1
00:00:00,900 --> 00:00:02,810
Wymyślmy sobie jakąś funkcję, abyśmy mogli

2
00:00:02,810 --> 00:00:04,490
wyznaczyć jej granicę.

3
00:00:04,490 --> 00:00:06,880
Na razie po prostu narysuję wykres funkcji,

4
00:00:06,880 --> 00:00:08,390
wzory i obliczenia zostawmy sobie na później.

5
00:00:08,390 --> 00:00:11,870
Tu jest oś y, a tu oś x.

6
00:00:11,870 --> 00:00:14,180
Funkcja będzie wyglądać powiedzmy tak...

7
00:00:14,180 --> 00:00:15,950
Narysujmy nieskomplikowaną funkcję -

8
00:00:15,950 --> 00:00:19,760
niech będzie to prosta linia, przynajmniej w głównej mierze.

9
00:00:19,760 --> 00:00:23,100
Niech wygląda to tak -

10
00:00:23,100 --> 00:00:27,080
linia z dziurą w pewnym miejscu x = a

11
00:00:27,080 --> 00:00:28,690
tzn. funkcja jest tu niezdefiniowana.

12
00:00:28,690 --> 00:00:32,030
Wymażę ten punkt, abyście widzieli, że w tym miejscu

13
00:00:32,030 --> 00:00:33,110
funkcja nie jest zdefiniowana.

14
00:00:33,110 --> 00:00:38,780
Ten punkt to x = a.

15
00:00:38,780 --> 00:00:45,180
To jest oś x, a to jest oś y = f(x).

16
00:00:45,180 --> 00:00:47,120
Niech po prostu zostanie oś y,

17
00:00:47,120 --> 00:00:51,030
a to będzie f(x), to znaczy

18
00:00:51,030 --> 00:00:53,880
y równa się f od x.

19
00:00:53,880 --> 00:00:55,740
Było już kilka filmów o granicach i myślę,

20
00:00:55,740 --> 00:00:57,160
że macie intuicję w tym temacie.

21
00:00:57,160 --> 00:00:59,850
Gdybyśmy mieli znaleźć granicę, gdy x dąży do a,

22
00:00:59,850 --> 00:01:04,020
i powiedzmy, że ten punkt jest równy l.

23
00:01:04,020 --> 00:01:06,480
Wiemy z poprzednich filmów, że...

24
00:01:06,480 --> 00:01:10,940
może najpierw zapiszę - granica przy x dążącym do a

25
00:01:10,940 --> 00:01:13,690
z f od x.

26
00:01:13,690 --> 00:01:17,560
Intuicyjnie oznacza to, że gdy zbliżamy się do a

27
00:01:17,560 --> 00:01:20,980
z którejś strony - na przykład z tej, to pytamy

28
00:01:20,980 --> 00:01:22,290
do czego zbliża się f(x) ?

29
00:01:22,290 --> 00:01:27,030
Więc gdy x jest tutaj, to f(x) jest tutaj.

30
00:01:27,030 --> 00:01:29,490
Jak x jest tutaj, to f(x) jest tu.

31
00:01:29,490 --> 00:01:33,080
I widzimy, że zbliżamy się do tego l właśnie tutaj.

32
00:01:35,950 --> 00:01:40,320
I gdy zbliżamy się do a z tej strony - szukaliśmy już granic,

33
00:01:40,320 --> 00:01:42,200
gdy x dąży do pewnego miejsca tylko z lewej lub z prawej strony,

34
00:01:42,200 --> 00:01:44,750
lecz aby istniała granica, musimy dostać z obu stron to samo.

35
00:01:44,750 --> 00:01:48,670
zarówno z prawej jak i z lewej - więc

36
00:01:48,670 --> 00:01:52,380
idąc z tej strony, dla tego x, tu jest f(x).

37
00:01:52,380 --> 00:01:54,440
f od x jest tutaj.

38
00:01:54,440 --> 00:01:57,460
Gdy x jest tutaj, to f(x) jest tutaj - i idąc coraz bliżej do a

39
00:01:57,460 --> 00:02:03,860
widzimy, że f(x) dąży do tego punktu l, tzn. do wartości l.

40
00:02:03,860 --> 00:02:06,600
Mówimy więc, że granica f(x) przy x dążącym do a

41
00:02:06,600 --> 00:02:07,960
wynosi l.

