0:00:00.900,0:00:02.810
Wymyślmy sobie jakąś funkcję, abyśmy mogli

0:00:02.810,0:00:04.490
wyznaczyć jej granicę.

0:00:04.490,0:00:06.880
Na razie po prostu narysuję wykres funkcji,

0:00:06.880,0:00:08.390
wzory i obliczenia zostawmy sobie na później.

0:00:08.390,0:00:11.870
Tu jest oś y, a tu oś x.

0:00:11.870,0:00:14.180
Funkcja będzie wyglądać powiedzmy tak...

0:00:14.180,0:00:15.950
Narysujmy nieskomplikowaną funkcję -

0:00:15.950,0:00:19.760
niech będzie to prosta linia, przynajmniej w głównej mierze.

0:00:19.760,0:00:23.100
Niech wygląda to tak -

0:00:23.100,0:00:27.080
linia z dziurą w pewnym miejscu x = a

0:00:27.080,0:00:28.690
tzn. funkcja jest tu niezdefiniowana.

0:00:28.690,0:00:32.030
Wymażę ten punkt, abyście widzieli, że w tym miejscu

0:00:32.030,0:00:33.110
funkcja nie jest zdefiniowana.

0:00:33.110,0:00:38.780
Ten punkt to x = a.

0:00:38.780,0:00:45.180
To jest oś x, a to jest oś y = f(x).

0:00:45.180,0:00:47.120
Niech po prostu zostanie oś y,

0:00:47.120,0:00:51.030
a to będzie f(x), to znaczy

0:00:51.030,0:00:53.880
y równa się f od x.

0:00:53.880,0:00:55.740
Było już kilka filmów o granicach i myślę,

0:00:55.740,0:00:57.160
że macie intuicję w tym temacie.

0:00:57.160,0:00:59.850
Gdybyśmy mieli znaleźć granicę, gdy x dąży do a,

0:00:59.850,0:01:04.020
i powiedzmy, że ten punkt jest równy l.

0:01:04.020,0:01:06.480
Wiemy z poprzednich filmów, że...

0:01:06.480,0:01:10.940
może najpierw zapiszę - granica przy x dążącym do a

0:01:10.940,0:01:13.690
z f od x.

0:01:13.690,0:01:17.560
Intuicyjnie oznacza to, że gdy zbliżamy się do a

0:01:17.560,0:01:20.980
z którejś strony - na przykład z tej, to pytamy

0:01:20.980,0:01:22.290
do czego zbliża się f(x) ?

0:01:22.290,0:01:27.030
Więc gdy x jest tutaj, to f(x) jest tutaj.

0:01:27.030,0:01:29.490
Jak x jest tutaj, to f(x) jest tu.

0:01:29.490,0:01:33.080
I widzimy, że zbliżamy się do tego l właśnie tutaj.

0:01:35.950,0:01:40.320
I gdy zbliżamy się do a z tej strony - szukaliśmy już granic,

0:01:40.320,0:01:42.200
gdy x dąży do pewnego miejsca tylko z lewej lub z prawej strony,

0:01:42.200,0:01:44.750
lecz aby istniała granica, musimy dostać z obu stron to samo.

0:01:44.750,0:01:48.670
zarówno z prawej jak i z lewej - więc

0:01:48.670,0:01:52.380
idąc z tej strony, dla tego x, tu jest f(x).

0:01:52.380,0:01:54.440
f od x jest tutaj.

0:01:54.440,0:01:57.460
Gdy x jest tutaj, to f(x) jest tutaj - i idąc coraz bliżej do a

0:01:57.460,0:02:03.860
widzimy, że f(x) dąży do tego punktu l, tzn. do wartości l.

0:02:03.860,0:02:06.600
Mówimy więc, że granica f(x) przy x dążącym do a

0:02:06.600,0:02:07.960
wynosi l.

0:02:07.960,0:02:09.640
Myślę, że to czujecie.

0:02:09.640,0:02:13.360
Jednak nie było to zbyt formalne, właściwie wcale,

0:02:13.360,0:02:15.480
jeżeli chodzi o precyzyjne sformułowanie tego, czym

0:02:15.480,0:02:16.290
jest granica.

0:02:16.290,0:02:19.340
Jedyne co na razie powiedziałem to: kiedy x się zbliża,

0:02:19.340,0:02:21.440
to do czego zbliża się f(x) ?

0:02:21.440,0:02:27.360
Więc... w tym filmie postaram się wyjaśnić wam definicję granicy, trzymając się ściśle matematycznych zasad,

0:02:27.360,0:02:29.360
w dużo bardziej precyzyjny sposób

0:02:29.360,0:02:32.180
niż mówiąc: wiesz... jak x zbliża się

0:02:32.180,0:02:36.990
do tej wartości, to do czego dąży f od x?

