O gráfico de f é apresentado abaixo São mostrados um total de 24 retângulos à direita. O que quero dizer com retângulos à direita? Há claramente 24 retângulos, você pode contá-los. E retângulos à direita significa que para cada um destes retângulos, a altura do retângulo é definida pelo valor da função no lado direito do intervalo do retângulo. Veja que esse é o lado direito deste primeiro retângulo. E se tomar o valor da função deste ponto, será a altura do retângulo. Um retângulo pela esquerda definiria a altura do retângulo pelo valor da função no lado esquerdo do intervalo do retângulo. Então a altura de um retângulo à esquerda seria o primeiro retângulo seria parecido com isso. Este é o significado de retângulo à direita. Muito bem, vemos oito retângulos azuis, e 16 vermelhos. Todos os retângulos têm a mesma largura. Quais das afirmações abaixo são verdadeiras? São dadas três expressões em notação sigma, que afirmam: A primeira é a soma das áreas dos retângulos azuis. Esta é a soma das áreas dos retângulos vermelhos. Esta é a soma das áreas de todos os retângulos. Sugiro que agora você pare o vídeo e tente determinar sozinho quais das afirmações são verdadeiras. Assumo que você fez isto. Vamos analisar cada uma das afirmações e ver se fazem sentido. Esta primeira, a soma das áreas dos retângulos azuis. Sabemos que temos um, dois três, quatro, cinco, seis, sete oito retângulos azuis. Estamos somando de um a oito, então parece que estamos somando estas oito partes aqui. Isto é um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito. Isto aqui está correto. E quando tomamos f de alguma coisa vezes 1/2. E ainda sem olhar para o gráfico , parece que poderia ser a altura de cada um dos retângulos. Lembre-se de que estamos tomando o valor da função no lado direito. Para a altura, e esta seria a largura. Então, faz sentido que a largura de cada um dos retângulos seja 1/2. Bem, a distância total entre x igual a menos cinco e x igual a sete, é de 12, cinco mais sete. Isso é 12 e vamos dividir em 24 retângulos de larguras iguais. Se você dividir 12 por 24 cada um deles terá uma largura de 1/2. Isto está certo - 1/2 - e agora vamos pensar sobre esta parte. Vamos pensar sobre f de menos cinco mais i sobre dois. Vamos ver, quando i é igual a um. Vamos tomar 1/2 vezes f de menos cinco mais um sobre dois. Certo? i é um. Então cinco negativo mais 1/2 nos levará a este ponto bem aqui. f disto será esta distância, esta altura, bem aqui, e isto seria consistente com esses retângulos à direita. Este é realmente verdadeiro. Quando i é igual a um, estamos realmente encontrando esta área aqui. Quando i é igual a dois, será menos cinco mais dois sobre dois. Então dois sobre dois, vamos somar um vamos por aqui e então mais uma vez estamos fazendo 1/2, que é este aqui, esta é a largura, vezes f de cinco negativo mais dois sobre dois que é f de quatro negativo, que é esta altura aqui. Mais uma vez, esta é a área. Você pode continuar isso. Cada vez que calculamos a função, este primeiro é menos cinco mais 1/2. E para cada incremento, estamos somando 1/2 a -- Acho que o lado à direita é a única forma de pensar sobre isso -- Realmente faz todo o sentido. E estamos fazendo isto para os oito primeiros, então é realmente verdade. Esta é a soma das áreas dos retângulos azuis. Agora vamos ver a soma das áreas dos retângulos vermelhos. A princípio parece muito interessante. Estamos somando 16 coisas. E de fato temos 16 coisas aqui. Nós temos a largura de cada uma dessas 16 partes, ou para cada uma delas, queremos calcular uma área. E é fato que cada um deles tem uma largura de 1/2. Mas o que acontece se tomarmos f de um negativo mais i sobre dois ? Estamos começando bem aqui: menos um, menos 1 mais i sobre dois . Quando i é igual a um, estaremos neste ponto bem aqui. E f disso será - você poderia dizer: - esta não é a altura daquele retângulo? Quando i é igual a dois, não será esta a altura daquele retângulo? e quando i é igual a três, não será a altura daquele retângulo? E aqui temos que ser bastante cuidadosos. Eles terão o mesmo valor absoluto, mas serão valores negativos. Estes valores serão todos negativos, porque entre este valor da nossa função -- isso parece menos 1/2 -- até o sete, nossa função é realmente negativa. Então, um jeito de pensar seria ter alturas negativas, e quando você multiplica estas duas coisas, você terá um número negativo. Então toda esta parte será um número negativo. E você terá o negativo da soma das áreas dos retângulos vermelhos. Mas isto não é a mesma coisa que a soma das áreas dos retângulos vermelhos. Uma área, pelo bom senso, você espera que seja -- se quisesse saber qual a área, quanto carpete precisa para cobrir esta área diriam a você valor positivo, mas esta será a versão negativa disto -- Então, esta não é a soma das áreas dos retângulos vermelhos, é o negativo das áreas dos retângulos vermelhos. Assim, determinamos que esta é falsa. E esta última, a expressão é a soma das áreas de todos os retângulos, e vai de i igual a um até 24, então são 24 partes Começa aqui e segue. Se fosse dito de i igual a um até igual a oito seria a primeira afirmação, mas então recaímos na situação anterior, em que a partir de i igual a nove esta parte aqui será negativa. E vai dar a área negativa. E o resultado final será esta área positiva contra esta área negativa aqui. Então, não é a soma das áreas de todos os retângulos. É essa área menos essa área aqui. Legendado por Irene Rzezak Revisado por Evelin Farias e Khallil Fernandes