WEBVTT

00:00:00.900 --> 00:00:02.810
Wymyślmy sobie jakąś funkcję, abyśmy mogli

00:00:02.810 --> 00:00:04.490
wyznaczyć jej granicę.

00:00:04.490 --> 00:00:06.880
Na razie po prostu narysuję wykres funkcji,

00:00:06.880 --> 00:00:08.390
wzory i obliczenia zostawmy sobie na później.

00:00:08.390 --> 00:00:11.870
Tu jest oś y, a tu oś x.

00:00:11.870 --> 00:00:14.180
Funkcja będzie wyglądać powiedzmy tak...

00:00:14.180 --> 00:00:15.950
Narysujmy nieskomplikowaną funkcję -

00:00:15.950 --> 00:00:19.760
niech będzie to prosta linia, przynajmniej w głównej mierze.

00:00:19.760 --> 00:00:23.100
Niech wygląda to tak -

00:00:23.100 --> 00:00:27.080
linia z dziurą w pewnym miejscu x = a

00:00:27.080 --> 00:00:28.690
tzn. funkcja jest tu niezdefiniowana.

00:00:28.690 --> 00:00:32.030
Wymażę ten punkt, abyście widzieli, że w tym miejscu

00:00:32.030 --> 00:00:33.110
funkcja nie jest zdefiniowana.

00:00:33.110 --> 00:00:38.780
Ten punkt to x = a.

00:00:38.780 --> 00:00:45.180
To jest oś x, a to jest oś y = f(x).

00:00:45.180 --> 00:00:47.120
Niech po prostu zostanie oś y,

00:00:47.120 --> 00:00:51.030
a to będzie f(x), to znaczy

00:00:51.030 --> 00:00:53.880
y równa się f od x.

00:00:53.880 --> 00:00:55.740
Było już kilka filmów o granicach i myślę,

00:00:55.740 --> 00:00:57.160
że macie intuicję w tym temacie.

00:00:57.160 --> 00:00:59.850
Gdybyśmy mieli znaleźć granicę, gdy x dąży do a,

00:00:59.850 --> 00:01:04.020
i powiedzmy, że ten punkt jest równy l.

00:01:04.020 --> 00:01:06.480
Wiemy z poprzednich filmów, że...

00:01:06.480 --> 00:01:10.940
może najpierw zapiszę - granica przy x dążącym do a

00:01:10.940 --> 00:01:13.690
z f od x.

00:01:13.690 --> 00:01:17.560
Intuicyjnie oznacza to, że gdy zbliżamy się do a

00:01:17.560 --> 00:01:20.980
z którejś strony - na przykład z tej, to pytamy

00:01:20.980 --> 00:01:22.290
do czego zbliża się f(x) ?

00:01:22.290 --> 00:01:27.030
Więc gdy x jest tutaj, to f(x) jest tutaj.

00:01:27.030 --> 00:01:29.490
Jak x jest tutaj, to f(x) jest tu.

00:01:29.490 --> 00:01:33.080
I widzimy, że zbliżamy się do tego l właśnie tutaj.

00:01:35.950 --> 00:01:40.320
I gdy zbliżamy się do a z tej strony - szukaliśmy już granic,

00:01:40.320 --> 00:01:42.200
gdy x dąży do pewnego miejsca tylko z lewej lub z prawej strony,

00:01:42.200 --> 00:01:44.750
lecz aby istniała granica, musimy dostać z obu stron to samo.

00:01:44.750 --> 00:01:48.670
zarówno z prawej jak i z lewej - więc

00:01:48.670 --> 00:01:52.380
idąc z tej strony, dla tego x, tu jest f(x).

00:01:52.380 --> 00:01:54.440
f od x jest tutaj.

00:01:54.440 --> 00:01:57.460
Gdy x jest tutaj, to f(x) jest tutaj - i idąc coraz bliżej do a

00:01:57.460 --> 00:02:03.860
widzimy, że f(x) dąży do tego punktu l, tzn. do wartości l.

00:02:03.860 --> 00:02:06.600
Mówimy więc, że granica f(x) przy x dążącym do a

00:02:06.600 --> 00:02:07.960
wynosi l.

