Chúng ta hãy tính tích phân xác định
từ 0 đến 1 của x bình phương
nhân với 2 mũ x mũ 3, dx.
Như mọi khi, tôi khuyên bạn nên tạm dừng video
và thử tự giải bài toán.
Vậy coi như bạn đã thử rồi nhé.
Có một vài điều khá thú vị ở đây.
Thứ đầu tiên mà tôi thấy là:
"Chúng ta mới biết tính đạo hàm và nguyên hàm
của e mũ x, chứ không phải một cơ số khác mũ x."
Chúng ta đã biết đạo hàm của e mũ x
là e mũ x, hoặc chúng ta cũng có thể nói
nguyên hàm của e mũ x là e mũ x cộng c.
Vì ở biểu thức này, chúng ta có trường hợp
một cơ số được nâng lên lũy thừa
là một hàm của x, nên ở đây chúng ta
cần biến đổi cơ số này, nhưng chúng ta sẽ làm thế nào?
Cách tôi làm sẽ là biểu diễn lại 2 theo số e
Vậy 2 biểu diễn theo số e sẽ là gì?
2 sẽ bằng e, bằng e được nâng lên lũy thừa
mà chúng ta cần nâng e lên để được 2.
Vậy số mũ mà ta cần
nâng e lên để được 2 là gì?
Đó sẽ là logarit tự nhiên của 2.
Vậy logarit tự nhiên của 2 là lũy thừa ta cần
để nâng e lên để được 2.
Vậy nếu bạn nâng e lên lũy thừa này, bạn sẽ có 2.
Chúng ta đã biểu diễn được 2.
Giờ thì 2 mũ x mũ 3 là gì?
Vậy nếu chúng ta nâng cả hai phía lên lũy thừa x mũ 3,
nâng cả hai phía lên lũy thừa bậc x mũ 3,
2 mũ x mũ 3 sẽ bằng, nếu ta nâng một cơ số lên
một lũy thừa và lại nâng lũy thừa đó lên
lũy thừa nữa, ở đây sẽ bằng e mũ x mũ 3,
x mũ 3, nhân với logarit tự nhiên của 2,
nhân với logarit tự nhiên của 2.
Trông có vẻ khá thú vị rồi đó.
Chúng ta sẽ viết lại phần này, và tôi sẽ,
ta tập trung tính tích phân bất định trước, sẽ xem
ta có tính được không.
Sau đó chúng ta sẽ có thể
tính tiếp tích phân xác định.
Chúng ta hãy cùng nghĩ, hãy thử tính
tích phân bất định của x bình phương nhân với
2 mũ x mũ 3 dx.
Chúng ta đang muốn tìm nguyên hàm của nó.
Tích phân này sẽ bằng
tích phân của - tôi vẫn viết x bình phương,
nhưng thay vì 2 mũ x mũ 3,
tôi sẽ viết phần chúng ta vừa tính.
Tôi sẽ copy phần đó sang đây.
Chúng ta vừa biết biểu thức này
chính là 2 mũ x mũ 3.
Chúng ta copy và dán vào đây.
Cuối cùng là dx.
Tôi đã có thể biến đổi cơ số ở đây thành e.
Thuận tiện hơn chút rồi nhưng
biểu thức vẫn còn khá phức tạp.
Bạn có thể nghĩ rằng:
"Ồ, ta có thể dùng phương pháp đổi biến số xem sao."
Vì ở đây ta có biểu thức rất phức tạp này, x mũ 3 nhân với
logarit tự nhiên của 2, nhưng đạo hàm của nó là gì?
Nó sẽ là 3x bình phương
nhân với logarit tự nhiên của 2,
hay 3 nhân logarit tự nhiên của 2 rồi nhân x bình phương.
Tức là một hằng số nhân với x bình phương.
Chúng ta cũng có x bình phương ở đây rồi nên
chúng ta có thể biến đổi nó để có hằng số ở đây nữa.
Hãy thử nghĩ nhé.
Vậy nếu làm theo cách đó, chúng ta đặt phần này là u,
nếu chúng ta đặt u bằng x mũ 3 nhân với
logarit tự nhiên của 2, d u sẽ bằng bao nhiêu?
d u ở đây sẽ bằng - logarit tự nhiên của 2
chỉ là một hằng số nên d u sẽ bằng
3x bình phương nhân với logarit tự nhiên của 2.
