多项式的余数定理

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我们来介绍
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多项式的余数定理
0:06 - 0:07

当我们往下看的时候
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一开始您可能觉得有点神奇
0:09 - 0:11

但是在今后的视频中，我们会去证明它
0:11 - 0:13

然后我们就明白，就像数学中的其他很多东西
0:13 - 0:14

当您真正理解的时候
0:14 - 0:17

或许它就不会显得那么神奇了
0:17 - 0:19

那么什么是多项式的余数定理呢
0:19 - 0:22

题目告诉我们，如果
0:22 - 0:24

有一个多项式函数，f(x)
0:24 - 0:28

这就是这个多项式
0:28 - 0:30

多项式
0:30 - 0:35

它来除以
0:35 - 0:39

（x-a)
0:39 - 0:44

那么余数
0:44 - 0:46

从那个多项式
0:46 - 0:50

的长除法我们就会得到答案为f(a)
0:50 - 0:53

其结果将是
0:53 - 0:57

f(a)
0:57 - 0:59

我想这个看起来有点抽象
0:59 - 1:03

我指的是f(x)以及f(x-a)
1:03 - 1:05

我来把它说得具体一些
1:05 - 1:10

我们来算f(x)等于多少
1:10 - 1:12

我们来假设一个
1:12 - 1:13

2次幂的多项式
1:13 - 1:15

其实对所有的多项式其实都是成立的
1:15 - 1:18

所以3x的平方
1:18 - 1:21

减4x加7
1:21 - 1:26

我们假设a等于，a等于1
1:26 - 1:31

所以我们的除法就是
1:31 - 1:34

变成我们要除以
1:34 - 1:39

（x-1）
1:39 - 1:44

所以a，在这个例子中，等于1
1:44 - 1:46

现在来做多项式的长除法
1:46 - 1:48

我建议您暂停视频
1:48 - 1:50

如果您不熟悉长除法
1:50 - 1:52

我建议您先去看之前那个视频
1:52 - 1:53

因为我假设您已经
1:53 - 1:55

知道怎么去做多项式的长除法
1:55 - 1:58

3x^-4x+7
1:58 - 1:59

除以(x-1)
1:59 - 2:01

来计算余数是多少
2:01 - 2:05

并且来看余数是不是等于f(1)
2:05 - 2:06

假设您已经试过了
2:06 - 2:08

我们现在来一起做
2:08 - 2:13

我们的除数为(x-1)
2:13 - 2:18

被除数为3x^2
2:19 - 2:22

减4x+7
2:22 - 2:25

好了，做一点多项式的长除法
2:25 - 2:27

来开启您的一天是不错的方法
2:27 - 2:27

我就是这样的
2:27 - 2:29

我不知道您的早上以什么开始
2:29 - 2:33

好了，我们来看x项
2:33 - 2:35

x的最高幂次项
2:35 - 2:37

我从最高幂次项开始
2:37 - 2:39

那么x乘以什么得到3x的平方
2:39 - 2:41

3x的平方是多少
2:41 - 2:43

3x的平方就是3乘以x的平方
2:43 - 2:46

所以我可以写下3x
2:46 - 2:48

我可以写在
2:48 - 2:50

x的一次方的位置
2:50 - 2:54

3x乘以x是3x的平方
2:54 - 2:58

3x乘以负1等于负3x
2:58 - 3:01

现在来做减法
3:01 - 3:04

这个和您通常做的长除法是一回事
3:04 - 3:07

那么结果是什么
3:07 - 3:09

3x的平方减3x的平方
3:09 - 3:12

等于0
3:12 - 3:14

这项相抵减
3:14 - 3:17

这一项-4x
3:17 - 3:18

要加3x,对吧
3:18 - 3:20

因为负负得正
3:20 - 3:22

负4x加3x
3:22 - 3:25

得到负x
3:25 - 3:28

我用新的颜色来做
3:28 - 3:32

我们得到负x
3:32 - 3:36

然后把7落下
3:36 - 3:38

将您第一次学习长除法和这个做一个完全的比较
3:38 - 3:41

也许您在3年级或者4年级学过
3:41 - 3:43

我做的就是用3x来乘以这个
3:43 - 3:45

您就得到3x平方减3x
3:45 - 3:47

然后我再来做减法，被减数为3x平方
3:47 - 3:49

减4x，然后就得到这个
3:49 - 3:53

或者您可以说我用整个多项式
3:53 - 3:56

来减除数然后就得到-x+7
3:56 - 3:58

现在，-x+7里面有多少
3:58 - 4:01

（x-1)呢
4:01 - 4:02

x被负x除
4:02 - 4:06

商负1，乘以x
4:06 - 4:09

就是负x
4:09 - 4:13

负1乘以负1等于正1
4:13 - 4:15

然后我们又要来做减法
4:15 - 4:16

