WEBVTT

00:00:06.531 --> 00:00:07.715
Por volta de 1920,

00:00:07.715 --> 00:00:10.208
o matemático alemão David Hilbert

00:00:10.208 --> 00:00:12.461
imaginou um famoso experimento
de lógica matemática

00:00:12.461 --> 00:00:14.215
para mostrar como é difícil

00:00:14.215 --> 00:00:18.170
compreender o conceito de infinito.

00:00:18.170 --> 00:00:21.683
Imagine um hotel com 
um número infinito de quartos

00:00:21.683 --> 00:00:24.291
e um gerente noturno muito trabalhador.

00:00:24.291 --> 00:00:27.547
Certa noite, o Hotel Infinito
está completamente lotado,

00:00:27.547 --> 00:00:31.110
com um número infinito de hóspedes.

00:00:31.110 --> 00:00:32.418
Um homem entra no hotel

00:00:32.418 --> 00:00:33.934
e solicita uma vaga.

00:00:33.934 --> 00:00:35.575
Em vez de recusar o hóspede,

00:00:35.575 --> 00:00:37.910
o gerente da noite decide acomodá-lo.

00:00:37.910 --> 00:00:38.689
Como?

00:00:38.689 --> 00:00:41.659
É fácil. Ele pede ao hóspede 
do quarto número 1

00:00:41.659 --> 00:00:43.325
que se mude para o quarto número 2,

00:00:43.325 --> 00:00:46.080
o hóspede do apartamento 2 
vai para o quarto 3

00:00:46.080 --> 00:00:47.162
e assim por diante.

00:00:47.162 --> 00:00:49.862
Cada hóspede muda-se do quarto número "n"

00:00:49.862 --> 00:00:52.203
para o quarto "n+1".

00:00:52.203 --> 00:00:54.412
Já que há um número infinito 
de apartamentos,

00:00:54.412 --> 00:00:57.033
haverá uma nova vaga 
para cada hóspede existente.

00:00:57.033 --> 00:00:59.784
Isto deixa o quarto 1 livre 
para um novo cliente.

00:00:59.784 --> 00:01:01.397
O processo pode ser repetido

00:01:01.397 --> 00:01:03.535
para qualquer número finito 
de novos hóspedes.

00:01:03.535 --> 00:01:05.691
Se, digamos, um ônibus de turismo trouxer

00:01:05.691 --> 00:01:08.039
40 novas pessoas procurando acomodação,

00:01:08.039 --> 00:01:09.828
então, cada hóspede existente
terá apenas que se mudar

00:01:09.828 --> 00:01:11.246
do quanto número "n"

00:01:11.246 --> 00:01:14.046
para o quarto número "n+40",

00:01:14.061 --> 00:01:16.790
liberando assim os primeiros 40 quartos.

00:01:16.790 --> 00:01:19.195
Mas agora um número infinito de ônibus

00:01:19.195 --> 00:01:21.768
trazendo um número infinito
contável de passageiros

00:01:21.768 --> 00:01:23.697
chega à procura de vagas.

00:01:23.697 --> 00:01:25.920
O infinito contável é a chave da questão.

00:01:25.920 --> 00:01:28.225
Agora, o ônibus infinito
com infinitos passageiros

00:01:28.225 --> 00:01:30.542
deixa o gerente da noite 
inicialmente perplexo,

00:01:30.542 --> 00:01:31.981
mas ele se dá conta de que há uma solução

00:01:31.981 --> 00:01:33.558
para acomodar cada nova pessoa.

00:01:33.558 --> 00:01:35.225
Ele pede ao hóspede do quarto 1

00:01:35.225 --> 00:01:36.835
para se mudar para o quarto 2.

00:01:36.835 --> 00:01:38.551
A seguir, pede ao hóspede do quarto 2

00:01:38.551 --> 00:01:40.459
que passe para o quarto 4,

00:01:40.459 --> 00:01:41.540
o hóspede do quarto 3

00:01:41.540 --> 00:01:42.833
para deslocar-se para o quarto 6,

00:01:42.833 --> 00:01:44.129
e assim por diante.

00:01:44.129 --> 00:01:47.337
Cada hóspede atual 
muda-se do quarto número "n"

00:01:47.337 --> 00:01:50.533
para o quarto "2n",

00:01:50.533 --> 00:01:54.168
ocupando apenas os quartos
dos infinitos números pares.

00:01:54.168 --> 00:01:55.953
Assim procedendo, ele desocupou

00:01:55.953 --> 00:01:58.891
todos os infinitos quartos 
dos números ímpares.