0:02:36.990,0:02:39.290
Sposób, w jaki myślę o tym, to jest... jakby taka gra.

0:02:39.290,0:02:48.640
Definicja mówi, że: to, co tu jest napisane, to właśnie wyrażenie, oznacza, że

0:02:48.640,0:02:55.150
zawsze możemy wybrać taki przedział wokół tego punktu, zawsze możemy wybrać taki zakres, że...

0:02:55.150,0:02:57.190
i nie chodzi tu o jakikolwiek zakres w ogólności,

0:02:57.190,0:03:00.960
tylko o zakres w tym sensie, że...

0:03:00.960,0:03:05.980
możemy ustalić taką odległość, że dopóki x jest odległy od a

0:03:05.980,0:03:12.360
o nie więcej niż o tę odległość, to z całą pewnością f(x)

0:03:12.360,0:03:16.160
nie będzie dalej od l niż o pewną ustaloną odległość.

0:03:16.160,0:03:18.030
Możemy to sobie wyobrazić jako

0:03:18.030,0:03:18.490
taką małą zabawę.

0:03:18.490,0:03:21.840
Powiedzmy, że ty mówisz: OK Sal, nie wierzę ci.

0:03:21.840,0:03:29.900
Chcę zobaczyć, czy f(x) może być w zakresie 0.5 od l.

0:03:29.900,0:03:37.460
Więc ty dajesz mi na przykład 0.5 i mówisz: Sal, poprzez tę definicję powinieneś zawsze

0:03:37.460,0:03:39.760
być w stanie dać mi na osi x taki przedział

0:03:39.760,0:03:46.330
wokół a, że w tym przedziale f(x) będzie odległe od l o nie więcej niż 0.5, zgoda?

0:03:46.330,0:03:49.980
Czyli wartości funkcji f w tych x-ach będą zawsze w tym zakresie,

0:03:49.980,0:03:51.160
właśnie tutaj.

0:03:51.160,0:03:54.300
I dopóki jestem w tym przedziale wokół a, dopóki jestem

0:03:54.300,0:03:57.890
w tym zakresie, który mi dałeś, f(x) zawsze będzie

0:03:57.890,0:04:00.030
wystarczająco blisko naszej granicy.

0:04:02.820,0:04:07.830
Może narysuję to jeszcze raz - trochę większe, bo...

0:04:07.830,0:04:10.870
cały czas rysowałem w kółko ten sam wykres w jednym miejscu.

0:04:10.870,0:04:16.770
Niech to będzie nasz wykres f(x), a to będzie nasza dziura.

0:04:16.770,0:04:19.340
Chociaż właściwie nie musi tu być dziury. Granica mogłaby być równa

0:04:19.340,0:04:21.020
wartości funkcji w punkcie a, ale tak jest dużo

0:04:21.020,0:04:22.560
ciekawiej, bo funkcja nie jest zdefiniowana,

0:04:22.560,0:04:23.910
a granica tak.

0:04:23.910,0:04:28.770
Więc mamy nasz punkt tutaj. Pozwólcie, że narysuję osie ponownie.

0:04:31.530,0:04:44.010
Mamy oś OX, oś OY i naszą granicę I

0:04:44.010,0:04:47.310
oraz punkt a

0:04:47.310,0:04:49.630
Jeżeli więc chodzi o definicję granicy to za chwilę do niej wrócę

0:04:49.630,0:04:52.690
ponieważ skoro mamy większy rysunek, chciałbym jeszcze raz to wytłumaczyć

0:04:52.690,0:04:58.090
to o co chodzi to - i to jest epsilonowo-deltowa definicja granicy funkcji,

0:04:58.090,0:05:01.260
ale o epsilonie i delcie powiemy sobie za chwilę -

0:05:01.260,0:05:05.790
że mogę zagwarantować wam, że funkcja f(x),

0:05:05.790,0:05:08.860
jakiejkolwiek odległości od L nie wybierzecie

0:05:08.860,0:05:10.450
właściwie oznaczmy tę odległość przez epsilon

0:05:10.450,0:05:12.590
przejdźmy do definicji od razu

0:05:12.590,0:05:13.050
prosto z marszu

0:05:13.050,0:05:17.090
więc wy mówicie, że chcecie być nie dalej niż epsilon od L

