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O gráfico de f é
apresentado abaixo
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São mostrados um total de
24 retângulos à direita.
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O que quero dizer com
retângulos à direita?
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Há claramente 24 retângulos,
você pode contá-los.
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E retângulos à direita
significa que para cada
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um destes retângulos,
a altura do retângulo
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é definida pelo valor da função no lado
direito do intervalo do retângulo.
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Veja que esse é o lado direito
deste primeiro retângulo.
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E se tomar o valor
da função
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deste ponto, será a altura do
retângulo.
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Um retângulo pela esquerda
definiria a altura do retângulo
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pelo valor da função no lado
esquerdo do intervalo do retângulo.
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Então a altura de um retângulo
à esquerda seria
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o primeiro retângulo seria parecido
com isso.
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Este é o significado de retângulo
à direita.
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Muito bem, vemos oito retângulos azuis,
e 16 vermelhos.
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Todos os retângulos têm a
mesma largura.
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Quais das afirmações abaixo
são verdadeiras?
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São dadas três expressões em
notação sigma, que afirmam:
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A primeira é a soma das áreas
dos retângulos azuis.
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Esta é a soma das áreas
dos retângulos vermelhos.
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Esta é a soma das áreas
de todos os retângulos.
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Sugiro que agora você pare
o vídeo e tente
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determinar sozinho quais das
afirmações são verdadeiras.
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Assumo que você fez isto.
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Vamos analisar cada uma das
afirmações e ver se fazem sentido.
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Esta primeira, a soma das áreas dos
retângulos azuis.
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Sabemos que temos um, dois
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três, quatro, cinco, seis, sete
oito retângulos azuis.
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Estamos somando de um a oito,
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então parece que estamos somando
estas oito partes aqui.
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Isto é um, dois, três, quatro, cinco,
seis, sete, oito.
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Isto aqui está correto.
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E quando tomamos f de alguma
coisa vezes 1/2.
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E ainda sem olhar para o gráfico ,
parece que
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poderia ser a altura de cada
um dos retângulos.
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Lembre-se de que estamos tomando
o valor da função no lado direito.
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Para a altura, e esta seria a largura.
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Então, faz sentido que a largura
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de cada um dos retângulos seja 1/2.
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Bem, a distância total entre x igual a
menos cinco e
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x igual a sete, é de 12,
cinco mais sete.
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Isso é 12 e vamos dividir em 24
retângulos de larguras iguais.
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Se você dividir 12 por
24 cada um deles
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terá uma largura de 1/2.
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Isto está certo - 1/2 - e agora
vamos pensar sobre esta parte.
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Vamos pensar sobre f de menos cinco
mais i sobre dois.
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Vamos ver, quando i é igual
a um.
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Vamos tomar 1/2 vezes f de
menos cinco mais um sobre dois.
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Certo?
i é um.
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Então cinco negativo mais 1/2
nos levará a este ponto bem aqui.
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f disto será esta distância,
esta altura,
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bem aqui, e isto seria
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consistente com esses retângulos
à direita.
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Este é realmente verdadeiro.
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Quando i é igual a um, estamos
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realmente encontrando
esta área aqui.
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Quando i é igual a dois, será
menos cinco mais dois sobre dois.
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Então dois sobre dois, vamos somar um
vamos por aqui e então
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mais uma vez estamos fazendo 1/2,
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que é este aqui, esta é a largura, vezes
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f de cinco negativo mais dois sobre dois
que é
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f de quatro negativo, que é
esta altura aqui.
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Mais uma vez, esta é a área.
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Você pode continuar isso.
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Cada vez que calculamos a função,
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este primeiro é menos cinco
mais 1/2.
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E para cada incremento, estamos
somando 1/2 a --
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Acho que o lado à direita é a
única forma de pensar sobre isso --
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Realmente faz todo o sentido.
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E estamos fazendo isto para os oito
primeiros, então é realmente verdade.
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Esta é a soma das áreas dos
retângulos azuis.
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Agora vamos ver a soma das
áreas dos retângulos vermelhos.
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A princípio parece muito interessante.
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Estamos somando 16 coisas.
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E de fato temos 16 coisas aqui.
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Nós temos a largura de cada uma
dessas 16 partes, ou
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para cada uma delas, queremos
calcular uma área.
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E é fato que cada um deles tem uma
largura de 1/2.
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Mas o que acontece se tomarmos f
de um negativo mais i sobre dois ?
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Estamos começando bem aqui:
menos um,
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menos 1 mais i sobre dois .
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Quando i é igual a um, estaremos
neste ponto bem aqui.
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E f disso será - você
poderia dizer:
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- esta não é a altura
daquele retângulo?
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Quando i é igual a dois, não será esta
a altura daquele retângulo?
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e quando i é igual a três, não será
a altura daquele retângulo?
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E aqui temos que ser bastante
cuidadosos.
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Eles terão
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o mesmo valor absoluto,
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mas serão valores negativos.
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Estes valores serão todos negativos,
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porque entre este valor da nossa função --
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isso parece menos 1/2 --
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até o sete,
nossa função é realmente negativa.
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Então, um jeito de pensar seria
ter alturas negativas,
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e quando você multiplica estas duas coisas,
você terá um número negativo.
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Então toda esta parte
será um número negativo.
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E você terá o negativo
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da soma das áreas dos
retângulos vermelhos.
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Mas isto não é a mesma coisa que a soma
das áreas dos retângulos vermelhos.
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Uma área, pelo bom senso,
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você espera que seja
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-- se quisesse saber qual a área,
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quanto carpete precisa
para cobrir esta área
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diriam a você valor positivo,
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mas esta será a versão negativa disto --
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Então, esta não é a soma das áreas
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dos retângulos vermelhos, é o negativo
das áreas dos retângulos vermelhos.
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Assim, determinamos que esta é falsa.
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E esta última, a expressão
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é a soma das áreas de todos
os retângulos, e vai de i
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igual a um até 24,
então são 24 partes
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Começa aqui e segue.
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Se fosse dito de i igual a um
até igual a oito
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seria a primeira afirmação, mas
então recaímos
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na situação anterior, em que
a partir de i igual a nove
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esta parte aqui será negativa.
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E vai dar a área negativa.
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E o resultado final será esta
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área positiva contra esta
área negativa aqui.
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Então, não é a soma das
áreas de todos os retângulos.
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É essa área menos essa área aqui.
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Legendado por Irene Rzezak
Revisado por Evelin Farias e Khallil Fernandes
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