00:02:07.960 --> 00:02:09.640
Myślę, że to czujecie.

00:02:09.640 --> 00:02:13.360
Jednak nie było to zbyt formalne, właściwie wcale,

00:02:13.360 --> 00:02:15.480
jeżeli chodzi o precyzyjne sformułowanie tego, czym

00:02:15.480 --> 00:02:16.290
jest granica.

00:02:16.290 --> 00:02:19.340
Jedyne co na razie powiedziałem to: kiedy x się zbliża,

00:02:19.340 --> 00:02:21.440
to do czego zbliża się f(x) ?

00:02:21.440 --> 00:02:27.360
Więc... w tym filmie postaram się wyjaśnić wam definicję granicy, trzymając się ściśle matematycznych zasad,

00:02:27.360 --> 00:02:29.360
w dużo bardziej precyzyjny sposób

00:02:29.360 --> 00:02:32.180
niż mówiąc: wiesz... jak x zbliża się

00:02:32.180 --> 00:02:36.990
do tej wartości, to do czego dąży f od x?

00:02:36.990 --> 00:02:39.290
Sposób, w jaki myślę o tym, to jest... jakby taka gra.

00:02:39.290 --> 00:02:48.640
Definicja mówi, że: to, co tu jest napisane, to właśnie wyrażenie, oznacza, że

00:02:48.640 --> 00:02:55.150
zawsze możemy wybrać taki przedział wokół tego punktu, zawsze możemy wybrać taki zakres, że...

00:02:55.150 --> 00:02:57.190
i nie chodzi tu o jakikolwiek zakres w ogólności,

00:02:57.190 --> 00:03:00.960
tylko o zakres w tym sensie, że...

00:03:00.960 --> 00:03:05.980
możemy ustalić taką odległość, że dopóki x jest odległy od a

00:03:05.980 --> 00:03:12.360
o nie więcej niż o tę odległość, to z całą pewnością f(x)

00:03:12.360 --> 00:03:16.160
nie będzie dalej od l niż o pewną ustaloną odległość.

00:03:16.160 --> 00:03:18.030
Możemy to sobie wyobrazić jako

00:03:18.030 --> 00:03:18.490
taką małą zabawę.

00:03:18.490 --> 00:03:21.840
Powiedzmy, że ty mówisz: OK Sal, nie wierzę ci.

00:03:21.840 --> 00:03:29.900
Chcę zobaczyć, czy f(x) może być w zakresie 0.5 od l.

00:03:29.900 --> 00:03:37.460
Więc ty dajesz mi na przykład 0.5 i mówisz: Sal, poprzez tę definicję powinieneś zawsze

00:03:37.460 --> 00:03:39.760
być w stanie dać mi na osi x taki przedział

00:03:39.760 --> 00:03:46.330
wokół a, że w tym przedziale f(x) będzie odległe od l o nie więcej niż 0.5, zgoda?

00:03:46.330 --> 00:03:49.980
Czyli wartości funkcji f w tych x-ach będą zawsze w tym zakresie,

00:03:49.980 --> 00:03:51.160
właśnie tutaj.

00:03:51.160 --> 00:03:54.300
I dopóki jestem w tym przedziale wokół a, dopóki jestem

00:03:54.300 --> 00:03:57.890
w tym zakresie, który mi dałeś, f(x) zawsze będzie

00:03:57.890 --> 00:04:00.030
wystarczająco blisko naszej granicy.

00:04:02.820 --> 00:04:07.830
Może narysuję to jeszcze raz - trochę większe, bo...

00:04:07.830 --> 00:04:10.870
cały czas rysowałem w kółko ten sam wykres w jednym miejscu.

00:04:10.870 --> 00:04:16.770
Niech to będzie nasz wykres f(x), a to będzie nasza dziura.

00:04:16.770 --> 00:04:19.340
Chociaż właściwie nie musi tu być dziury. Granica mogłaby być równa

00:04:19.340 --> 00:04:21.020
wartości funkcji w punkcie a, ale tak jest dużo

00:04:21.020 --> 00:04:22.560
ciekawiej, bo funkcja nie jest zdefiniowana,

00:04:22.560 --> 00:04:23.910
a granica tak.