42
00:02:07,960 --> 00:02:09,640
Myślę, że to czujecie.

43
00:02:09,640 --> 00:02:13,360
Jednak nie było to zbyt formalne, właściwie wcale,

44
00:02:13,360 --> 00:02:15,480
jeżeli chodzi o precyzyjne sformułowanie tego, czym

45
00:02:15,480 --> 00:02:16,290
jest granica.

46
00:02:16,290 --> 00:02:19,340
Jedyne co na razie powiedziałem to: kiedy x się zbliża,

47
00:02:19,340 --> 00:02:21,440
to do czego zbliża się f(x) ?

48
00:02:21,440 --> 00:02:27,360
Więc... w tym filmie postaram się wyjaśnić wam definicję granicy, trzymając się ściśle matematycznych zasad,

49
00:02:27,360 --> 00:02:29,360
w dużo bardziej precyzyjny sposób

50
00:02:29,360 --> 00:02:32,180
niż mówiąc: wiesz... jak x zbliża się

51
00:02:32,180 --> 00:02:36,990
do tej wartości, to do czego dąży f od x?

52
00:02:36,990 --> 00:02:39,290
Sposób, w jaki myślę o tym, to jest... jakby taka gra.

53
00:02:39,290 --> 00:02:48,640
Definicja mówi, że: to, co tu jest napisane, to właśnie wyrażenie, oznacza, że

54
00:02:48,640 --> 00:02:55,150
zawsze możemy wybrać taki przedział wokół tego punktu, zawsze możemy wybrać taki zakres, że...

55
00:02:55,150 --> 00:02:57,190
i nie chodzi tu o jakikolwiek zakres w ogólności,

56
00:02:57,190 --> 00:03:00,960
tylko o zakres w tym sensie, że...

57
00:03:00,960 --> 00:03:05,980
możemy ustalić taką odległość, że dopóki x jest odległy od a

58
00:03:05,980 --> 00:03:12,360
o nie więcej niż o tę odległość, to z całą pewnością f(x)

59
00:03:12,360 --> 00:03:16,160
nie będzie dalej od l niż o pewną ustaloną odległość.

60
00:03:16,160 --> 00:03:18,030
Możemy to sobie wyobrazić jako

61
00:03:18,030 --> 00:03:18,490
taką małą zabawę.

62
00:03:18,490 --> 00:03:21,840
Powiedzmy, że ty mówisz: OK Sal, nie wierzę ci.

63
00:03:21,840 --> 00:03:29,900
Chcę zobaczyć, czy f(x) może być w zakresie 0.5 od l.

64
00:03:29,900 --> 00:03:37,460
Więc ty dajesz mi na przykład 0.5 i mówisz: Sal, poprzez tę definicję powinieneś zawsze

65
00:03:37,460 --> 00:03:39,760
być w stanie dać mi na osi x taki przedział

66
00:03:39,760 --> 00:03:46,330
wokół a, że w tym przedziale f(x) będzie odległe od l o nie więcej niż 0.5, zgoda?

67
00:03:46,330 --> 00:03:49,980
Czyli wartości funkcji f w tych x-ach będą zawsze w tym zakresie,

68
00:03:49,980 --> 00:03:51,160
właśnie tutaj.

69
00:03:51,160 --> 00:03:54,300
I dopóki jestem w tym przedziale wokół a, dopóki jestem

70
00:03:54,300 --> 00:03:57,890
w tym zakresie, który mi dałeś, f(x) zawsze będzie

71
00:03:57,890 --> 00:04:00,030
wystarczająco blisko naszej granicy.

72
00:04:02,820 --> 00:04:07,830
Może narysuję to jeszcze raz - trochę większe, bo...

73
00:04:07,830 --> 00:04:10,870
cały czas rysowałem w kółko ten sam wykres w jednym miejscu.

74
00:04:10,870 --> 00:04:16,770
Niech to będzie nasz wykres f(x), a to będzie nasza dziura.

75
00:04:16,770 --> 00:04:19,340
Chociaż właściwie nie musi tu być dziury. Granica mogłaby być równa

76
00:04:19,340 --> 00:04:21,020
wartości funkcji w punkcie a, ale tak jest dużo

77
00:04:21,020 --> 00:04:22,560
ciekawiej, bo funkcja nie jest zdefiniowana,

78
00:04:22,560 --> 00:04:23,910
a granica tak.