我们要来减去这个
4:16 - 4:19

然后我们就得到余数了
4:19 - 4:22

所以负x减去负x
4:22 - 4:25

就等于负x加x
4:25 - 4:27

它们相加等于0
4:27 - 4:28

现在落下7
4:28 - 4:29

然后7加1
4:29 - 4:30

不要忘记括弧外面有负号
4:30 - 4:31

所以如果您将负号分配进来
4:31 - 4:33

那就等于负1
4:33 - 4:36

7减去1等于6
4:36 - 4:40

所以您的余数为6
4:40 - 4:41

一种方法去想
4:41 - 4:45

您可以说,算了
4:45 - 4:47

我还是留给将来的视频课来解释
4:47 - 4:51

这个就是余数
4:51 - 4:52

您知道当您到余数这一步的时候
4:52 - 4:55

这就是对长除法做了一个复习
4:55 - 4:57

也就是当您得到一个低次幂的时候
4:57 - 4:59

在这里，我想您可以这么来叫它
4:59 - 5:01

是一个零次幂的多项式
5:01 - 5:04

这个比您实际上
5:04 - 5:09

要除以的因子(x-1)的x次幂要低
5:10 - 5:12

因为它比因子的幂次低，所以它就是余数了
5:12 - 5:16

您不能再用这个余数去商任何数
5:16 - 5:20

现在，就这个多项式余数定理
5:20 - 5:24

如果它是正确的，因为我在这里只是任意选了一个例子而言
5:24 - 5:26

这不是一个证明，而是仅仅是
5:26 - 5:29

一种直观的方法
5:29 - 5:32

让我们知道这个余数定理
5:32 - 5:35

如果这个余数定理是正确的
5:35 - 5:39

它告诉我们的是，在这个实例中
5:39 - 5:43

f(1)应该等于6
5:43 - 5:45

它应该等于这个余数
5:45 - 5:46

现在来看看对不对
5:46 - 5:49

它应该等于3乘以1的平方
5:49 - 5:52

等于3，减4乘以1
5:52 - 5:56

那么就是减4，再加7
5:56 - 6:00

3减4等于负1再加7，的确是
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我们被其结果所鼓舞
6:02 - 6:05

它真的就等于6
6:05 - 6:08

所以，至少就这个特殊的例子而言
6:08 - 6:09

看起来是正确的，它
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证明余数定理是对的
6:10 - 6:12

但是这个定理的作用是，如果有人问
6:12 - 6:15

"如果我用3x^-4x+7 除以
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(x-1) 的话，如果我只关心余数
6:17 - 6:20

那么余数是什么？“
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这里他们并不关心实际的商会是多少
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他们就只想知道余数，您可以说
6:24 - 6:27

“你们看，在这个例子里，因为a是1
6:27 - 6:28

我可以就把1代入
6:28 - 6:31

我可以算出f(1),然后我得出答案是6
6:31 - 6:32

我并不需要去做这个整个长除法过程
6:32 - 6:34

我仅仅只需要去做这个步骤
6:34 - 6:37

就可以算出余数“
6:37 - 6:39

也就是得出3x的平方减4x加7
6:39 - 6:42

除以x-1的余数

Title:: 多项式的余数定理
Description:: 现在就在可汗学院网站上练习此课：
https://www.khanacademy.org/math/algebra2/polynomial_and_rational/polynomial-remainder-theorem-tutorial/e/remainder-theorem-of-polynomials?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=AlgebraII

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Video Language:: English
Team:: Khan Academy
Duration:: 06:43

	kelvin_hong_fang edited Chinese, Simplified subtitles for Polynomial remainder theorem
	Julie Xie edited Chinese, Simplified subtitles for Polynomial remainder theorem
	Julie Xie edited Chinese, Simplified subtitles for Polynomial remainder theorem

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