00:04:23.910 --> 00:04:28.770
Więc mamy nasz punkt tutaj. Pozwólcie, że narysuję osie ponownie.

00:04:31.530 --> 00:04:44.010
Mamy oś OX, oś OY i naszą granicę I

00:04:44.010 --> 00:04:47.310
oraz punkt a

00:04:47.310 --> 00:04:49.630
Jeżeli więc chodzi o definicję granicy to za chwilę do niej wrócę

00:04:49.630 --> 00:04:52.690
ponieważ skoro mamy większy rysunek, chciałbym jeszcze raz to wytłumaczyć

00:04:52.690 --> 00:04:58.090
to o co chodzi to - i to jest epsilonowo-deltowa definicja granicy funkcji,

00:04:58.090 --> 00:05:01.260
ale o epsilonie i delcie powiemy sobie za chwilę -

00:05:01.260 --> 00:05:05.790
że mogę zagwarantować wam, że funkcja f(x),

00:05:05.790 --> 00:05:08.860
jakiejkolwiek odległości od L nie wybierzecie

00:05:08.860 --> 00:05:10.450
właściwie oznaczmy tę odległość przez epsilon

00:05:10.450 --> 00:05:12.590
przejdźmy do definicji od razu

00:05:12.590 --> 00:05:13.050
prosto z marszu

00:05:13.050 --> 00:05:17.090
więc wy mówicie, że chcecie być nie dalej niż epsilon od L

00:05:17.090 --> 00:05:19.510
Gdzie epsilon może być dowolną liczbą rzeczywistą

00:05:19.510 --> 00:05:20.960
większą od zera

00:05:20.960 --> 00:05:24.320
więc byłby to ten dystans, o tu, ta odległość to epsilon

00:05:24.320 --> 00:05:27.810
i ten odcinek też ma długość epsilon

00:05:27.810 --> 00:05:30.480
i dla każdego epsilona, który mi wybierzecie, dowolnej rzeczywistej liczby (większej od 0, przyp. tłumacza)

00:05:30.480 --> 00:05:36.810
to będzie L plus epsilon o tutaj, a to będzie

00:05:36.810 --> 00:05:43.030
L minus epsilon tutaj. Epsilonowo-deltowa definicja

00:05:43.030 --> 00:05:48.030
mówi nam, że jakikolwiek epsilon mi podacie, Ja

00:05:48.030 --> 00:05:51.650
mogę zawsze określić odległość wokół a

00:05:51.650 --> 00:05:54.000
Nazwijmy ją deltą.

00:05:54.000 --> 00:05:57.710
Mogę zawsze określić odległość wokół a

00:05:57.710 --> 00:06:02.320
Powiedzmy że to będzie a minus delta, a to

00:06:02.320 --> 00:06:04.440
a plus delta.

00:06:04.440 --> 00:06:05.365
To jest litera - delta.

00:06:09.970 --> 00:06:15.680
i dla każdego x jaki wybierzecie pomiędzy a plus delta

00:06:15.680 --> 00:06:19.440
i a minus delta, tak długo jak x jest w tym przedziale, mogę wam zagwarantować,

00:06:19.440 --> 00:06:23.160
że f(x), wartość funkcji dla naszego x będzie

00:06:23.160 --> 00:06:24.350
w wybranym przez was przedziale (pomiędzy L minus epsilon i L plus epsilon)

00:06:24.350 --> 00:06:26.060
Jeżeli się nad tym zastanowicie to brzmi to rozsądnie, nieprawdaż?

00:06:26.060 --> 00:06:29.630
Mówi nam to po prostu, że możemy znaleźć się tak blisko jak chcemy

00:06:29.630 --> 00:06:32.980
naszej granicy poprzez , mówiąc taj blisko jak chcemymam na myśli, że

00:06:32.980 --> 00:06:36.430
możecie określić to podając mi dowolny epsilon,

00:06:36.430 --> 00:06:38.940
to jest taka jakby gra, mogę sprawić że znajdziecie się tak blisko

00:06:38.940 --> 00:06:43.000
jak chcecie wartości granicy poprzez podanie wam przedziału wokół punktu,

00:06:43.000 --> 00:06:44.680
do którego zmierza x.