0:05:17.090,0:05:19.510
Gdzie epsilon może być dowolną liczbą rzeczywistą

0:05:19.510,0:05:20.960
większą od zera

0:05:20.960,0:05:24.320
więc byłby to ten dystans, o tu, ta odległość to epsilon

0:05:24.320,0:05:27.810
i ten odcinek też ma długość epsilon

0:05:27.810,0:05:30.480
i dla każdego epsilona, który mi wybierzecie, dowolnej rzeczywistej liczby (większej od 0, przyp. tłumacza)

0:05:30.480,0:05:36.810
to będzie L plus epsilon o tutaj, a to będzie

0:05:36.810,0:05:43.030
L minus epsilon tutaj. Epsilonowo-deltowa definicja

0:05:43.030,0:05:48.030
mówi nam, że jakikolwiek epsilon mi podacie, Ja

0:05:48.030,0:05:51.650
mogę zawsze określić odległość wokół a

0:05:51.650,0:05:54.000
Nazwijmy ją deltą.

0:05:54.000,0:05:57.710
Mogę zawsze określić odległość wokół a

0:05:57.710,0:06:02.320
Powiedzmy że to będzie a minus delta, a to

0:06:02.320,0:06:04.440
a plus delta.

0:06:04.440,0:06:05.365
To jest litera - delta.

0:06:09.970,0:06:15.680
i dla każdego x jaki wybierzecie pomiędzy a plus delta

0:06:15.680,0:06:19.440
i a minus delta, tak długo jak x jest w tym przedziale, mogę wam zagwarantować,

0:06:19.440,0:06:23.160
że f(x), wartość funkcji dla naszego x będzie

0:06:23.160,0:06:24.350
w wybranym przez was przedziale (pomiędzy L minus epsilon i L plus epsilon)

0:06:24.350,0:06:26.060
Jeżeli się nad tym zastanowicie to brzmi to rozsądnie, nieprawdaż?

0:06:26.060,0:06:29.630
Mówi nam to po prostu, że możemy znaleźć się tak blisko jak chcemy

0:06:29.630,0:06:32.980
naszej granicy poprzez , mówiąc taj blisko jak chcemymam na myśli, że

0:06:32.980,0:06:36.430
możecie określić to podając mi dowolny epsilon,

0:06:36.430,0:06:38.940
to jest taka jakby gra, mogę sprawić że znajdziecie się tak blisko

0:06:38.940,0:06:43.000
jak chcecie wartości granicy poprzez podanie wam przedziału wokół punktu,

0:06:43.000,0:06:44.680
do którego zmierza x.

0:06:44.680,0:06:49.420
Tak długo jak będziecie wybierali wartość x, która znajduje się w tym przedziale

0:06:49.420,0:06:52.570
tak długo jak będziecie wybierali x właśnie stamtąd

0:06:52.570,0:06:55.440
Mogę zapewnić was, że f(x) będzie w zakresie,

0:06:55.440,0:06:57.290
który określiliście

0:06:57.290,0:07:01.270
Aby uczynić to trochę bardziej konkretnym, powiedzmy,

0:07:01.270,0:07:04.490
że mówicie: "chcę by f(x) było nie dalej niż 0,5 - niech, no wiecie

0:07:04.490,0:07:05.380
operujmy w konkretnych wartościach.

0:07:05.380,0:07:11.750
powiedzmy, że tu jest liczba 2, a tu jest 1.

0:07:11.750,0:07:16.575
Mówimy, że granica, przy x zmierzającym do 1, f(x) -

0:07:16.575,0:07:18.880
nie zdefiniowałem f(x), ale jej wykres wygląda jak linia z dziurą

0:07:18.880,0:07:21.480
w tym miejscu - wynosi 2.

0:07:21.480,0:07:23.820
Oznacza to, że możecie podać mi dowolną liczbę.

0:07:23.820,0:07:27.380
Załóżmy, że chcecie sprawdzić to na paru przykładach.

0:07:27.380,0:07:30.220
Powiedzmy, że mówicie: "chcę by wartość f(x) była nie dalej niż -

0:07:30.220,0:07:35.680
pozwólcie, żę wezmę inny kolor - nie dalej niż 0,5 od 2.

0:07:35.680,0:07:39.970
Chcę by f(x) było pomiędzy 2,5 a 1,5.

0:07:39.970,0:07:45.650
Wtedy mógłbym powiedzieć: "w porządalu, tak długo jak wybierzecie x pomiędzy -

0:07:45.650,0:07:48.190
no nie wiem, to może być w sumie dowolnie blisko, ale tak długo

0:07:48.190,0:07:50.920
jak wybierzecie x, który jest - powiedzmy, że to działa dla tej funkcji -

0:07:50.920,0:07:57.790
który jest pomiędzy, no nie wiem , 0,9 i 1,1.

