằng
x mũ 3 nhân với

72
00:03:33,233 --> 00:03:36,234
logarit tự nhiên của 2,
d u sẽ bằng bao nhiêu?

73
00:03:36,234 --> 00:03:39,900
d u ở đây sẽ bằng -
logarit tự nhiên của 2

74
00:03:39,900 --> 00:03:42,033
chỉ là một hằng số
nên d u sẽ bằng

75
00:03:42,033 --> 00:03:45,933
3x bình phương nhân với
logarit tự nhiên của 2.

76
00:03:46,033 --> 00:03:47,433
Chúng ta còn có thể

77
00:03:47,433 --> 00:03:49,033
hoán đổi thứ tự các thừa số.

78
00:03:49,033 --> 00:03:50,500
Chúng ta có thể viết thành

79
00:03:50,500 --> 00:03:55,567
x bình phương nhân với
3 nhân logarit tự nhiên của 2,

80
00:03:55,567 --> 00:03:58,566
và sử dụng các tính chất
của logarit, nó sẽ bằng

81
00:03:58,566 --> 00:04:03,766
x bình phương nhân với
logarit tự nhiên của 2 mũ 3.

82
00:04:03,766 --> 00:04:05,100
3 nhân với logarit tự nhiên

83
00:04:05,100 --> 00:04:07,166
của 2 là logarit tự nhiên của 2 mũ 3.

84
00:04:07,166 --> 00:04:13,333
Vậy nó sẽ là x bình phương
nhân với logarit tự nhiên của 8.

85
00:04:13,700 --> 00:04:16,433
Vậy nếu đây là u, d u sẽ ở đâu?

86
00:04:16,433 --> 00:04:19,466
À và chúng ta cũng không
được bỏ sót dx nhé.

87
00:04:19,966 --> 00:04:25,800
Ta có dx ở đây, dx, dx, và dx.

88
00:04:25,833 --> 00:04:29,767
Vậy d u nằm ở đâu? Chúng ta đã
có dx. Tôi sẽ đánh dấu chúng.

89
00:04:29,767 --> 00:04:32,767
Có dx ở đây, có dx đây nữa.

90
00:04:32,767 --> 00:04:36,100
Có x bình phương ở đây,
x bình phương ở đây.

91
00:04:36,100 --> 00:04:38,234
Vậy chúng ta sẽ cần

92
00:04:38,234 --> 00:04:40,900
logarit tự nhiên của 8.

93
00:04:40,900 --> 00:04:43,834
Lý tưởng nhất là chúng ta
có logarit tự nhiên của 8

94
00:04:43,834 --> 00:04:46,966
ở đây, và chúng ta có thể
đặt nó ở đó, miễn là,

95
00:04:46,966 --> 00:04:49,233
chúng ta có thể nhân với
logarit tự nhiên của 8

96
00:04:49,233 --> 00:04:53,333
miễn là chúng ta cũng chia cho
logarit tự nhiên của 8.

97
00:04:53,366 --> 00:04:56,300
Chúng ta có thể làm ở ngay đây,

98
00:04:56,300 --> 00:04:58,833
chia cho logarit tự nhiên của 8.

99
00:04:58,833 --> 00:05:01,366
Nhưng chúng ta cũng biết
nguyên hàm của một hằng số

100
00:05:01,366 --> 00:05:04,033
nhân với một hàm số
cũng sẽ bằng hằng số

101
00:05:04,033 --> 00:05:06,300
nhân với nguyên hàm
của hàm số đó.

102
00:05:06,300 --> 00:05:08,433
Vậy chúng ta sẽ đưa
nó ra ngoài.

103
00:05:08,433 --> 00:05:12,333
Chúng ta có 1 trên
logarit tự nhiên của 8.

104
00:05:12,566 --> 00:05:15,433
Chúng ta sẽ biến đổi tích phân
dưới dạng u và d u.

105
00:05:15,433 --> 00:05:18,566
Nó sẽ được rút gọn thành
1 trên logarit tự nhiên

106
00:05:18,566 --> 00:05:23,346
của 8 nhân với nguyên hàm của

107
00:05:24,453 --> 00:05:31,766
e mũ u, e mũ u, đó là u, d u.

108
00:05:31,766 --> 00:05:36,509
Phần này nhân với phần này
nhân với phần đó là d u, d u.

109
00:05:36,509 --> 00:05:38,700
Đến đây thì đơn giản hơn rồi,

110
00:05:38,700 --> 00:05:40,900
chúng ta có thể đoán được
nó sẽ là gì.

