Epsilonowo-Deltowa Definicja Granicy 1

Wstęp do epsilonowo-deltowej definicji granicy (def. Cauchy'ego).

Wymyślmy sobie jakąś funkcję, abyśmy mogli

wyznaczyć jej granicę.

Na razie po prostu narysuję wykres funkcji,

wzory i obliczenia zostawmy sobie na później.

Tu jest oś y, a tu oś x.

Funkcja będzie wyglądać powiedzmy tak...

Narysujmy nieskomplikowaną funkcję -

niech będzie to prosta linia, przynajmniej w głównej mierze.

Niech wygląda to tak -

linia z dziurą w pewnym miejscu x = a

tzn. funkcja jest tu niezdefiniowana.

Wymażę ten punkt, abyście widzieli, że w tym miejscu

funkcja nie jest zdefiniowana.

Ten punkt to x = a.

To jest oś x, a to jest oś y = f(x).

Niech po prostu zostanie oś y,

a to będzie f(x), to znaczy

y równa się f od x.

Było już kilka filmów o granicach i myślę,

że macie intuicję w tym temacie.

Gdybyśmy mieli znaleźć granicę, gdy x dąży do a,

i powiedzmy, że ten punkt jest równy l.

Wiemy z poprzednich filmów, że...

może najpierw zapiszę - granica przy x dążącym do a

z f od x.

Intuicyjnie oznacza to, że gdy zbliżamy się do a

z którejś strony - na przykład z tej, to pytamy

do czego zbliża się f(x) ?

Więc gdy x jest tutaj, to f(x) jest tutaj.

Jak x jest tutaj, to f(x) jest tu.

I widzimy, że zbliżamy się do tego l właśnie tutaj.

I gdy zbliżamy się do a z tej strony - szukaliśmy już granic,

gdy x dąży do pewnego miejsca tylko z lewej lub z prawej strony,

lecz aby istniała granica, musimy dostać z obu stron to samo.

zarówno z prawej jak i z lewej - więc

idąc z tej strony, dla tego x, tu jest f(x).

f od x jest tutaj.

Gdy x jest tutaj, to f(x) jest tutaj - i idąc coraz bliżej do a

widzimy, że f(x) dąży do tego punktu l, tzn. do wartości l.

Mówimy więc, że granica f(x) przy x dążącym do a

wynosi l.

Myślę, że to czujecie.

Jednak nie było to zbyt formalne, właściwie wcale,

jeżeli chodzi o precyzyjne sformułowanie tego, czym

jest granica.

Jedyne co na razie powiedziałem to: kiedy x się zbliża,

to do czego zbliża się f(x) ?

Więc... w tym filmie postaram się wyjaśnić wam definicję granicy, trzymając się ściśle matematycznych zasad,

w dużo bardziej precyzyjny sposób

niż mówiąc: wiesz... jak x zbliża się

do tej wartości, to do czego dąży f od x?

Sposób, w jaki myślę o tym, to jest... jakby taka gra.

Definicja mówi, że: to, co tu jest napisane, to właśnie wyrażenie, oznacza, że

zawsze możemy wybrać taki przedział wokół tego punktu, zawsze możemy wybrać taki zakres, że...

i nie chodzi tu o jakikolwiek zakres w ogólności,

tylko o zakres w tym sensie, że...

możemy ustalić taką odległość, że dopóki x jest odległy od a

o nie więcej niż o tę odległość, to z całą pewnością f(x)

nie będzie dalej od l niż o pewną ustaloną odległość.

Możemy to sobie wyobrazić jako

taką małą zabawę.

Powiedzmy, że ty mówisz: OK Sal, nie wierzę ci.

Chcę zobaczyć, czy f(x) może być w zakresie 0.5 od l.

Więc ty dajesz mi na przykład 0.5 i mówisz: Sal, poprzez tę definicję powinieneś zawsze

być w stanie dać mi na osi x taki przedział

wokół a, że w tym przedziale f(x) będzie odległe od l o nie więcej niż 0.5, zgoda?

Czyli wartości funkcji f w tych x-ach będą zawsze w tym zakresie,

właśnie tutaj.

I dopóki jestem w tym przedziale wokół a, dopóki jestem

w tym zakresie, który mi dałeś, f(x) zawsze będzie

wystarczająco blisko naszej granicy.

Może narysuję to jeszcze raz - trochę większe, bo...

cały czas rysowałem w kółko ten sam wykres w jednym miejscu.

Niech to będzie nasz wykres f(x), a to będzie nasza dziura.

Chociaż właściwie nie musi tu być dziury. Granica mogłaby być równa

wartości funkcji w punkcie a, ale tak jest dużo

ciekawiej, bo funkcja nie jest zdefiniowana,

a granica tak.