0:07:57.790,0:08:02.980
Więc w tym wypadku delta dla naszej granicy wynosi zaledwie 0,1.

0:08:02.980,0:08:09.320
tak długo jak wybierzecie x, oddalony o nie więcej niż 0,1 od 1,

0:08:09.320,0:08:13.640
mogę zapewnić was, że wasze f(x) będzie

0:08:13.640,0:08:15.740
leżało w tym zakresie.

0:08:15.740,0:08:17.220
Mam nadzieję, że rozumiecie już trochę jak to działa.

0:08:17.220,0:08:19.750
Pozwólcie mi zdefiniować to za pomocą epsilona i delty, to

0:08:19.750,0:08:22.580
jest właśnie to, co możecie ujrzeć w waszych podręcznikach matematyki,

0:08:22.580,0:08:24.110
potem przejdziemy do kilku przykładów,

0:08:24.110,0:08:26.730
Aby mieć jasność, to był tylko konkretny przykład.

0:08:26.730,0:08:29.870
Wybraliście jeden epsilon, a ja znalazłem dla was deltę, która działała.

0:08:29.870,0:08:36.270
Ale z definicji, jeżeli to jest prawdziwe lub jeżeli ktoś napisze coś takiego,

0:08:36.270,0:08:40.290
to ma na myśli, że to działa nie tylko dla jednego, konkretnego przypadku,

0:08:40.290,0:08:42.900
to działa dla dowolnej liczby jaką wybierzecie.

0:08:42.900,0:08:48.800
Moglibyście powiedzieć: "Chcę, być jedną milionową od..., lub

0:08:48.800,0:08:52.180
10 do potęgi -(2^100), wiecie,

0:08:52.180,0:08:55.590
ekstremalnie blisko dwójki, a ja i tak zawsze mogę znaleźć wam przedział

0:08:55.590,0:09:00.270
wokół tego punktu i tak długo jak wybierzecie x z tego przedziału

0:09:00.270,0:09:03.540
zawsze będziecie w zakresie, który określiliście, nawet

0:09:03.540,0:09:08.240
jeśli byłoby to, wiecie, jedna trylionowa jednostki od

0:09:08.240,0:09:09.470
granicy.

0:09:09.470,0:09:11.270
Jedyne o czym nie mogę was zapewnić, to to,

0:09:11.270,0:09:12.760
co dzieje się, gdy x jest równy a.

0:09:12.760,0:09:15.580
Mówię po prostu, że tak długo, jak wybierzecie x, który leży

0:09:15.580,0:09:17.950
w podanym przeze mnie przedziale, ale nie jest równy a, to będzie on działał.

0:09:17.950,0:09:21.720
Wasze f(x) pokaże się w takiej odległości, jaką wybraliście.

0:09:21.720,0:09:23.680
Żeby uczynić tę matematykę przejrzystą - ponieważ do tej pory

0:09:23.680,0:09:26.250
mówiłem jedynie własnymi słowami - a to jest to co widzimy w podręcznikach.

0:09:26.250,0:09:33.460
A mówi nam to: "Podajcie mi dowolny epsilon

0:09:33.460,0:09:35.810
większy od 0.

0:09:35.810,0:09:37.390
W końcu to jest definicja, nieprawdaż?

0:09:37.390,0:09:41.730
Jeżeli ktoś pisze coś takiego, ma na myśli, że możecie wybrać

0:09:41.730,0:09:52.800
dowolny epsilon większy od 0, a on poda ci deltę -

0:09:52.800,0:09:56.590
pamiętaj, epsilon określa

0:09:56.590,0:09:57.760
jak blisko naszej granicy ma być f(x), nieprawdaż?

0:09:57.760,0:10:00.530
To jest otoczenie wokół f(x) - On poda Ci deltę,

0:10:00.530,0:10:04.860
która określa przedział wokół a, nieprawdaż?

0:10:04.860,0:10:05.520
Pozwólcie, że to zapiszę.

0:10:05.520,0:10:11.830
Więc granica, przy x zmierzającym do a, funkcji f(x) jest równa L.

0:10:11.830,0:10:15.210
Więc oni znajdą ci taką deltę, że dla x leżących nie dalej

0:10:15.210,0:10:23.025
niż delta od - tak że odległość pomiędzy x i a, jeśli wybierzemy x tutaj -

0:10:23.025,0:10:27.950
pozwólcie mi wziać inny kolor - jeśli wybierzemy x tutaj,

0:10:27.950,0:10:31.340
odległość pomiędzy tą wartością i a, tak długo jak jest

0:10:31.340,0:10:34.840
większy od 0, tak by x nie pokrył się z a,

0:10:34.840,0:10:37.980
ponieważ funkcja może nie być zdefiniowana w tym punkcie.

