O Paradoxo do Hotel Infinito - Jeff Dekofsky

Veja a aula completa em: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky

O Hotel Infinito, um exercício de lógica matemática, criado pelo matemático alemão David Hilbert, é um hotel com um número infinito de quartos. Fácil de compreender, certo? Errado. O que acontece se estiver completamente lotado e uma pessoa quiser fazer o check in? E se forem 40? Ou um ônibus com um número infinito de pessoas? Jeff Dekofsky resolve estes problemas desafiadores de alojamento usando o paradoxo de Hilbert.

Aula: Jeff Dekofsky, animação: The Moving Company Animation Studio.

Por volta de 1920,

o matemático alemão David Hilbert

imaginou um famoso experimento
de lógica matemática

para mostrar como é difícil

compreender o conceito de infinito.

Imagine um hotel com
um número infinito de quartos

e um gerente noturno muito trabalhador.

Certa noite, o Hotel Infinito
está completamente lotado,

com um número infinito de hóspedes.

Um homem entra no hotel

e solicita uma vaga.

Em vez de recusar o hóspede,

o gerente da noite decide acomodá-lo.

Como?

É fácil. Ele pede ao hóspede
do quarto número 1

que se mude para o quarto número 2,

o hóspede do apartamento 2
vai para o quarto 3

e assim por diante.

Cada hóspede muda-se do quarto número "n"

para o quarto "n+1".

Já que há um número infinito
de apartamentos,

haverá uma nova vaga
para cada hóspede existente.

Isto deixa o quarto 1 livre
para um novo cliente.

O processo pode ser repetido

para qualquer número finito
de novos hóspedes.

Se, digamos, um ônibus de turismo trouxer

40 novas pessoas procurando acomodação,

então, cada hóspede existente
terá apenas que se mudar

do quanto número "n"

para o quarto número "n+40",

liberando assim os primeiros 40 quartos.

Mas agora um número infinito de ônibus

trazendo um número infinito
contável de passageiros

chega à procura de vagas.

O infinito contável é a chave da questão.

Agora, o ônibus infinito
com infinitos passageiros

deixa o gerente da noite
inicialmente perplexo,

mas ele se dá conta de que há uma solução

para acomodar cada nova pessoa.

Ele pede ao hóspede do quarto 1

para se mudar para o quarto 2.

A seguir, pede ao hóspede do quarto 2

que passe para o quarto 4,

o hóspede do quarto 3

para deslocar-se para o quarto 6,

e assim por diante.

Cada hóspede atual
muda-se do quarto número "n"

para o quarto "2n",

ocupando apenas os quartos
dos infinitos números pares.

Assim procedendo, ele desocupou

todos os infinitos quartos
dos números ímpares.

que serão ocupados pelas pessoas

que chegaram no ônibus infinito.

Todo mundo fica feliz
e os negócios do hotel

prosperam mais do que nunca.

Para falar a verdade, prosperam

exatamente no mesmo montante de sempre,

faturando um número infinito
de dólares a cada noite.

As notícias sobre este incrível hotel
se espalham.

Chegam pessoas de lugares distantes,
de toda a parte.

Uma noite acontece o inpensável.

O gerente noturno olha para fora

e vê uma fila infinita

de ônibus infinitamente grandes,

cada qual com um número contável
de infinitos passageiros.

O que ele pode fazer?

Se ele não puder hospedá-los,

o hotel perderá

uma quantidade infinita de dinheiro

e ele certamente perderá seu emprego.

Por sorte, ele lembra

que, por volta do ano 300 A.C.,

Euclides provou que existe
uma quantidade infinita

de números primos.

Então, para realizar a tarefa
aparentemente impossível

de encontrar infinitos leitos

para infinitos ônibus

com infinitos passageiros cansados,

o gerente noturno reserva
a cada hóspede atual

o primeiro número primo, 2,

elevado à potência do número
do seu quarto atual.

Assim, o atual ocupante do quarto número 7

vai para o quarto número 2^7,

que é o quarto 128.

O gerente noturno a seguir leva as pessoas

do primeiro dos ônibus infinitos

e as acomoda no quarto cujo número

é o número primo seguinte, o 3,

elevado à potência do número
do seu assento no ônibus.

Então, a pessoa no assento de número 7
no primeiro ônibus

vai para o quarto número 3^7,

ou o quarto número 2.187.

Isto continua para todos
os do primeiro ônibus.

Aos passageiros do segundo ônibus

são associadas potências
do número primo seguinte, o 5.

O próximo ônibus, potências de 7.

Segue para cada ônibus:

potências de 11,

potências de 13,

potências de 17, etc.

Tendo em vista que cada um destes números

tem apenas 1 valor único para as potências
dos números naturais

de seus números primos tomados como base,

não há superposição do número de quartos.

Todos os passageiros dos ônibus
distribuem-se pelos quartos

usando esquemas de reservas únicos,

baseados em números primos únicos.

Desta forma, o gerente da noite
pode acomodar

cada passageiro de cada ônibus,

embora muitos quartos permanecerão vazios,

como o quarto 6,

já que 6 não é uma potência
de nenhum número primo.

Felizmente, seus patrões não eram
muito bons de matemática,

de modo que seu emprego está a salvo.

As estratégias do gerente noturno
são possíveis apenas

porque, embora o Hotel Infinito

seja com certeza um pesadelo logístico,

ele lida apenas com o nível
mais baixo do infinito,

principalmente, o infinito contável

dos números naturais,

1, 2, 3, 4 e assim por diante.

Georg Cantor chamou este nível
de infinito aleph-zero.

Usamos números naturais
para os números dos quartos

bem como para os números
dos assentos dos ônibus.

Se trabalharmos com
ordens superiores de infinito,

como aquela dos números reais,

estas estratégias estruturadas

não serão mais possíveis

por não termos meios

de incluir sistematicamente cada número.

O Hotel Infinito do Número Real tem

quartos com números negativos no subsolo,

quartos com número fracionários,

de modo que o cara
do quarto 1/2 sempre desconfia

que ele tem menos espaço
do que aquele do quarto 1.

Quartos numerados com raiz quadrada,
como o quarto radical 2

e o quarto pi,

onde os hóspedes esperam
ter sobremesa grátis.

Qual gerente que se preza

desejaria trabalhar ali,

mesmo com um salário infinito?

Mas no Hotel Infinito de Hilbert,

onde nunca nunca existe vaga

e há sempre quarto para mais gente,

os cenários enfrentados pelo gerente
sempre esforçado

e talvez excessivamente hospitaleiro

servem para nos lembrar

do quanto é difícil

para as nossas mentes
relativamente finitas

entender um conceito
tão amplo como o infinito.

Talvez você possa ajudar
a resolver estes problemas

depois de uma boa noite de sono.

Mas, honestamente, talvez seja preciso

que você troque de quarto
às 2 horas da madrugada.