Więc mamy nasz punkt tutaj. Pozwólcie, że narysuję osie ponownie.

Mamy oś OX, oś OY i naszą granicę I

oraz punkt a

Jeżeli więc chodzi o definicję granicy to za chwilę do niej wrócę

ponieważ skoro mamy większy rysunek, chciałbym jeszcze raz to wytłumaczyć

to o co chodzi to - i to jest epsilonowo-deltowa definicja granicy funkcji,

ale o epsilonie i delcie powiemy sobie za chwilę -

że mogę zagwarantować wam, że funkcja f(x),

jakiejkolwiek odległości od L nie wybierzecie

właściwie oznaczmy tę odległość przez epsilon

przejdźmy do definicji od razu

prosto z marszu

więc wy mówicie, że chcecie być nie dalej niż epsilon od L

Gdzie epsilon może być dowolną liczbą rzeczywistą

większą od zera

więc byłby to ten dystans, o tu, ta odległość to epsilon

i ten odcinek też ma długość epsilon

i dla każdego epsilona, który mi wybierzecie, dowolnej rzeczywistej liczby (większej od 0, przyp. tłumacza)

to będzie L plus epsilon o tutaj, a to będzie

L minus epsilon tutaj. Epsilonowo-deltowa definicja

mówi nam, że jakikolwiek epsilon mi podacie, Ja

mogę zawsze określić odległość wokół a

Nazwijmy ją deltą.

Mogę zawsze określić odległość wokół a

Powiedzmy że to będzie a minus delta, a to

a plus delta.

To jest litera - delta.

i dla każdego x jaki wybierzecie pomiędzy a plus delta

i a minus delta, tak długo jak x jest w tym przedziale, mogę wam zagwarantować,

że f(x), wartość funkcji dla naszego x będzie

w wybranym przez was przedziale (pomiędzy L minus epsilon i L plus epsilon)

Jeżeli się nad tym zastanowicie to brzmi to rozsądnie, nieprawdaż?

Mówi nam to po prostu, że możemy znaleźć się tak blisko jak chcemy

naszej granicy poprzez , mówiąc taj blisko jak chcemymam na myśli, że

możecie określić to podając mi dowolny epsilon,

to jest taka jakby gra, mogę sprawić że znajdziecie się tak blisko

jak chcecie wartości granicy poprzez podanie wam przedziału wokół punktu,

do którego zmierza x.

Tak długo jak będziecie wybierali wartość x, która znajduje się w tym przedziale

tak długo jak będziecie wybierali x właśnie stamtąd

Mogę zapewnić was, że f(x) będzie w zakresie,

który określiliście

Aby uczynić to trochę bardziej konkretnym, powiedzmy,

że mówicie: "chcę by f(x) było nie dalej niż 0,5 - niech, no wiecie

operujmy w konkretnych wartościach.

powiedzmy, że tu jest liczba 2, a tu jest 1.

Mówimy, że granica, przy x zmierzającym do 1, f(x) -

nie zdefiniowałem f(x), ale jej wykres wygląda jak linia z dziurą

w tym miejscu - wynosi 2.

Oznacza to, że możecie podać mi dowolną liczbę.

Załóżmy, że chcecie sprawdzić to na paru przykładach.

Powiedzmy, że mówicie: "chcę by wartość f(x) była nie dalej niż -

pozwólcie, żę wezmę inny kolor - nie dalej niż 0,5 od 2.

Chcę by f(x) było pomiędzy 2,5 a 1,5.

Wtedy mógłbym powiedzieć: "w porządalu, tak długo jak wybierzecie x pomiędzy -

no nie wiem, to może być w sumie dowolnie blisko, ale tak długo

jak wybierzecie x, który jest - powiedzmy, że to działa dla tej funkcji -

który jest pomiędzy, no nie wiem , 0,9 i 1,1.

Więc w tym wypadku delta dla naszej granicy wynosi zaledwie 0,1.

tak długo jak wybierzecie x, oddalony o nie więcej niż 0,1 od 1,

mogę zapewnić was, że wasze f(x) będzie

leżało w tym zakresie.

Mam nadzieję, że rozumiecie już trochę jak to działa.

Pozwólcie mi zdefiniować to za pomocą epsilona i delty, to

jest właśnie to, co możecie ujrzeć w waszych podręcznikach matematyki,

potem przejdziemy do kilku przykładów,

Aby mieć jasność, to był tylko konkretny przykład.

Wybraliście jeden epsilon, a ja znalazłem dla was deltę, która działała.

Ale z definicji, jeżeli to jest prawdziwe lub jeżeli ktoś napisze coś takiego,

to ma na myśli, że to działa nie tylko dla jednego, konkretnego przypadku,

to działa dla dowolnej liczby jaką wybierzecie.