0:10:37.980,0:10:40.750
Ale tak długo jak odległość pomiędzy x i a jest większa

0:10:40.750,0:10:45.400
niż 0, ale mniejsza niż ten zakres dla x, który ci podali.

0:10:45.400,0:10:46.450
To znaczy mniejsza niż delta.

0:10:46.450,0:10:49.930
Więc tak długo jak bierzecie x, wiecie, jeślibym miał powiększyć

0:10:49.930,0:10:55.680
oś OX w tym miejscu - to jest a, a ta odległość

0:10:55.680,0:10:59.240
byłaby deltą, oraz ta odległość byłaby deltą -

0:10:59.240,0:11:03.920
tak długo jak wybierzecie wartość x która wpada w ten przedział,

0:11:03.920,0:11:07.520
tak długo jak wybierzecie ten punk lub ten punkt -

0:11:07.520,0:11:10.560
tak długo jak wybierzecie jedną z tych wartości dla x, mogę was zapewnić,

0:11:10.560,0:11:17.010
że odległość pomiędzy wartośćią funkcji a wartością granicy,

0:11:17.010,0:11:19.670
odległość pomiędzy, no wiecie, kiedy bierzecie jeden z tych

0:11:19.670,0:11:23.460
wartości x i obliczacie f(x) dla tej wartości,

0:11:23.460,0:11:27.170
odległość pomiędzy f(x) i granicą

0:11:27.170,0:11:31.560
będzie mniejsza niż liczba, którą im podaliście.

0:11:31.560,0:11:36.470
Jeżeli o tym pomyślicie, to wydaje się to bardzo skomplikowane

0:11:36.470,0:11:38.690
i mam mieszane uczucia co do tego w jakim momencie jest to wprowadzane

0:11:38.690,0:11:39.640
w większości programów analizy.

0:11:39.640,0:11:42.345
To jest wprowadzone w mniej więcej, no wiecie, na trzy tygodnie zanim

0:11:42.345,0:11:44.670
nawet nauczycie się pochodnych, jest to jedna z tych bardzo "matematycznych"

0:11:44.670,0:11:47.560
i ścisłych rzeczy do pomyślenia i wiecie co? to często

0:11:47.560,0:11:49.720
zniechęca wielu adeptów. Sądzę, że wiele ludzi

0:11:49.720,0:11:53.010
nie posiada intuicyjnego zrozumienie tej definicji. ale to jest

0:11:53.010,0:11:54.050
matematycznie precyzyjne..

0:11:54.050,0:11:56.910
Myślę że to jest bardzo ważne, gdy uczycie się

0:11:56.910,0:11:58.910
bardziej zaawansowanego rachunku różniczkowego, lub stajecie się matematykiem z zawodu.

0:11:58.910,0:12:01.330
Powiedziawszy to, trzeba przyznać że intuicyjnie ma to

0:12:01.330,0:12:02.160
sporo sensu, nieprawdaż?

0:12:02.160,0:12:05.550
Ponieważ zanim o tym mówiliśmy, popatrzcie, mogę sprawić,

0:12:05.550,0:12:12.945
że znajdziecie się tak blisko gdy x daży do tej wartości

0:12:12.945,0:12:13.960
f(x) będzie dążyć do tej wartości.

0:12:13.960,0:12:17.620
Sposób w jaki określamy to matematycznie: mówicie ; "Sal,

0:12:17.620,0:12:19.970
Chcę być bardzo blisko.

0:12:19.970,0:12:22.180
Chcę by odległość od f(x) była niewielka.

0:12:22.180,0:12:25.640
Chcę żeby było to 0,000000000001, wtedy mogę zawsze

0:12:25.640,0:12:29.540
znaleźć wam przedział wokół x, gdzie to będzie prawdą.

0:12:29.540,0:12:31.320
Właśnie przekroczyłem czas tego nagrania.

0:12:31.320,0:12:34.260
W następnym nagraniu pokażę przykłady, w których udowodnie

0:12:34.260,0:12:38.120
granicie, w których udowodnię istnienie niektórych granic przy użyciu

0:12:38.120,0:12:39.330
tej definicji.

0:12:39.330,0:12:43.370
I oby, no wiecie, kiedy użyjemy jakichś namacalnych wartości,

0:12:43.370,0:12:45.440
ta definicja nabierze trochę więcej sensu.

0:12:45.440,0:12:47.270
Do zobaczenia w następnym wideo.