< Return to Video

Calculating dot and cross products with unit vector notation

  • 0:01 - 0:03
    עד עכשיו, כשראינו את המכפלה הסקלרית
  • 0:03 - 0:06
    והווקטורית, נתתי לכם את ההגדרה כמכפלת
  • 0:06 - 0:09
    ההערכים המוחלטים, כפול הקוסינוס, או הסינוס,
  • 0:09 - 0:10
    של הזווית שבין הווקטורים.
  • 0:10 - 0:12
    מה קורה אם אנו לא יכולים לראות את הווקטורים?
  • 0:12 - 0:14
    מה קורה אם לא נתונה הזווית שביניהם?
  • 0:14 - 0:17
    איך מחשבים, במקרה זה, את המכפלה הסקלרית
    והווקטורית?
  • 0:17 - 0:19
    אני אחזור על ההגדרות
  • 0:19 - 0:20
    שכבר ראינו.
  • 0:20 - 0:27
    המכפלה הסקלרית של a עם b,
  • 0:27 - 0:32
    שווה לערך המוחלט של a, כפול הערך
    המוחלט של b, כפול
  • 0:32 - 0:34
    קוסינוס הזווית שביניהם.
  • 0:34 - 0:40
    המכפלה הווקטורית של a עם b, שווה לערך
    המוחלט של a, כפול
  • 0:40 - 0:45
    הערך המוחלט של b, כפול סינוס הזווית שביניהם -
  • 0:45 - 0:48
    ההיטלים המאונכים שלהם - כפול הווקטור
  • 0:48 - 0:50
    הנורמלי, המאונך לשניהם.
  • 0:50 - 0:54
    וקטור היחידה הנורמלי, שאת כוונו המדויק
  • 0:54 - 0:56
    קובעים בעזרת
  • 0:56 - 0:57
    כלל יד ימין.
  • 0:57 - 1:00
    מה קורה אם
  • 1:00 - 1:02
    אין לנו את הזווית שבין הווקטורים?
  • 1:02 - 1:05
    מה קורה, אם לדוגמה, אתן
  • 1:05 - 1:10
    לכם את הווקטורים בכתיב ההנדסי שלהם?
  • 1:10 - 1:12
    בכתיב ההנדסי, אנו בעצם
  • 1:12 - 1:16
    כותבים את הווקטור לפי רכיבי y, x ו- z שלו.
  • 1:16 - 1:24
    נגיד שווקטור a הוא 5i - כאשר i הוא וקטור היחידה
  • 1:24 - 1:32
    בכוון x, מינוס 6j, ועוד 3k.
  • 1:34 - 1:37
    הווקטורים j, i ו- k הם וקטורי היחידה בכוונים של x,
  • 1:37 - 1:39
    של y ושל z, בהתאמה.
  • 1:39 - 1:41
    המספר 5 מבטא מה גודלו של וקטור a בכוון x.
  • 1:41 - 1:43
    המינוס 6 מבטא את גולו של וקטור a בכוון y.
  • 1:43 - 1:46
    ו- 3 מבטא את גודלו של וקטור a בכוון z.
  • 1:46 - 1:47
    אתם יכולים לנסות לצייר את זה בגרף.
  • 1:47 - 1:49
    אני מנסה להשיג מחשבון גרפי
  • 1:49 - 1:51
    כדי לעשות את זה, כדי להראות לכם את זה
    בסירטונים,
  • 1:51 - 1:53
    כך שתבינו את זה יותר טוב.
  • 1:53 - 1:54
    נגיד שזה מה שנתון.
  • 1:54 - 2:00
    נגיד שווקטור b הוא
  • 2:00 - 2:04
    מינוס 2i - אנו מתעסקים כרגע בשלושה
  • 2:04 - 2:14
    ממדים - ועוד 7j, ועוד 4k.
  • 2:14 - 2:16
    אתם יכולים לצייר את זה.
  • 2:16 - 2:19
    אם הייתה נתונה לכם שאלה של חיבור וקטורים,
  • 2:19 - 2:22
    והייתם מנסים לצייר את הווקטורים בהדמיית
  • 2:22 - 2:24
    מחשב, זאת הדרך בה הייתם עושים את זה:
  • 2:24 - 2:26
    הייתם מפרקים אותם לרכיבים y, x ו- z שלהם,
  • 2:26 - 2:27
    והייתם מחברים אותם.