Moglibyście powiedzieć: "Chcę, być jedną milionową od..., lub

10 do potęgi -(2^100), wiecie,

ekstremalnie blisko dwójki, a ja i tak zawsze mogę znaleźć wam przedział

wokół tego punktu i tak długo jak wybierzecie x z tego przedziału

zawsze będziecie w zakresie, który określiliście, nawet

jeśli byłoby to, wiecie, jedna trylionowa jednostki od

granicy.

Jedyne o czym nie mogę was zapewnić, to to,

co dzieje się, gdy x jest równy a.

Mówię po prostu, że tak długo, jak wybierzecie x, który leży

w podanym przeze mnie przedziale, ale nie jest równy a, to będzie on działał.

Wasze f(x) pokaże się w takiej odległości, jaką wybraliście.

Żeby uczynić tę matematykę przejrzystą - ponieważ do tej pory

mówiłem jedynie własnymi słowami - a to jest to co widzimy w podręcznikach.

A mówi nam to: "Podajcie mi dowolny epsilon

większy od 0.

W końcu to jest definicja, nieprawdaż?

Jeżeli ktoś pisze coś takiego, ma na myśli, że możecie wybrać

dowolny epsilon większy od 0, a on poda ci deltę -

pamiętaj, epsilon określa

jak blisko naszej granicy ma być f(x), nieprawdaż?

To jest otoczenie wokół f(x) - On poda Ci deltę,

która określa przedział wokół a, nieprawdaż?

Pozwólcie, że to zapiszę.

Więc granica, przy x zmierzającym do a, funkcji f(x) jest równa L.

Więc oni znajdą ci taką deltę, że dla x leżących nie dalej

niż delta od - tak że odległość pomiędzy x i a, jeśli wybierzemy x tutaj -

pozwólcie mi wziać inny kolor - jeśli wybierzemy x tutaj,

odległość pomiędzy tą wartością i a, tak długo jak jest

większy od 0, tak by x nie pokrył się z a,

ponieważ funkcja może nie być zdefiniowana w tym punkcie.

Ale tak długo jak odległość pomiędzy x i a jest większa

niż 0, ale mniejsza niż ten zakres dla x, który ci podali.

To znaczy mniejsza niż delta.

Więc tak długo jak bierzecie x, wiecie, jeślibym miał powiększyć

oś OX w tym miejscu - to jest a, a ta odległość

byłaby deltą, oraz ta odległość byłaby deltą -

tak długo jak wybierzecie wartość x która wpada w ten przedział,

tak długo jak wybierzecie ten punk lub ten punkt -

tak długo jak wybierzecie jedną z tych wartości dla x, mogę was zapewnić,

że odległość pomiędzy wartośćią funkcji a wartością granicy,

odległość pomiędzy, no wiecie, kiedy bierzecie jeden z tych

wartości x i obliczacie f(x) dla tej wartości,

odległość pomiędzy f(x) i granicą

będzie mniejsza niż liczba, którą im podaliście.

Jeżeli o tym pomyślicie, to wydaje się to bardzo skomplikowane

i mam mieszane uczucia co do tego w jakim momencie jest to wprowadzane

w większości programów analizy.

To jest wprowadzone w mniej więcej, no wiecie, na trzy tygodnie zanim

nawet nauczycie się pochodnych, jest to jedna z tych bardzo "matematycznych"

i ścisłych rzeczy do pomyślenia i wiecie co? to często

zniechęca wielu adeptów. Sądzę, że wiele ludzi

nie posiada intuicyjnego zrozumienie tej definicji. ale to jest

matematycznie precyzyjne..

Myślę że to jest bardzo ważne, gdy uczycie się

bardziej zaawansowanego rachunku różniczkowego, lub stajecie się matematykiem z zawodu.

Powiedziawszy to, trzeba przyznać że intuicyjnie ma to

sporo sensu, nieprawdaż?

Ponieważ zanim o tym mówiliśmy, popatrzcie, mogę sprawić,

że znajdziecie się tak blisko gdy x daży do tej wartości

f(x) będzie dążyć do tej wartości.

Sposób w jaki określamy to matematycznie: mówicie ; "Sal,

Chcę być bardzo blisko.

Chcę by odległość od f(x) była niewielka.

Chcę żeby było to 0,000000000001, wtedy mogę zawsze

znaleźć wam przedział wokół x, gdzie to będzie prawdą.

Właśnie przekroczyłem czas tego nagrania.

W następnym nagraniu pokażę przykłady, w których udowodnie

granicie, w których udowodnię istnienie niektórych granic przy użyciu

tej definicji.

I oby, no wiecie, kiedy użyjemy jakichś namacalnych wartości,

ta definicja nabierze trochę więcej sensu.

Do zobaczenia w następnym wideo.