Er det lineære ligningssystem nedenfor konsistent eller inkonsistent?
Vi har x plus 2 y er lig med 13, og 3x minus y er lig med minus 11.
For at besvare det her spørgsmål skal vi først vide, hvad det betyder, at noget er konsistent eller inkonsistent.
Et konsistent ligningssystem har som minimum, altså mindst, 1 løsning. Det har mindst 1 løsning.
Et inkonsistent ligningssystem har derimod 0 løsninger. Det har ingen løsninger.
Vi kan også se på det grafisk. Hvordan vil grafen for et konsistent system se ud?
Lad os tegne et koordinatsystem. Det her er x-aksen, og det her er y-aksen.
Hvis vi har 2 forskellige linjer, der skærer hinanden, er det et eksempel på et konsistent system.
Det her er en linje, og det er en anden linje. De skærer lige her. De har en løsning - altså de har et punkt tilfælles.
Det vil være et konsistent ligningssystem.
Der findes også et andet konsistent ligningssystem. Det er, når 2 linjer i virkeligheden er samme linje.
I det tilfælde skærer de linjer hinanden i uendeligt mange punkter.
En af linjerne kan se sådan her ud,og den anden linje er præcis magen til. Den er oven på den første. De 2 linjer skærer hinanden i alle punkter langs linjerne.
Det er også et konsistent system.
Et inkonsistent system har ingen løsninger.
Lad os tegne endnu et koordinatsystem. Det her er x-aksen, og det her y-aksen.
Et sådant system har ingen løsninger. Det eneste tilfælde, hvor 2 linjer i 2 dimensioner ikke har nogen løsninger, er når de ikke skærer hinanden.
Det sker, hvis de er parallelle.
En linje kunne se sådan her ud.
Den anden ligning ville have samme hældning, men den ville have et andet y-skæringspunkt.
Den kunne se således ud.
Det er et inkonsistent ligningssystem.
I det tilfælde udtrykker ligningerne parallelle linjer.
Det her er inkonsistent.
For at løse vores opgave kan vi afbilde de her 2 ligninger og se, om de skærer hinanden.
Vi kunne også kigge på hældningen i de 2 linjer. Hvis de har samme hældning og forskellige y-skæringspunkter, vil systemet være inkonsistent.
Lad os afbilde ligningerne.
Lad os tegne vores x-akse og vores y-akse her.
Det her er x, og det her er y.
Vi kan gribe det her an på forskellige måder. Det letteste vil være at finde 2 punkter for hver ligning og forbinde dem.
Det er nok til at definere en linje.
Vi laver en lille tabel med x og y her. Det er næsten et sildeben.
Når x er 0, har vi 2y er lig med 13 her. Så er y lig med 13 over 2.
13 over 2. Det er det samme som 6,5.
Når x er 0, er y altså 6,5. Det punkt er her.
Det her er 0 komma 13 over 2 eller 6,5.
Lad os nu se, hvad der sker, når y er 0. Når y er 0, har vi x er lig med 13.
x er lig med 13. Vi har altså punktet 13 komma 0.
Det her er 0 komma 6,5, og det her er 13 komma 0.
Den linje, den her ligning udtrykker, er altså den, vi tegner nu.
Lad os tegne den så lige som muligt.
Den ser sådan her ud. Lad os nu se på den anden ligning.
Vi bruger lilla. Vi laver endnu et sildeben med x og y. Vi skal bruge 2 punkter på grafen.
Når x er 0, har vi minus y er lig med minus 11. Det er det samme som y er lig med 11.
Vi har altså punktet 0 komma 11. Det er cirka her. 0 komma 11 er et punkt på den linje.
Når y er lig med 0, har vi 3x er lig med minus 11. Hvis vi dividerer begge sider med 3, får vi x er lig med minus 11 over 3.
Minus 11 over 3. Det er det samme som minus 3 og 2/3. Når y er 0, er x altså minus 3 2/3.
Det er nok cirka her. Det er punktet minus 11 over 3 komma 0.
Den anden ligning kan altså afbildes således.
Den ser sådan ud. Vi har ikke været helt præcise, men det er præcist nok til at svare på spørgsmålet.
Det er tydeligt, at de 2 linjer skærer hinanden. De skærer hinanden her.
For at svare på spørgsmålet her skal vi ikke engang finde skæringspunktet. Det er nok at vide, at de 2 linjer skærer hinanden.
Det her er altså et konsistent ligningssystem. Det har en løsning! For at et system skal være konsistent, skal der være mindst en løsning.
Det her system er altså konsistent.