79
00:04:23,910 --> 00:04:28,770
Więc mamy nasz punkt tutaj. Pozwólcie, że narysuję osie ponownie.

80
00:04:31,530 --> 00:04:44,010
Mamy oś OX, oś OY i naszą granicę I

81
00:04:44,010 --> 00:04:47,310
oraz punkt a

82
00:04:47,310 --> 00:04:49,630
Jeżeli więc chodzi o definicję granicy to za chwilę do niej wrócę

83
00:04:49,630 --> 00:04:52,690
ponieważ skoro mamy większy rysunek, chciałbym jeszcze raz to wytłumaczyć

84
00:04:52,690 --> 00:04:58,090
to o co chodzi to - i to jest epsilonowo-deltowa definicja granicy funkcji,

85
00:04:58,090 --> 00:05:01,260
ale o epsilonie i delcie powiemy sobie za chwilę -

86
00:05:01,260 --> 00:05:05,790
że mogę zagwarantować wam, że funkcja f(x),

87
00:05:05,790 --> 00:05:08,860
jakiejkolwiek odległości od L nie wybierzecie

88
00:05:08,860 --> 00:05:10,450
właściwie oznaczmy tę odległość przez epsilon

89
00:05:10,450 --> 00:05:12,590
przejdźmy do definicji od razu

90
00:05:12,590 --> 00:05:13,050
prosto z marszu

91
00:05:13,050 --> 00:05:17,090
więc wy mówicie, że chcecie być nie dalej niż epsilon od L

92
00:05:17,090 --> 00:05:19,510
Gdzie epsilon może być dowolną liczbą rzeczywistą

93
00:05:19,510 --> 00:05:20,960
większą od zera

94
00:05:20,960 --> 00:05:24,320
więc byłby to ten dystans, o tu, ta odległość to epsilon

95
00:05:24,320 --> 00:05:27,810
i ten odcinek też ma długość epsilon

96
00:05:27,810 --> 00:05:30,480
i dla każdego epsilona, który mi wybierzecie, dowolnej rzeczywistej liczby (większej od 0, przyp. tłumacza)

97
00:05:30,480 --> 00:05:36,810
to będzie L plus epsilon o tutaj, a to będzie

98
00:05:36,810 --> 00:05:43,030
L minus epsilon tutaj. Epsilonowo-deltowa definicja

99
00:05:43,030 --> 00:05:48,030
mówi nam, że jakikolwiek epsilon mi podacie, Ja

100
00:05:48,030 --> 00:05:51,650
mogę zawsze określić odległość wokół a

101
00:05:51,650 --> 00:05:54,000
Nazwijmy ją deltą.

102
00:05:54,000 --> 00:05:57,710
Mogę zawsze określić odległość wokół a

103
00:05:57,710 --> 00:06:02,320
Powiedzmy że to będzie a minus delta, a to

104
00:06:02,320 --> 00:06:04,440
a plus delta.

105
00:06:04,440 --> 00:06:05,365
To jest litera - delta.

106
00:06:09,970 --> 00:06:15,680
i dla każdego x jaki wybierzecie pomiędzy a plus delta

107
00:06:15,680 --> 00:06:19,440
i a minus delta, tak długo jak x jest w tym przedziale, mogę wam zagwarantować,

108
00:06:19,440 --> 00:06:23,160
że f(x), wartość funkcji dla naszego x będzie

109
00:06:23,160 --> 00:06:24,350
w wybranym przez was przedziale (pomiędzy L minus epsilon i L plus epsilon)

110
00:06:24,350 --> 00:06:26,060
Jeżeli się nad tym zastanowicie to brzmi to rozsądnie, nieprawdaż?

111
00:06:26,060 --> 00:06:29,630
Mówi nam to po prostu, że możemy znaleźć się tak blisko jak chcemy

112
00:06:29,630 --> 00:06:32,980
naszej granicy poprzez , mówiąc taj blisko jak chcemymam na myśli, że

113
00:06:32,980 --> 00:06:36,430
możecie określić to podając mi dowolny epsilon,

114
00:06:36,430 --> 00:06:38,940
to jest taka jakby gra, mogę sprawić że znajdziecie się tak blisko

115
00:06:38,940 --> 00:06:43,000
jak chcecie wartości granicy poprzez podanie wam przedziału wokół punktu,

116
00:06:43,000 --> 00:06:44,680
do którego zmierza x.