  • 2:27 - 2:29
    הייתם צריכים רק לחבר את הרכיבים המתאימים.
  • 2:29 - 2:31
    מה היה קורה, אם הייתם צריכים להכפיל אותם
  • 2:31 - 2:33
    במכפלה סקלרית או וקטורית?
  • 2:33 - 2:35
    אני לא הולך להוכיח לכם את זה,
  • 2:35 - 2:36
    אלא רק להראות לכם איך לעשות את זה.
  • 2:36 - 2:38
    קל מאד לבצע את המכפלה הסקלרית,
  • 2:38 - 2:40
    כשהווקטורים נתונים בכתיב ההנדסי.
  • 2:40 - 2:42
    דרך נוספת להציג את הכתיב הזה,
  • 2:42 - 2:43
    היא לפעמים בסימון של סוגריים.
  • 2:43 - 2:47
    לפעמים כותבים את זה ב- מינוס 5, 6, 3.
  • 2:47 - 2:49
    אלה הערכים המוחלטים של כווני y, x ו- z.
  • 2:49 - 2:53
    אני מקווה שנוח לכם עם
  • 2:53 - 2:54
    צורות ההצגה השונות.
  • 2:54 - 2:57
    ניתן לכתוב את b כמינוס 2, 7, 4.
  • 2:57 - 2:58
    אלה כולם אותם הדברים.
  • 2:58 - 3:01
    אין לכם סיבה להירתע, אם אתם פוגשים את
    אחת מהן.
  • 3:01 - 3:05
    בכל מקרה, איך אני מחשב את המכפלה
  • 3:05 - 3:08
    הסקלרית של a עם b?
  • 3:08 - 3:11
    אתם תראו שזה מאד נחמד.
  • 3:11 - 3:15
    כל מה שעליכם לעשות הוא, להכפיל את
    רכיבי ה- i, לחבר את זה
  • 3:15 - 3:18
    למכפלת רכיבי ה- j, ואז לחבר את
  • 3:18 - 3:20
    זה למכפלת רכיבי ה- k.
  • 3:20 - 3:34
    זה יהיה, 5 כפול מינוס 2, פלוס 6 כפול 7, פלוס
  • 3:34 - 3:45
    3 כפול 4, וזה שווה למינוס 10, מינוס 42, פלוס 12.
  • 3:45 - 3:52
    זה מינוס 52 פלוס 12, וזה שווה למינוס 42.
  • 3:52 - 3:53
    זהו זה.
  • 3:53 - 3:55
    זה רק מספר.
  • 3:55 - 3:57
    אני סקרן לראות את זה בתוכנה גרפית
  • 3:57 - 4:01
    תלת ממדית, כדי להבין למה זה מינוס.
  • 4:01 - 4:04
    הם וודאי הולכים בכוונים הפוכים.
  • 4:04 - 4:06
    ההיטלים של אחד על השני הולכים בכוונים הפוכים.
  • 4:06 - 4:08
    זאת הסיבה שמקבלים מספר שלילי.
  • 4:11 - 4:13
    אני לא רוצה להתעמק בנושא הזה. המטרה היא
  • 4:13 - 4:15
    להראות לכם איך לחשב את המכפלה
  • 4:15 - 4:16
    בצורה ישירה.
  • 4:16 - 4:19
    אתם מכפילים את רכיבי ה- x,
  • 4:19 - 4:22
    מחברים את זה למכפלת רכיבי ה- y, ואז
  • 4:22 - 4:24
    מחברים את זה למכפלת רכיבי ה- z.
  • 4:24 - 4:26
    כשתקבלו וקטורים בכתיב הנדסי, או
  • 4:26 - 4:28
    בכתיב סוגריים, ועליכם לחשב את המכפלה
  • 4:28 - 4:34
    הסקלרית, זה די ישיר, וקשה לטעות.
  • 4:34 - 4:37
    לעומת זאת, כפי שתראו עוד מעט, כשהווקטורים
  • 4:37 - 4:40
    נתונים בצורה הזאת, המכפלה הווקטורית אינה
  • 4:40 - 4:41
    כל כך פשוטה.
