Chapitre 2 : Conjectures et Contre-exemples B

Nous verrons dans cette vidéo deux exemples permettant de voir si une hypothèse est valide ou juste.

Dans cette vidéo nous verrons quelques exemples afin de s'exercer sur les hypothèses et les contre-exemples

Exemple A : voici une équation algébrique et une table de valeurs pour "n" et les résultats pour "t".

Notez que nous venons de commencer cette équation :

nous n'avons ici qu'une simple table

divisée en trois parties : les valeurs de "n", toute sorte de calculs au centre puis les résultats pour "t".

Après avoir regardé la table, Pablo a émis cette hypothèse :

la valeur de (n-1)(n-2)(n-3) ou, en d'autres mots, le résultat pour "t", est zéro pour chacune des valeurs de "n".

Ainsi, il dit que peu importe le nombre que je prends pour valeur de "n",

ma réponse sera toujours zéro car,

c'est ce qu'il s'est produit les trois premières fois.
Cela doit donc toujours être le cas.

La question que nous posons est la suivante : est-ce une hypothèse valide, autrement dit, est-elle juste ?

Ainsi, si elle s'avère juste, cela voudrait dire qu'elle serait juste pour n'importe quelle valeur de "n".

Vous pouvez prendre 100 et la réponse pour "t" sera toujours zéro.

Vérifions cela. Essayons avec 100. Disons que n=100.

Nous essayons de voir si "t" sera vraiment égal à zéro. Rentrons ce nombre.

Nous aurions donc (100-1)(100-2)(100-3).

100-1 fait 99...

Puis nous avons 98,

et 97.

Je sais désormais que la réponse à cela n'est pas zéro,

car pour que le résultat soit égal à zéro, il faudrait multiplier un des nombre de la suite par zéro.

Ainsi, ce nombre n'est pas égal à zéro. Ce sera un grand nombre certainement pas égal à zéro.

Cela signifie donc que son hypothèse n'est pas valide.

Elle n'est pas juste, et ce que je viens juste de faire (n égal 100") est un contre-exemple,

car il montre bien que son hypothèse est fausse.

Par exemple, je peux prendre 100 comme valeur de "t" et ma réponse n'est pas zéro. Par conséquent, il a faux.

Un contre-exemple est donc un exemple servant à prouver que quelqu'un a faux.

Le préfixe "contre" signifie "aller à l'encontre de"

Bien, jetons un œil à l'exemple B :

Arthur trace des figures géométriques pour un projet d'art graphique. Il a tracé deux polygones et certaines de leurs diagonales.

Nous avons ici quatre exemples, et en se basant dessus, Arthur a émis cette hypothèse :

si un polygone convexe a n côtés, alors il y a n-2 triangles tracés à partir de n'importe quel sommet du polygone.

Réfléchissons sur ce qu'il vient de dire. Il dit que si la figure a n côtés,

par exemple "n" égal 3, trois côtés,

quatre côtés,

cinq côtés,

six côtés.

Il dit qu'il y aura alors toujours "n" moins 2 triangles.

Ainsi, par exemple, si "n" égal cinq, 5-2 fait 3. Il dit, dans cet exemple, qu'il y a 3 triangles : un, deux, trois.

Et qu'il y a dans le suivant quatre triangles, ce qui revient à 6-2.

La question est donc : l'hypothèse d'Arthur est-elle correcte ? Peux-tu trouver un contre-exemple à son hypothèse ?

Bien, en se basant sur les quatre exemples qu'il a donné, son hypothèse semble correcte.

Il aurait pu donner davantage d'exemples ; peu importe le nombre d'exemples que tu prends, elle sera juste.

Cependant, tu ne l'as toujours pas prouvé si tu n'as regardé que ces exemples, car il est toujours possible

qu'un autre exemple auquel tu n'avais pas pensé te contredise. Ce serait un contre-exemple à son hypothèse.

Nous pouvons donc dire la chose suivante :

Son hypothèse semble juste,

mais il faut apporter des preuves.

Regarder uniquement les exemples n'est pas une preuve suffisante pour indiquer qu'une hypothèse sera toujours juste.