117
00:06:44,680 --> 00:06:49,420
Tak długo jak będziecie wybierali wartość x, która znajduje się w tym przedziale

118
00:06:49,420 --> 00:06:52,570
tak długo jak będziecie wybierali x właśnie stamtąd

119
00:06:52,570 --> 00:06:55,440
Mogę zapewnić was, że f(x) będzie w zakresie,

120
00:06:55,440 --> 00:06:57,290
który określiliście

121
00:06:57,290 --> 00:07:01,270
Aby uczynić to trochę bardziej konkretnym, powiedzmy,

122
00:07:01,270 --> 00:07:04,490
że mówicie: "chcę by f(x) było nie dalej niż 0,5 - niech, no wiecie

123
00:07:04,490 --> 00:07:05,380
operujmy w konkretnych wartościach.

124
00:07:05,380 --> 00:07:11,750
powiedzmy, że tu jest liczba 2, a tu jest 1.

125
00:07:11,750 --> 00:07:16,575
Mówimy, że granica, przy x zmierzającym do 1, f(x) -

126
00:07:16,575 --> 00:07:18,880
nie zdefiniowałem f(x), ale jej wykres wygląda jak linia z dziurą

127
00:07:18,880 --> 00:07:21,480
w tym miejscu - wynosi 2.

128
00:07:21,480 --> 00:07:23,820
Oznacza to, że możecie podać mi dowolną liczbę.

129
00:07:23,820 --> 00:07:27,380
Załóżmy, że chcecie sprawdzić to na paru przykładach.

130
00:07:27,380 --> 00:07:30,220
Powiedzmy, że mówicie: "chcę by wartość f(x) była nie dalej niż -

131
00:07:30,220 --> 00:07:35,680
pozwólcie, żę wezmę inny kolor - nie dalej niż 0,5 od 2.

132
00:07:35,680 --> 00:07:39,970
Chcę by f(x) było pomiędzy 2,5 a 1,5.

133
00:07:39,970 --> 00:07:45,650
Wtedy mógłbym powiedzieć: "w porządalu, tak długo jak wybierzecie x pomiędzy -

134
00:07:45,650 --> 00:07:48,190
no nie wiem, to może być w sumie dowolnie blisko, ale tak długo

135
00:07:48,190 --> 00:07:50,920
jak wybierzecie x, który jest - powiedzmy, że to działa dla tej funkcji -

136
00:07:50,920 --> 00:07:57,790
który jest pomiędzy, no nie wiem , 0,9 i 1,1.

137
00:07:57,790 --> 00:08:02,980
Więc w tym wypadku delta dla naszej granicy wynosi zaledwie 0,1.

138
00:08:02,980 --> 00:08:09,320
tak długo jak wybierzecie x, oddalony o nie więcej niż 0,1 od 1,

139
00:08:09,320 --> 00:08:13,640
mogę zapewnić was, że wasze f(x) będzie

140
00:08:13,640 --> 00:08:15,740
leżało w tym zakresie.

141
00:08:15,740 --> 00:08:17,220
Mam nadzieję, że rozumiecie już trochę jak to działa.

142
00:08:17,220 --> 00:08:19,750
Pozwólcie mi zdefiniować to za pomocą epsilona i delty, to

143
00:08:19,750 --> 00:08:22,580
jest właśnie to, co możecie ujrzeć w waszych podręcznikach matematyki,

144
00:08:22,580 --> 00:08:24,110
potem przejdziemy do kilku przykładów,

145
00:08:24,110 --> 00:08:26,730
Aby mieć jasność, to był tylko konkretny przykład.

146
00:08:26,730 --> 00:08:29,870
Wybraliście jeden epsilon, a ja znalazłem dla was deltę, która działała.

147
00:08:29,870 --> 00:08:36,270
Ale z definicji, jeżeli to jest prawdziwe lub jeżeli ktoś napisze coś takiego,

148
00:08:36,270 --> 00:08:40,290
to ma na myśli, że to działa nie tylko dla jednego, konkretnego przypadku,

149
00:08:40,290 --> 00:08:42,900
to działa dla dowolnej liczby jaką wybierzecie.