  • 4:41 - 4:44
    שימו לב, שדרך אחרת לבצע את המכפלה
  • 4:44 - 4:46
    הווקטורית, היא לחשב את הערכים המוחלטים של
  • 4:46 - 4:49
    כל אחד מהווקטורים, ולמצוא דרך חישובים
  • 4:49 - 4:52
    טריגונומטריים מתוחכמים, את הזווית שביניהם,
  • 4:52 - 4:53
    ולהשתמש בנוסחה הזאת.
  • 4:53 - 4:56
    אני מניח שאתם תעריכו את העובדה שהדרך
  • 4:56 - 4:57
    הזאת הרבה יותר פשוטה.
  • 4:57 - 4:59
    כיף לחשב את המכפלה סקלרית.
  • 4:59 - 5:03
    בואו נראה מה לעשות עם המכפלה הווקטורית.
  • 5:03 - 5:04
    אני לא הולך להוכיח את זה.
  • 5:04 - 5:06
    אני רק אראה לכם איך לעשות את זה.
  • 5:06 - 5:09
    אוכיח את זה באחד
  • 5:09 - 5:12
    הסירטונים בעתיד.
  • 5:12 - 5:15
    המכפלה הווקטורית יותר מסובכת.
  • 5:15 - 5:18
    אני לא כל כך שמח לבצע את המכפלה
  • 5:18 - 5:20
    הווקטורית של שני וקטורים בכתיב הנדסי.
  • 5:20 - 5:23
    המכפלה הווקטורית של a עם b.
  • 5:23 - 5:24
    שווה.
  • 5:24 - 5:28
    זה יישום של חשבון מטריצות.
  • 5:28 - 5:32
    לוקחים את הדטרמיננטה - אצייר קו
  • 5:32 - 5:34
    ארוך לדטרמיננטה - בשורה הראשונה של
    הדטרמיננטה.
  • 5:34 - 5:36
    אני מנסה להראות לכם דרך
  • 5:36 - 5:37
    קלה לזכור.
  • 5:37 - 5:39
    זה לא משפר את ההבנה, אבל מה
  • 5:39 - 5:42
    שחשוב הוא להבין את ההגדרה:
  • 5:42 - 5:44
    בכמה הווקטורים מאונכים זה לזה,
  • 5:44 - 5:46
    להכפיל את הערכים המוחלטים האלה,
  • 5:46 - 5:47
    ולמצוא את הכוון בעזרת
  • 5:47 - 5:48
    כלל יד ימין.
  • 5:48 - 5:51
    כשהווקטורים נתונים בכתיב ההנדסי,
  • 5:51 - 5:56
    כותבים את וקטורי היחידה, k, j, i, בשורה
    הראשונה
  • 5:56 - 6:00
    הווקטורים k, j, i.
  • 6:00 - 6:02
    רשומים את הווקטור הראשון בשורה השנייה,
  • 6:02 - 6:04
    כי הסדר משנה.
  • 6:04 - 6:10
    זה 5, מינוס 6, 3.
  • 6:10 - 6:12
    אז, רושמים את הווקטור השני, b, בשורה השלישית,
  • 6:12 - 6:17
    מינוס 2, 7, 4.
  • 6:17 - 6:20
    לוקחים את הדטרמיננטה של המטריצה הזאת,
    שהיא 3 על 3.
  • 6:20 - 6:21
    איך עושים את זה?
  • 6:21 - 6:26
    זה שווה לתת הדטרמיננטה של i.
  • 6:26 - 6:28
    תת הדטרמיננטה של i: מתעלמים
    מהעמודה הזאת,
  • 6:28 - 6:32
    ומהשורה הזאת, הדטרמיננטה הנשארת היא
  • 6:32 - 6:41
    מינוס 6, 3, 7, 4, כפול i - אולי כדאי שתעשו חזרה
  • 6:41 - 6:43
    בנושא דטרמיננטות אם אתם לא זוכרים איך
  • 6:43 - 6:48
    לעשות את זה. קצת תירגול ישפר את הזכרון
    שלכם.
  • 6:48 - 6:51
    זכרו, זה פלוס, מינוס, פלוס.
  • 6:51 - 6:54
    עכשיו, מינוס תת הדטרמיננטה של j.
  • 6:54 - 6:56
    מהי תת הדטרמיננטה של j?
  • 6:56 - 6:57
    מתעלמים מהשורה ומהעמודה של j.