111
00:05:40,900 --> 00:05:43,100
Nó sẽ bằng - để tôi
viết 1 trên

112
00:05:43,100 --> 00:05:45,600
logarit tự nhiên
của 8 ra đây -

113
00:05:45,633 --> 00:05:53,879
1 trên logarit tự nhiên
của 8, nhân với e mũ u,

114
00:05:55,771 --> 00:05:57,700
và tất nhiên nếu chúng ta
đang tính nguyên hàm

115
00:05:57,700 --> 00:06:00,433
thì sẽ còn hằng số
C ở đây nữa.

116
00:06:00,433 --> 00:06:02,900
Sau đó chúng ta sẽ
thay thế lại u.

117
00:06:02,900 --> 00:06:04,500
Chúng ta đã biết u là gì rồi.

118
00:06:04,500 --> 00:06:07,300
Vậy ở đây sẽ bằng
nguyên hàm của

119
00:06:07,300 --> 00:06:11,566
biểu thức này, là 1 trên
logarit tự nhiên của 8

120
00:06:11,566 --> 00:06:15,367
nhân với e mũ, thay vì u,
chúng ta đã biết u là

121
00:06:15,367 --> 00:06:19,100
x mũ 3 nhân với
logarit tự nhiên của 2.

122
00:06:19,100 --> 00:06:21,866
Và tất nhiên chúng ta sẽ
viết cộng C ở đây.

123
00:06:22,100 --> 00:06:24,234
Giờ chúng ta quay về với
bài toán ban đầu.

124
00:06:24,234 --> 00:06:26,566
Chúng ta cần tính nguyên hàm
của phần này

125
00:06:26,566 --> 00:06:29,500
tại mỗi cận này.

126
00:06:29,500 --> 00:06:30,967
Chúng ta sẽ viết lại.

127
00:06:30,967 --> 00:06:36,066
Từ những gì chúng ta vừa tính,
tôi sẽ copy phần này ra đây.

128
00:06:36,301 --> 00:06:39,120
Tích phân này sẽ bằng

129
00:06:40,181 --> 00:06:43,966
giá trị của nguyên hàm tại 1

130
00:06:43,966 --> 00:06:47,100
trừ đi giá trị của
nguyên hàm tại 0.

131
00:06:47,100 --> 00:06:48,033
Chúng ta không cần

132
00:06:48,033 --> 00:06:50,033
tính đến hằng số vì chúng
sẽ trừ đi nhau.

133
00:06:50,033 --> 00:06:53,566
Vậy chúng ta sẽ có,
chúng ta sẽ có 1 -

134
00:06:53,566 --> 00:06:55,966
tôi sẽ tính giá trị tại 1 trước.

135
00:06:56,596 --> 00:06:59,500
Chúng ta sẽ có 1 trên
logarit tự nhiên của 8

136
00:06:59,500 --> 00:07:05,433
nhân với e mũ 1 mũ 3,

137
00:07:05,433 --> 00:07:08,100
tức là 1, nhân với logarit
tự nhiên của 2,

138
00:07:08,100 --> 00:07:10,834
logarit tự nhiên của 2,
đó là giá trị tại 1.

139
00:07:10,834 --> 00:07:15,066
Sau đó chúng ta sẽ trừ đi
giá trị của nguyên hàm tại 0.

140
00:07:15,100 --> 00:07:18,033
Vậy nó sẽ là 1 trên logarit
tự nhiên của 8

141
00:07:18,033 --> 00:07:21,633
nhân với e mũ, khi x bằng 0

142
00:07:21,633 --> 00:07:23,766
thì toàn bộ chỗ này sẽ bằng 0.

143
00:07:23,766 --> 00:07:29,100
e mũ 0 bằng 1, và e mũ
logarit tự nhiên của 2

144
00:07:29,100 --> 00:07:32,233
sẽ trở thành 2

145
00:07:32,233 --> 00:07:33,966
như ta đã biết từ trước,

146
00:07:33,966 --> 00:07:35,766
vậy phần này sẽ bằng 2.

147
00:07:35,766 --> 00:07:39,366
Vậy chúng ta còn 2 trên
logarit tự nhiên của 8

148
00:07:39,366 --> 00:07:42,500
trừ đi 1 trên logarit
tự nhiên của 8, tức là

149
00:07:42,500 --> 00:07:47,533
bằng với 1 trên logarit
tự nhiên của 8.

150
00:07:47,900 --> 00:07:52,266
Và chúng ta đã xong rồi đó.