150
00:08:42,900 --> 00:08:48,800
Moglibyście powiedzieć: "Chcę, być jedną milionową od..., lub

151
00:08:48,800 --> 00:08:52,180
10 do potęgi -(2^100), wiecie,

152
00:08:52,180 --> 00:08:55,590
ekstremalnie blisko dwójki, a ja i tak zawsze mogę znaleźć wam przedział

153
00:08:55,590 --> 00:09:00,270
wokół tego punktu i tak długo jak wybierzecie x z tego przedziału

154
00:09:00,270 --> 00:09:03,540
zawsze będziecie w zakresie, który określiliście, nawet

155
00:09:03,540 --> 00:09:08,240
jeśli byłoby to, wiecie, jedna trylionowa jednostki od

156
00:09:08,240 --> 00:09:09,470
granicy.

157
00:09:09,470 --> 00:09:11,270
Jedyne o czym nie mogę was zapewnić, to to,

158
00:09:11,270 --> 00:09:12,760
co dzieje się, gdy x jest równy a.

159
00:09:12,760 --> 00:09:15,580
Mówię po prostu, że tak długo, jak wybierzecie x, który leży

160
00:09:15,580 --> 00:09:17,950
w podanym przeze mnie przedziale, ale nie jest równy a, to będzie on działał.

161
00:09:17,950 --> 00:09:21,720
Wasze f(x) pokaże się w takiej odległości, jaką wybraliście.

162
00:09:21,720 --> 00:09:23,680
Żeby uczynić tę matematykę przejrzystą - ponieważ do tej pory

163
00:09:23,680 --> 00:09:26,250
mówiłem jedynie własnymi słowami - a to jest to co widzimy w podręcznikach.

164
00:09:26,250 --> 00:09:33,460
A mówi nam to: "Podajcie mi dowolny epsilon

165
00:09:33,460 --> 00:09:35,810
większy od 0.

166
00:09:35,810 --> 00:09:37,390
W końcu to jest definicja, nieprawdaż?

167
00:09:37,390 --> 00:09:41,730
Jeżeli ktoś pisze coś takiego, ma na myśli, że możecie wybrać

168
00:09:41,730 --> 00:09:52,800
dowolny epsilon większy od 0, a on poda ci deltę -

169
00:09:52,800 --> 00:09:56,590
pamiętaj, epsilon określa

170
00:09:56,590 --> 00:09:57,760
jak blisko naszej granicy ma być f(x), nieprawdaż?

171
00:09:57,760 --> 00:10:00,530
To jest otoczenie wokół f(x) - On poda Ci deltę,

172
00:10:00,530 --> 00:10:04,860
która określa przedział wokół a, nieprawdaż?

173
00:10:04,860 --> 00:10:05,520
Pozwólcie, że to zapiszę.

174
00:10:05,520 --> 00:10:11,830
Więc granica, przy x zmierzającym do a, funkcji f(x) jest równa L.

175
00:10:11,830 --> 00:10:15,210
Więc oni znajdą ci taką deltę, że dla x leżących nie dalej

176
00:10:15,210 --> 00:10:23,025
niż delta od - tak że odległość pomiędzy x i a, jeśli wybierzemy x tutaj -

177
00:10:23,025 --> 00:10:27,950
pozwólcie mi wziać inny kolor - jeśli wybierzemy x tutaj,

178
00:10:27,950 --> 00:10:31,340
odległość pomiędzy tą wartością i a, tak długo jak jest

179
00:10:31,340 --> 00:10:34,840
większy od 0, tak by x nie pokrył się z a,

180
00:10:34,840 --> 00:10:37,980
ponieważ funkcja może nie być zdefiniowana w tym punkcie.

181
00:10:37,980 --> 00:10:40,750
Ale tak długo jak odległość pomiędzy x i a jest większa

182
00:10:40,750 --> 00:10:45,400
niż 0, ale mniejsza niż ten zakres dla x, który ci podali.

183
00:10:45,400 --> 00:10:46,450
To znaczy mniejsza niż delta.