  • 6:57 - 7:01
    יש לנו 5, 3, מינוס 2, 4.
  • 7:05 - 7:08
    התעלמנו מהשורה ומהעמודה של j.
  • 7:08 - 7:10
    מה שנשאר, אלה המספרים המופיעים
  • 7:10 - 7:11
    בתת הדטרמיננטה שלו.
  • 7:11 - 7:13
    ככה אני קורא לזה.
  • 7:13 - 7:18
    כפול j. אני רוצה לרשום את כולם באותו קו, כדי
  • 7:18 - 7:20
    שזה יהיה קצת יותר ברור.
  • 7:20 - 7:21
    פלוס תת הדטרמיננטה של k.
  • 7:21 - 7:23
    מתעלמים מהשורה ומהעמודה של k.
  • 7:23 - 7:35
    נשאר לנו 5, מינוס 6, מינוס 2 ו- 7, כפול k.
  • 7:35 - 7:37
    בואו נחשב את זה.
  • 7:37 - 7:39
    אני רוצה למחוק קצת,
  • 7:39 - 7:41
    כי כתבתי גדול מדי.
  • 7:41 - 7:44
    אנו לא צריכים את זה יותר.
  • 7:44 - 7:46
    מה מקבלים?
  • 7:46 - 7:49
    ניקח את זה לכאן, למעלה.
  • 7:49 - 7:52
    הדטרמיננטות האלה, 2 על 2, הן די קלות.
  • 7:52 - 7:59
    זה מינוס 6 כפול 4, מינוס 7 כפול 3.
  • 7:59 - 8:00
    אני תמיד טועה כאן, בגלל רשלנות.
  • 8:00 - 8:11
    מינוס 24 מינוס 21 כפול i, מינוס 5 כפול 4 זה 20,
  • 8:11 - 8:23
    מינוס מינוס 2 כפול 3, אז מינוס מינוס 6 j, ועוד
    5 כפול 7, 35
  • 8:23 - 8:26
    מינוס מינוס 2 כפול מינוס 6.
  • 8:26 - 8:29
    זה מינוס 12 k.
  • 8:29 - 8:34
    ניתן לפשט את זה. זה שווה מינוס 24 מינוס 21.
  • 8:34 - 8:41
    זה מינוס 35 - אני לא צריך לשים סוגריים - i,
  • 8:41 - 8:44
    כמה זה 20 מינוס מינוס 6, זה 26.
  • 8:44 - 8:47
    זה 20 ועוד 6, 26.
  • 8:47 - 8:48
    יש לנו כאן מינוס.
  • 8:48 - 8:52
    זה מינוס 26j.
  • 8:52 - 8:54
    כמה זה 35 מינוס 12, זה 23.
  • 8:54 - 8:57
    ועוד 23k.
  • 8:57 - 8:59
    זאת המכפלה הווקטרוית.
  • 8:59 - 9:01
    אם הייתם משרטטים את זה בשלושה ממדים,
  • 9:01 - 9:04
    תראו - וזה מה שמעניין - תראו שהווקטור הזה,
  • 9:04 - 9:09
    אם החשבון שעשיתי נכון, מינוס 35i, מינוס 26j,
  • 9:09 - 9:16
    ועוד 23k, מאונך לשני הווקטורים המקוריים.
  • 9:16 - 9:19
    אני חושב שאפסיק כאן,
  • 9:19 - 9:20
    ונתראה בסירטון הבא.
  • 9:20 - 9:23
    אני מקווה שאוכל להשיג תוכנה גרפית לווקטורים.
  • 9:23 - 9:26
    אני חושב שזה יהיה נחמד לחשב את המכפלה
  • 9:26 - 9:29
    הסקלרית והווקטורית בשיטה הזאת,
  • 9:29 - 9:31
    ואז לשרטט את הגרפים.
  • 9:31 - 9:32
    זה יראה לכם שזה אכן עובד.
  • 9:32 - 9:37
    שהווקטור הזה הוא אכן מאונך לשני אלה,
  • 9:37 - 9:41
    ומצביע לכוון אותו ניתן לקבל בעזרת
  • 9:41 - 9:43
    כלל יד ימין.
  • 9:43 - 9:44
    להתראות בסירטון הבא.
Title:
Calculating dot and cross products with unit vector notation
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:47

Hebrew subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.