Chúng ta còn có thể
hoán đổi thứ tự các thừa số.
Chúng ta có thể viết thành
x bình phương nhân với 3 nhân logarit tự nhiên của 2,
và sử dụng các tính chất của logarit, nó sẽ bằng
x bình phương nhân với logarit tự nhiên của 2 mũ 3.
3 nhân với logarit tự nhiên
của 2 là logarit tự nhiên của 2 mũ 3.
Vậy nó sẽ là x bình phương nhân với logarit tự nhiên của 8.
Vậy nếu đây là u, d u sẽ ở đâu?
À và chúng ta cũng không được bỏ sót dx nhé.
Ta có dx ở đây, dx, dx, và dx.
Vậy d u nằm ở đâu? Chúng ta đã có dx. Tôi sẽ đánh dấu chúng.
Có dx ở đây, có dx đây nữa.
Có x bình phương ở đây, x bình phương ở đây.
Vậy chúng ta sẽ cần
logarit tự nhiên của 8.
Lý tưởng nhất là chúng ta có logarit tự nhiên của 8
ở đây, và chúng ta có thể đặt nó ở đó, miễn là,
chúng ta có thể nhân với logarit tự nhiên của 8
miễn là chúng ta cũng chia cho logarit tự nhiên của 8.
Chúng ta có thể làm ở ngay đây,
chia cho logarit tự nhiên của 8.
Nhưng chúng ta cũng biết nguyên hàm của một hằng số
nhân với một hàm số cũng sẽ bằng hằng số
nhân với nguyên hàm của hàm số đó.
Vậy chúng ta sẽ đưa nó ra ngoài.
Chúng ta có 1 trên logarit tự nhiên của 8.
Chúng ta sẽ biến đổi tích phân dưới dạng u và d u.
Nó sẽ được rút gọn thành 1 trên logarit tự nhiên
của 8 nhân với nguyên hàm của
e mũ u, e mũ u, đó là u, d u.
Phần này nhân với phần này nhân với phần đó là d u, d u.
Đến đây thì đơn giản hơn rồi,
chúng ta có thể đoán được nó sẽ là gì.
Nó sẽ bằng - để tôi viết 1 trên
logarit tự nhiên của 8 ra đây -
1 trên logarit tự nhiên của 8, nhân với e mũ u,
và tất nhiên nếu chúng ta đang tính nguyên hàm
thì sẽ còn hằng số C ở đây nữa.
Sau đó chúng ta sẽ thay thế lại u.
Chúng ta đã biết u là gì rồi.
Vậy ở đây sẽ bằng nguyên hàm của
biểu thức này, là 1 trên logarit tự nhiên của 8
nhân với e mũ, thay vì u, chúng ta đã biết u là
x mũ 3 nhân với logarit tự nhiên của 2.
Và tất nhiên chúng ta sẽ viết cộng C ở đây.
Giờ chúng ta quay về với bài toán ban đầu.
Chúng ta cần tính nguyên hàm của phần này
tại mỗi cận này.
Chúng ta sẽ viết lại.
Từ những gì chúng ta vừa tính, tôi sẽ copy phần này ra đây.
Tích phân này sẽ bằng
giá trị của nguyên hàm tại 1
trừ đi giá trị của nguyên hàm tại 0.
Chúng ta không cần
tính đến hằng số vì chúng sẽ trừ đi nhau.
Vậy chúng ta sẽ có, chúng ta sẽ có 1 -
tôi sẽ tính giá trị tại 1 trước.
Chúng ta sẽ có 1 trên logarit tự nhiên của 8
nhân với e mũ 1 mũ 3,
tức là 1, nhân với logarit tự nhiên của 2,
logarit tự nhiên của 2, đó là giá trị tại 1.
Sau đó chúng ta sẽ trừ đi giá trị của nguyên hàm tại 0.
Vậy nó sẽ là 1 trên logarit tự nhiên của 8
nhân với e mũ, khi x bằng 0
thì toàn bộ chỗ này sẽ bằng 0.
e mũ 0 bằng 1, và e mũ logarit tự nhiên của 2
sẽ trở thành 2
như ta đã biết từ trước,
vậy phần này sẽ bằng 2.
Vậy chúng ta còn 2 trên logarit tự nhiên của 8
trừ đi 1 trên logarit tự nhiên của 8, tức là
bằng với 1 trên logarit tự nhiên của 8.
Và chúng ta đã xong rồi đó.