00:01:58.891 --> 00:02:00.309
que serão ocupados pelas pessoas

00:02:00.309 --> 00:02:02.828
que chegaram no ônibus infinito.

00:02:02.828 --> 00:02:05.111
Todo mundo fica feliz 
e os negócios do hotel

00:02:05.111 --> 00:02:06.899
prosperam mais do que nunca.

00:02:06.899 --> 00:02:08.604
Para falar a verdade, prosperam

00:02:08.604 --> 00:02:10.717
exatamente no mesmo montante de sempre,

00:02:10.717 --> 00:02:13.570
faturando um número infinito 
de dólares a cada noite.

00:02:14.030 --> 00:02:16.379
As notícias sobre este incrível hotel 
se espalham.

00:02:16.379 --> 00:02:19.138
Chegam pessoas de lugares distantes, 
de toda a parte.

00:02:19.148 --> 00:02:21.189
Uma noite acontece o inpensável.

00:02:21.189 --> 00:02:23.431
O gerente noturno olha para fora

00:02:23.431 --> 00:02:25.061
e vê uma fila infinita

00:02:25.061 --> 00:02:27.541
de ônibus infinitamente grandes,

00:02:27.541 --> 00:02:30.353
cada qual com um número contável 
de infinitos passageiros.

00:02:30.353 --> 00:02:31.410
O que ele pode fazer?

00:02:31.410 --> 00:02:32.913
Se ele não puder hospedá-los,

00:02:32.913 --> 00:02:34.231
o hotel perderá

00:02:34.231 --> 00:02:35.982
uma quantidade infinita de dinheiro

00:02:35.982 --> 00:02:37.979
e ele certamente perderá seu emprego.

00:02:37.979 --> 00:02:39.406
Por sorte, ele lembra

00:02:39.406 --> 00:02:41.814
que, por volta do ano 300 A.C.,

00:02:41.814 --> 00:02:45.165
Euclides provou que existe 
uma quantidade infinita

00:02:45.165 --> 00:02:47.215
de números primos.

00:02:47.215 --> 00:02:49.684
Então, para realizar a tarefa
aparentemente impossível

00:02:49.684 --> 00:02:51.005
de encontrar infinitos leitos

00:02:51.005 --> 00:02:52.309
para infinitos ônibus

00:02:52.309 --> 00:02:54.315
com infinitos passageiros cansados,

00:02:54.315 --> 00:02:57.063
o gerente noturno reserva 
a cada hóspede atual

00:02:57.063 --> 00:02:59.436
o primeiro número primo, 2,

00:02:59.436 --> 00:03:01.891
elevado à potência do número 
do seu quarto atual.

00:03:01.891 --> 00:03:04.559
Assim, o atual ocupante do quarto número 7

00:03:04.559 --> 00:03:07.565
vai para o quarto número 2^7,

00:03:07.565 --> 00:03:09.930
que é o quarto 128.

00:03:09.930 --> 00:03:12.023
O gerente noturno a seguir leva as pessoas

00:03:12.023 --> 00:03:13.781
do primeiro dos ônibus infinitos

00:03:13.781 --> 00:03:15.830
e as acomoda no quarto cujo número

00:03:15.830 --> 00:03:18.315
é o número primo seguinte, o 3,

00:03:18.315 --> 00:03:21.752
elevado à potência do número 
do seu assento no ônibus.

00:03:21.752 --> 00:03:25.283
Então, a pessoa no assento de número 7
no primeiro ônibus

00:03:25.283 --> 00:03:28.384
vai para o quarto número 3^7,

00:03:28.384 --> 00:03:31.634
ou o quarto número 2.187.

00:03:31.634 --> 00:03:34.093
Isto continua para todos 
os do primeiro ônibus.

00:03:34.093 --> 00:03:35.765
Aos passageiros do segundo ônibus

00:03:35.765 --> 00:03:39.434
são associadas potências 
do número primo seguinte, o 5.

00:03:39.434 --> 00:03:41.517
O próximo ônibus, potências de 7.

00:03:41.517 --> 00:03:42.945
Segue para cada ônibus:

00:03:42.945 --> 00:03:43.767
potências de 11,

00:03:43.767 --> 00:03:44.770
potências de 13,

00:03:44.770 --> 00:03:47.190
potências de 17, etc.

00:03:47.190 --> 00:03:48.674
Tendo em vista que cada um destes números

00:03:48.674 --> 00:03:51.352
tem apenas 1 valor único para as potências
dos números naturais

00:03:51.352 --> 00:03:53.237
de seus números primos tomados como base,

00:03:53.237 --> 00:03:55.410
não há superposição do número de quartos.