00:06:44.680 --> 00:06:49.420
Tak długo jak będziecie wybierali wartość x, która znajduje się w tym przedziale

00:06:49.420 --> 00:06:52.570
tak długo jak będziecie wybierali x właśnie stamtąd

00:06:52.570 --> 00:06:55.440
Mogę zapewnić was, że f(x) będzie w zakresie,

00:06:55.440 --> 00:06:57.290
który określiliście

00:06:57.290 --> 00:07:01.270
Aby uczynić to trochę bardziej konkretnym, powiedzmy,

00:07:01.270 --> 00:07:04.490
że mówicie: "chcę by f(x) było nie dalej niż 0,5 - niech, no wiecie

00:07:04.490 --> 00:07:05.380
operujmy w konkretnych wartościach.

00:07:05.380 --> 00:07:11.750
powiedzmy, że tu jest liczba 2, a tu jest 1.

00:07:11.750 --> 00:07:16.575
Mówimy, że granica, przy x zmierzającym do 1, f(x) -

00:07:16.575 --> 00:07:18.880
nie zdefiniowałem f(x), ale jej wykres wygląda jak linia z dziurą

00:07:18.880 --> 00:07:21.480
w tym miejscu - wynosi 2.

00:07:21.480 --> 00:07:23.820
Oznacza to, że możecie podać mi dowolną liczbę.

00:07:23.820 --> 00:07:27.380
Załóżmy, że chcecie sprawdzić to na paru przykładach.

00:07:27.380 --> 00:07:30.220
Powiedzmy, że mówicie: "chcę by wartość f(x) była nie dalej niż -

00:07:30.220 --> 00:07:35.680
pozwólcie, żę wezmę inny kolor - nie dalej niż 0,5 od 2.

00:07:35.680 --> 00:07:39.970
Chcę by f(x) było pomiędzy 2,5 a 1,5.

00:07:39.970 --> 00:07:45.650
Wtedy mógłbym powiedzieć: "w porządalu, tak długo jak wybierzecie x pomiędzy -

00:07:45.650 --> 00:07:48.190
no nie wiem, to może być w sumie dowolnie blisko, ale tak długo

00:07:48.190 --> 00:07:50.920
jak wybierzecie x, który jest - powiedzmy, że to działa dla tej funkcji -

00:07:50.920 --> 00:07:57.790
który jest pomiędzy, no nie wiem , 0,9 i 1,1.

00:07:57.790 --> 00:08:02.980
Więc w tym wypadku delta dla naszej granicy wynosi zaledwie 0,1.

00:08:02.980 --> 00:08:09.320
tak długo jak wybierzecie x, oddalony o nie więcej niż 0,1 od 1,

00:08:09.320 --> 00:08:13.640
mogę zapewnić was, że wasze f(x) będzie

00:08:13.640 --> 00:08:15.740
leżało w tym zakresie.

00:08:15.740 --> 00:08:17.220
Mam nadzieję, że rozumiecie już trochę jak to działa.

00:08:17.220 --> 00:08:19.750
Pozwólcie mi zdefiniować to za pomocą epsilona i delty, to

00:08:19.750 --> 00:08:22.580
jest właśnie to, co możecie ujrzeć w waszych podręcznikach matematyki,

00:08:22.580 --> 00:08:24.110
potem przejdziemy do kilku przykładów,

00:08:24.110 --> 00:08:26.730
Aby mieć jasność, to był tylko konkretny przykład.

00:08:26.730 --> 00:08:29.870
Wybraliście jeden epsilon, a ja znalazłem dla was deltę, która działała.

00:08:29.870 --> 00:08:36.270
Ale z definicji, jeżeli to jest prawdziwe lub jeżeli ktoś napisze coś takiego,

00:08:36.270 --> 00:08:40.290
to ma na myśli, że to działa nie tylko dla jednego, konkretnego przypadku,

00:08:40.290 --> 00:08:42.900
to działa dla dowolnej liczby jaką wybierzecie.

