O gráfico de f é apresentado abaixo
São mostrados um total de 24 retângulos à direita.
O que quero dizer com retângulos à direita?
Há claramente 24 retângulos, você pode contá-los.
E retângulos à direita significa que para cada
um destes retângulos, a altura do retângulo
é definida pelo valor da função no lado direito do intervalo do retângulo.
Veja que esse é o lado direito deste primeiro retângulo.
E se tomar o valor da função
deste ponto, será a altura do retângulo.
Um retângulo pela esquerda definiria a altura do retângulo
pelo valor da função no lado esquerdo do intervalo do retângulo.
Então a altura de um retângulo à esquerda seria
o primeiro retângulo seria parecido com isso.
Este é o significado de retângulo à direita.
Muito bem, vemos oito retângulos azuis, e 16 vermelhos.
Todos os retângulos têm a mesma largura.
Quais das afirmações abaixo são verdadeiras?
São dadas três expressões em notação sigma, que afirmam:
A primeira é a soma das áreas dos retângulos azuis.
Esta é a soma das áreas dos retângulos vermelhos.
Esta é a soma das áreas de todos os retângulos.
Sugiro que agora você pare o vídeo e tente
determinar sozinho quais das afirmações são verdadeiras.
Assumo que você fez isto.
Vamos analisar cada uma das afirmações e ver se fazem sentido.
Esta primeira, a soma das áreas dos retângulos azuis.
Sabemos que temos um, dois
três, quatro, cinco, seis, sete oito retângulos azuis.
Estamos somando de um a oito,
então parece que estamos somando estas oito partes aqui.
Isto é um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito.
Isto aqui está correto.
E quando tomamos f de alguma coisa vezes 1/2.
E ainda sem olhar para o gráfico , parece que
poderia ser a altura de cada um dos retângulos.
Lembre-se de que estamos tomando o valor da função no lado direito.
Para a altura, e esta seria a largura.
Então, faz sentido que a largura
de cada um dos retângulos seja 1/2.
Bem, a distância total entre x igual a menos cinco e
x igual a sete, é de 12, cinco mais sete.
Isso é 12 e vamos dividir em 24 retângulos de larguras iguais.
Se você dividir 12 por 24 cada um deles
terá uma largura de 1/2.
Isto está certo - 1/2 - e agora vamos pensar sobre esta parte.
Vamos pensar sobre f de menos cinco mais i sobre dois.
Vamos ver, quando i é igual a um.
Vamos tomar 1/2 vezes f de menos cinco mais um sobre dois.
Certo? i é um.
Então cinco negativo mais 1/2 nos levará a este ponto bem aqui.
f disto será esta distância, esta altura,
bem aqui, e isto seria
consistente com esses retângulos à direita.
Este é realmente verdadeiro.
Quando i é igual a um, estamos
realmente encontrando esta área aqui.
Quando i é igual a dois, será menos cinco mais dois sobre dois.
Então dois sobre dois, vamos somar um vamos por aqui e então
mais uma vez estamos fazendo 1/2,
que é este aqui, esta é a largura, vezes
f de cinco negativo mais dois sobre dois que é
f de quatro negativo, que é esta altura aqui.
Mais uma vez, esta é a área.
Você pode continuar isso.
Cada vez que calculamos a função,
este primeiro é menos cinco mais 1/2.
E para cada incremento, estamos somando 1/2 a --
Acho que o lado à direita é a única forma de pensar sobre isso --
Realmente faz todo o sentido.
E estamos fazendo isto para os oito primeiros, então é realmente verdade.
Esta é a soma das áreas dos retângulos azuis.
Agora vamos ver a soma das áreas dos retângulos vermelhos.
A princípio parece muito interessante.
Estamos somando 16 coisas.
E de fato temos 16 coisas aqui.
Nós temos a largura de cada uma dessas 16 partes, ou
para cada uma delas, queremos calcular uma área.
E é fato que cada um deles tem uma largura de 1/2.
Mas o que acontece se tomarmos f de um negativo mais i sobre dois ?
Estamos começando bem aqui: menos um,
menos 1 mais i sobre dois .
Quando i é igual a um, estaremos neste ponto bem aqui.
E f disso será - você poderia dizer:
- esta não é a altura daquele retângulo?
Quando i é igual a dois, não será esta a altura daquele retângulo?
e quando i é igual a três, não será a altura daquele retângulo?
E aqui temos que ser bastante cuidadosos.
Eles terão
o mesmo valor absoluto,
mas serão valores negativos.
Estes valores serão todos negativos,
porque entre este valor da nossa função --
isso parece menos 1/2 --
até o sete, nossa função é realmente negativa.
Então, um jeito de pensar seria ter alturas negativas,
e quando você multiplica estas duas coisas, você terá um número negativo.
Então toda esta parte será um número negativo.
E você terá o negativo
da soma das áreas dos retângulos vermelhos.
Mas isto não é a mesma coisa que a soma das áreas dos retângulos vermelhos.
Uma área, pelo bom senso,
você espera que seja
-- se quisesse saber qual a área,
quanto carpete precisa para cobrir esta área
diriam a você valor positivo,
mas esta será a versão negativa disto --
Então, esta não é a soma das áreas
dos retângulos vermelhos, é o negativo das áreas dos retângulos vermelhos.
Assim, determinamos que esta é falsa.
E esta última, a expressão
é a soma das áreas de todos os retângulos, e vai de i
igual a um até 24, então são 24 partes
Começa aqui e segue.
Se fosse dito de i igual a um até igual a oito
seria a primeira afirmação, mas então recaímos
na situação anterior, em que a partir de i igual a nove
esta parte aqui será negativa.
E vai dar a área negativa.
E o resultado final será esta
área positiva contra esta área negativa aqui.
Então, não é a soma das áreas de todos os retângulos.
É essa área menos essa área aqui.
Legendado por Irene Rzezak Revisado por Evelin Farias e Khallil Fernandes