00:03:55.410 --> 00:03:58.533
Todos os passageiros dos ônibus 
distribuem-se pelos quartos

00:03:58.533 --> 00:04:00.870
usando esquemas de reservas únicos,

00:04:00.870 --> 00:04:03.510
baseados em números primos únicos.

00:04:03.510 --> 00:04:05.968
Desta forma, o gerente da noite 
pode acomodar

00:04:05.968 --> 00:04:07.870
cada passageiro de cada ônibus,

00:04:07.870 --> 00:04:10.806
embora muitos quartos permanecerão vazios,

00:04:10.806 --> 00:04:11.897
como o quarto 6,

00:04:11.897 --> 00:04:15.119
já que 6 não é uma potência 
de nenhum número primo.

00:04:15.119 --> 00:04:17.536
Felizmente, seus patrões não eram 
muito bons de matemática,

00:04:17.536 --> 00:04:19.178
de modo que seu emprego está a salvo.

00:04:19.178 --> 00:04:22.031
As estratégias do gerente noturno
são possíveis apenas

00:04:22.031 --> 00:04:23.983
porque, embora o Hotel Infinito

00:04:23.983 --> 00:04:26.204
seja com certeza um pesadelo logístico,

00:04:26.204 --> 00:04:29.981
ele lida apenas com o nível 
mais baixo do infinito,

00:04:29.981 --> 00:04:32.006
principalmente, o infinito contável

00:04:32.026 --> 00:04:33.537
dos números naturais,

00:04:33.537 --> 00:04:36.618
1, 2, 3, 4 e assim por diante.

00:04:36.618 --> 00:04:40.537
Georg Cantor chamou este nível 
de infinito aleph-zero.

00:04:40.537 --> 00:04:42.965
Usamos números naturais 
para os números dos quartos

00:04:42.965 --> 00:04:45.379
bem como para os números 
dos assentos dos ônibus.

00:04:45.633 --> 00:04:48.176
Se trabalharmos com 
ordens superiores de infinito,

00:04:48.176 --> 00:04:49.727
como aquela dos números reais,

00:04:49.727 --> 00:04:51.097
estas estratégias estruturadas

00:04:51.097 --> 00:04:52.564
não serão mais possíveis

00:04:52.564 --> 00:04:54.080
por não termos meios

00:04:54.080 --> 00:04:56.570
de incluir sistematicamente cada número.

00:04:56.570 --> 00:04:58.922
O Hotel Infinito do Número Real tem

00:04:58.922 --> 00:05:00.975
quartos com números negativos no subsolo,

00:05:00.975 --> 00:05:02.408
quartos com número fracionários,

00:05:02.408 --> 00:05:05.055
de modo que o cara 
do quarto 1/2 sempre desconfia

00:05:05.055 --> 00:05:07.205
que ele tem menos espaço 
do que aquele do quarto 1.

00:05:07.205 --> 00:05:10.332
Quartos numerados com raiz quadrada,
como o quarto radical 2

00:05:10.332 --> 00:05:11.462
e o quarto pi,

00:05:11.462 --> 00:05:14.609
onde os hóspedes esperam 
ter sobremesa grátis.

00:05:14.609 --> 00:05:16.189
Qual gerente que se preza

00:05:16.209 --> 00:05:17.474
desejaria trabalhar ali,

00:05:17.474 --> 00:05:19.012
mesmo com um salário infinito?

00:05:19.012 --> 00:05:20.797
Mas no Hotel Infinito de Hilbert,

00:05:20.797 --> 00:05:22.474
onde nunca nunca existe vaga

00:05:22.474 --> 00:05:24.050
e há sempre quarto para mais gente,

00:05:24.050 --> 00:05:26.426
os cenários enfrentados pelo gerente
sempre esforçado

00:05:26.426 --> 00:05:28.720
e talvez excessivamente hospitaleiro

00:05:28.720 --> 00:05:29.804
servem para nos lembrar

00:05:29.804 --> 00:05:31.150
do quanto é difícil

00:05:31.150 --> 00:05:33.652
para as nossas mentes 
relativamente finitas

00:05:33.652 --> 00:05:37.092
entender um conceito 
tão amplo como o infinito.

00:05:37.092 --> 00:05:38.695
Talvez você possa ajudar 
a resolver estes problemas

00:05:38.695 --> 00:05:40.534
depois de uma boa noite de sono.

00:05:40.534 --> 00:05:42.300
Mas, honestamente, talvez seja preciso

00:05:42.300 --> 00:05:45.054
que você troque de quarto 
às 2 horas da madrugada.