00:08:42.900 --> 00:08:48.800
Moglibyście powiedzieć: "Chcę, być jedną milionową od..., lub

00:08:48.800 --> 00:08:52.180
10 do potęgi -(2^100), wiecie,

00:08:52.180 --> 00:08:55.590
ekstremalnie blisko dwójki, a ja i tak zawsze mogę znaleźć wam przedział

00:08:55.590 --> 00:09:00.270
wokół tego punktu i tak długo jak wybierzecie x z tego przedziału

00:09:00.270 --> 00:09:03.540
zawsze będziecie w zakresie, który określiliście, nawet

00:09:03.540 --> 00:09:08.240
jeśli byłoby to, wiecie, jedna trylionowa jednostki od

00:09:08.240 --> 00:09:09.470
granicy.

00:09:09.470 --> 00:09:11.270
Jedyne o czym nie mogę was zapewnić, to to,

00:09:11.270 --> 00:09:12.760
co dzieje się, gdy x jest równy a.

00:09:12.760 --> 00:09:15.580
Mówię po prostu, że tak długo, jak wybierzecie x, który leży

00:09:15.580 --> 00:09:17.950
w podanym przeze mnie przedziale, ale nie jest równy a, to będzie on działał.

00:09:17.950 --> 00:09:21.720
Wasze f(x) pokaże się w takiej odległości, jaką wybraliście.

00:09:21.720 --> 00:09:23.680
Żeby uczynić tę matematykę przejrzystą - ponieważ do tej pory

00:09:23.680 --> 00:09:26.250
mówiłem jedynie własnymi słowami - a to jest to co widzimy w podręcznikach.

00:09:26.250 --> 00:09:33.460
A mówi nam to: "Podajcie mi dowolny epsilon

00:09:33.460 --> 00:09:35.810
większy od 0.

00:09:35.810 --> 00:09:37.390
W końcu to jest definicja, nieprawdaż?

00:09:37.390 --> 00:09:41.730
Jeżeli ktoś pisze coś takiego, ma na myśli, że możecie wybrać

00:09:41.730 --> 00:09:52.800
dowolny epsilon większy od 0, a on poda ci deltę -

00:09:52.800 --> 00:09:56.590
pamiętaj, epsilon określa

00:09:56.590 --> 00:09:57.760
jak blisko naszej granicy ma być f(x), nieprawdaż?

00:09:57.760 --> 00:10:00.530
To jest otoczenie wokół f(x) - On poda Ci deltę,

00:10:00.530 --> 00:10:04.860
która określa przedział wokół a, nieprawdaż?

00:10:04.860 --> 00:10:05.520
Pozwólcie, że to zapiszę.

00:10:05.520 --> 00:10:11.830
Więc granica, przy x zmierzającym do a, funkcji f(x) jest równa L.

00:10:11.830 --> 00:10:15.210
Więc oni znajdą ci taką deltę, że dla x leżących nie dalej

00:10:15.210 --> 00:10:23.025
niż delta od - tak że odległość pomiędzy x i a, jeśli wybierzemy x tutaj -

00:10:23.025 --> 00:10:27.950
pozwólcie mi wziać inny kolor - jeśli wybierzemy x tutaj,

00:10:27.950 --> 00:10:31.340
odległość pomiędzy tą wartością i a, tak długo jak jest

00:10:31.340 --> 00:10:34.840
większy od 0, tak by x nie pokrył się z a,

00:10:34.840 --> 00:10:37.980
ponieważ funkcja może nie być zdefiniowana w tym punkcie.

00:10:37.980 --> 00:10:40.750
Ale tak długo jak odległość pomiędzy x i a jest większa

00:10:40.750 --> 00:10:45.400
niż 0, ale mniejsza niż ten zakres dla x, który ci podali.

00:10:45.400 --> 00:10:46.450
To znaczy mniejsza niż delta.

