-
Er det lineære ligningssystem nedenfor konsistent eller inkonsistent?
-
Vi har x plus 2 y er lig med 13, og 3x minus y er lig med minus 11.
-
For at besvare det her spørgsmål skal vi først vide, hvad det betyder, at noget er konsistent eller inkonsistent.
-
Et konsistent ligningssystem har som minimum, altså mindst, 1 løsning. Det har mindst 1 løsning.
-
Et inkonsistent ligningssystem har derimod 0 løsninger. Det har ingen løsninger.
-
Vi kan også se på det grafisk. Hvordan vil grafen for et konsistent system se ud?
-
Lad os tegne et koordinatsystem. Det her er x-aksen, og det her er y-aksen.
-
Hvis vi har 2 forskellige linjer, der skærer hinanden, er det et eksempel på et konsistent system.
-
Det her er en linje, og det er en anden linje. De skærer lige her. De har en løsning - altså de har et punkt tilfælles.
-
Det vil være et konsistent ligningssystem.
-
Der findes også et andet konsistent ligningssystem. Det er, når 2 linjer i virkeligheden er samme linje.
-
I det tilfælde skærer de linjer hinanden i uendeligt mange punkter.
-
En af linjerne kan se sådan her ud,og den anden linje er præcis magen til. Den er oven på den første. De 2 linjer skærer hinanden i alle punkter langs linjerne.
-
Det er også et konsistent system.
-
Et inkonsistent system har ingen løsninger.
-
Lad os tegne endnu et koordinatsystem. Det her er x-aksen, og det her y-aksen.
-
Et sådant system har ingen løsninger. Det eneste tilfælde, hvor 2 linjer i 2 dimensioner ikke har nogen løsninger, er når de ikke skærer hinanden.
-
Det sker, hvis de er parallelle.
-
En linje kunne se sådan her ud.
-
Den anden ligning ville have samme hældning, men den ville have et andet y-skæringspunkt.
-
Den kunne se således ud.
-
Det er et inkonsistent ligningssystem.
-
I det tilfælde udtrykker ligningerne parallelle linjer.
-
Det her er inkonsistent.
-
For at løse vores opgave kan vi afbilde de her 2 ligninger og se, om de skærer hinanden.
-
Vi kunne også kigge på hældningen i de 2 linjer. Hvis de har samme hældning og forskellige y-skæringspunkter, vil systemet være inkonsistent.
-
Lad os afbilde ligningerne.
-
Lad os tegne vores x-akse og vores y-akse her.
-
Det her er x, og det her er y.
-
Vi kan gribe det her an på forskellige måder. Det letteste vil være at finde 2 punkter for hver ligning og forbinde dem.
-
Det er nok til at definere en linje.
-
Vi laver en lille tabel med x og y her. Det er næsten et sildeben.
-
Når x er 0, har vi 2y er lig med 13 her. Så er y lig med 13 over 2.
-
13 over 2. Det er det samme som 6,5.
-
Når x er 0, er y altså 6,5. Det punkt er her.
-
Det her er 0 komma 13 over 2 eller 6,5.
-
Lad os nu se, hvad der sker, når y er 0. Når y er 0, har vi x er lig med 13.
-
x er lig med 13. Vi har altså punktet 13 komma 0.
-
Det her er 0 komma 6,5, og det her er 13 komma 0.
-
Den linje, den her ligning udtrykker, er altså den, vi tegner nu.
-
Lad os tegne den så lige som muligt.
-
Den ser sådan her ud. Lad os nu se på den anden ligning.
-
Vi bruger lilla. Vi laver endnu et sildeben med x og y. Vi skal bruge 2 punkter på grafen.
-
Når x er 0, har vi minus y er lig med minus 11. Det er det samme som y er lig med 11.
-
Vi har altså punktet 0 komma 11. Det er cirka her. 0 komma 11 er et punkt på den linje.
-
Når y er lig med 0, har vi 3x er lig med minus 11. Hvis vi dividerer begge sider med 3, får vi x er lig med minus 11 over 3.
-
Minus 11 over 3. Det er det samme som minus 3 og 2/3. Når y er 0, er x altså minus 3 2/3.
-
Det er nok cirka her. Det er punktet minus 11 over 3 komma 0.
-
Den anden ligning kan altså afbildes således.
-
Den ser sådan ud. Vi har ikke været helt præcise, men det er præcist nok til at svare på spørgsmålet.
-
Det er tydeligt, at de 2 linjer skærer hinanden. De skærer hinanden her.
-
For at svare på spørgsmålet her skal vi ikke engang finde skæringspunktet. Det er nok at vide, at de 2 linjer skærer hinanden.
-
Det her er altså et konsistent ligningssystem. Det har en løsning! For at et system skal være konsistent, skal der være mindst en løsning.
-
Det her system er altså konsistent.