184
00:10:46,450 --> 00:10:49,930
Więc tak długo jak bierzecie x, wiecie, jeślibym miał powiększyć

185
00:10:49,930 --> 00:10:55,680
oś OX w tym miejscu - to jest a, a ta odległość

186
00:10:55,680 --> 00:10:59,240
byłaby deltą, oraz ta odległość byłaby deltą -

187
00:10:59,240 --> 00:11:03,920
tak długo jak wybierzecie wartość x która wpada w ten przedział,

188
00:11:03,920 --> 00:11:07,520
tak długo jak wybierzecie ten punk lub ten punkt -

189
00:11:07,520 --> 00:11:10,560
tak długo jak wybierzecie jedną z tych wartości dla x, mogę was zapewnić,

190
00:11:10,560 --> 00:11:17,010
że odległość pomiędzy wartośćią funkcji a wartością granicy,

191
00:11:17,010 --> 00:11:19,670
odległość pomiędzy, no wiecie, kiedy bierzecie jeden z tych

192
00:11:19,670 --> 00:11:23,460
wartości x i obliczacie f(x) dla tej wartości,

193
00:11:23,460 --> 00:11:27,170
odległość pomiędzy f(x) i granicą

194
00:11:27,170 --> 00:11:31,560
będzie mniejsza niż liczba, którą im podaliście.

195
00:11:31,560 --> 00:11:36,470
Jeżeli o tym pomyślicie, to wydaje się to bardzo skomplikowane

196
00:11:36,470 --> 00:11:38,690
i mam mieszane uczucia co do tego w jakim momencie jest to wprowadzane

197
00:11:38,690 --> 00:11:39,640
w większości programów analizy.

198
00:11:39,640 --> 00:11:42,345
To jest wprowadzone w mniej więcej, no wiecie, na trzy tygodnie zanim

199
00:11:42,345 --> 00:11:44,670
nawet nauczycie się pochodnych, jest to jedna z tych bardzo "matematycznych"

200
00:11:44,670 --> 00:11:47,560
i ścisłych rzeczy do pomyślenia i wiecie co? to często

201
00:11:47,560 --> 00:11:49,720
zniechęca wielu adeptów. Sądzę, że wiele ludzi

202
00:11:49,720 --> 00:11:53,010
nie posiada intuicyjnego zrozumienie tej definicji. ale to jest

203
00:11:53,010 --> 00:11:54,050
matematycznie precyzyjne..

204
00:11:54,050 --> 00:11:56,910
Myślę że to jest bardzo ważne, gdy uczycie się

205
00:11:56,910 --> 00:11:58,910
bardziej zaawansowanego rachunku różniczkowego, lub stajecie się matematykiem z zawodu.

206
00:11:58,910 --> 00:12:01,330
Powiedziawszy to, trzeba przyznać że intuicyjnie ma to

207
00:12:01,330 --> 00:12:02,160
sporo sensu, nieprawdaż?

208
00:12:02,160 --> 00:12:05,550
Ponieważ zanim o tym mówiliśmy, popatrzcie, mogę sprawić,

209
00:12:05,550 --> 00:12:12,945
że znajdziecie się tak blisko gdy x daży do tej wartości

210
00:12:12,945 --> 00:12:13,960
f(x) będzie dążyć do tej wartości.

211
00:12:13,960 --> 00:12:17,620
Sposób w jaki określamy to matematycznie: mówicie ; "Sal,

212
00:12:17,620 --> 00:12:19,970
Chcę być bardzo blisko.

213
00:12:19,970 --> 00:12:22,180
Chcę by odległość od f(x) była niewielka.

214
00:12:22,180 --> 00:12:25,640
Chcę żeby było to 0,000000000001, wtedy mogę zawsze

215
00:12:25,640 --> 00:12:29,540
znaleźć wam przedział wokół x, gdzie to będzie prawdą.

216
00:12:29,540 --> 00:12:31,320
Właśnie przekroczyłem czas tego nagrania.

217
00:12:31,320 --> 00:12:34,260
W następnym nagraniu pokażę przykłady, w których udowodnie

218
00:12:34,260 --> 00:12:38,120
granicie, w których udowodnię istnienie niektórych granic przy użyciu

219
00:12:38,120 --> 00:12:39,330
tej definicji.

220
00:12:39,330 --> 00:12:43,370
I oby, no wiecie, kiedy użyjemy jakichś namacalnych wartości,

221
00:12:43,370 --> 00:12:45,440
ta definicja nabierze trochę więcej sensu.

222
00:12:45,440 --> 00:12:47,270
Do zobaczenia w następnym wideo.