00:10:46.450 --> 00:10:49.930
Więc tak długo jak bierzecie x, wiecie, jeślibym miał powiększyć

00:10:49.930 --> 00:10:55.680
oś OX w tym miejscu - to jest a, a ta odległość

00:10:55.680 --> 00:10:59.240
byłaby deltą, oraz ta odległość byłaby deltą -

00:10:59.240 --> 00:11:03.920
tak długo jak wybierzecie wartość x która wpada w ten przedział,

00:11:03.920 --> 00:11:07.520
tak długo jak wybierzecie ten punk lub ten punkt -

00:11:07.520 --> 00:11:10.560
tak długo jak wybierzecie jedną z tych wartości dla x, mogę was zapewnić,

00:11:10.560 --> 00:11:17.010
że odległość pomiędzy wartośćią funkcji a wartością granicy,

00:11:17.010 --> 00:11:19.670
odległość pomiędzy, no wiecie, kiedy bierzecie jeden z tych

00:11:19.670 --> 00:11:23.460
wartości x i obliczacie f(x) dla tej wartości,

00:11:23.460 --> 00:11:27.170
odległość pomiędzy f(x) i granicą

00:11:27.170 --> 00:11:31.560
będzie mniejsza niż liczba, którą im podaliście.

00:11:31.560 --> 00:11:36.470
Jeżeli o tym pomyślicie, to wydaje się to bardzo skomplikowane

00:11:36.470 --> 00:11:38.690
i mam mieszane uczucia co do tego w jakim momencie jest to wprowadzane

00:11:38.690 --> 00:11:39.640
w większości programów analizy.

00:11:39.640 --> 00:11:42.345
To jest wprowadzone w mniej więcej, no wiecie, na trzy tygodnie zanim

00:11:42.345 --> 00:11:44.670
nawet nauczycie się pochodnych, jest to jedna z tych bardzo "matematycznych"

00:11:44.670 --> 00:11:47.560
i ścisłych rzeczy do pomyślenia i wiecie co? to często

00:11:47.560 --> 00:11:49.720
zniechęca wielu adeptów. Sądzę, że wiele ludzi

00:11:49.720 --> 00:11:53.010
nie posiada intuicyjnego zrozumienie tej definicji. ale to jest

00:11:53.010 --> 00:11:54.050
matematycznie precyzyjne..

00:11:54.050 --> 00:11:56.910
Myślę że to jest bardzo ważne, gdy uczycie się

00:11:56.910 --> 00:11:58.910
bardziej zaawansowanego rachunku różniczkowego, lub stajecie się matematykiem z zawodu.

00:11:58.910 --> 00:12:01.330
Powiedziawszy to, trzeba przyznać że intuicyjnie ma to

00:12:01.330 --> 00:12:02.160
sporo sensu, nieprawdaż?

00:12:02.160 --> 00:12:05.550
Ponieważ zanim o tym mówiliśmy, popatrzcie, mogę sprawić,

00:12:05.550 --> 00:12:12.945
że znajdziecie się tak blisko gdy x daży do tej wartości

00:12:12.945 --> 00:12:13.960
f(x) będzie dążyć do tej wartości.

00:12:13.960 --> 00:12:17.620
Sposób w jaki określamy to matematycznie: mówicie ; "Sal,

00:12:17.620 --> 00:12:19.970
Chcę być bardzo blisko.

00:12:19.970 --> 00:12:22.180
Chcę by odległość od f(x) była niewielka.

00:12:22.180 --> 00:12:25.640
Chcę żeby było to 0,000000000001, wtedy mogę zawsze

00:12:25.640 --> 00:12:29.540
znaleźć wam przedział wokół x, gdzie to będzie prawdą.

00:12:29.540 --> 00:12:31.320
Właśnie przekroczyłem czas tego nagrania.

00:12:31.320 --> 00:12:34.260
W następnym nagraniu pokażę przykłady, w których udowodnie

00:12:34.260 --> 00:12:38.120
granicie, w których udowodnię istnienie niektórych granic przy użyciu

00:12:38.120 --> 00:12:39.330
tej definicji.

00:12:39.330 --> 00:12:43.370
I oby, no wiecie, kiedy użyjemy jakichś namacalnych wartości,

00:12:43.370 --> 00:12:45.440
ta definicja nabierze trochę więcej sensu.

00:12:45.440 --> 00:12:47.270
Do zobaczenia w następnym wideo.