1
00:00:00,760 --> 00:00:03,130
עד עכשיו, כשראינו את המכפלה הסקלרית

2
00:00:03,130 --> 00:00:06,440
והווקטורית, נתתי לכם את ההגדרה כמכפלת

3
00:00:06,440 --> 00:00:08,710
ההערכים המוחלטים, כפול הקוסינוס, או הסינוס,

4
00:00:08,710 --> 00:00:10,220
של הזווית שבין הווקטורים.

5
00:00:10,220 --> 00:00:12,430
מה קורה אם אנו לא יכולים לראות את הווקטורים?

6
00:00:12,430 --> 00:00:14,210
מה קורה אם לא נתונה הזווית שביניהם?

7
00:00:14,210 --> 00:00:17,240
איך מחשבים, במקרה זה, את המכפלה הסקלרית
והווקטורית?

8
00:00:17,240 --> 00:00:19,160
אני אחזור על ההגדרות

9
00:00:19,160 --> 00:00:20,000
שכבר ראינו.

10
00:00:20,000 --> 00:00:26,710
המכפלה הסקלרית של a עם b,

11
00:00:26,710 --> 00:00:31,610
שווה לערך המוחלט של a, כפול הערך
המוחלט של b, כפול

12
00:00:31,610 --> 00:00:34,200
קוסינוס הזווית שביניהם.

13
00:00:34,200 --> 00:00:39,730
המכפלה הווקטורית של a עם b, שווה לערך
המוחלט של a, כפול

14
00:00:39,730 --> 00:00:44,670
הערך המוחלט של b, כפול סינוס הזווית שביניהם -

15
00:00:44,670 --> 00:00:48,360
ההיטלים המאונכים שלהם - כפול הווקטור

16
00:00:48,360 --> 00:00:50,130
הנורמלי, המאונך לשניהם.

17
00:00:50,130 --> 00:00:53,750
וקטור היחידה הנורמלי, שאת כוונו המדויק

18
00:00:53,750 --> 00:00:55,500
קובעים בעזרת

19
00:00:55,500 --> 00:00:56,620
כלל יד ימין.

20
00:00:56,620 --> 00:01:00,170
מה קורה אם

21
00:01:00,170 --> 00:01:02,090
אין לנו את הזווית שבין הווקטורים?

22
00:01:02,090 --> 00:01:04,760
מה קורה, אם לדוגמה, אתן

23
00:01:04,760 --> 00:01:09,990
לכם את הווקטורים בכתיב ההנדסי שלהם?

24
00:01:09,990 --> 00:01:12,090
בכתיב ההנדסי, אנו בעצם

25
00:01:12,090 --> 00:01:16,270
כותבים את הווקטור לפי רכיבי y, x ו- z שלו.

26
00:01:16,270 --> 00:01:23,580
נגיד שווקטור a הוא 5i - כאשר i הוא וקטור היחידה

27
00:01:23,580 --> 00:01:31,890
בכוון x, מינוס 6j, ועוד 3k.

28
00:01:34,240 --> 00:01:37,230
הווקטורים j, i ו- k הם וקטורי היחידה בכוונים של x,

29
00:01:37,230 --> 00:01:38,760
של y ושל z, בהתאמה.

30
00:01:38,760 --> 00:01:41,120
המספר 5 מבטא מה גודלו של וקטור a בכוון x.

31
00:01:41,120 --> 00:01:43,400
המינוס 6 מבטא את גולו של וקטור a בכוון y.

32
00:01:43,400 --> 00:01:45,600
ו- 3 מבטא את גודלו של וקטור a בכוון z.

33
00:01:45,600 --> 00:01:47,470
אתם יכולים לנסות לצייר את זה בגרף.

34
00:01:47,470 --> 00:01:48,960
אני מנסה להשיג מחשבון גרפי

35
00:01:48,960 --> 00:01:51,370
כדי לעשות את זה, כדי להראות לכם את זה
בסירטונים,

36
00:01:51,370 --> 00:01:52,800
כך שתבינו את זה יותר טוב.

37
00:01:52,800 --> 00:01:54,090
נגיד שזה מה שנתון.

38
00:01:54,090 --> 00:02:00,100
נגיד שווקטור b הוא

39
00:02:00,100 --> 00:02:04,170
מינוס 2i - אנו מתעסקים כרגע בשלושה

40
00:02:04,170 --> 00:02:14,480
ממדים - ועוד 7j, ועוד 4k.

41
00:02:14,480 --> 00:02:15,970
אתם יכולים לצייר את זה.

42
00:02:15,970 --> 00:02:19,030
אם הייתה נתונה לכם שאלה של חיבור וקטורים,

43
00:02:19,030 --> 00:02:21,700
והייתם מנסים לצייר את הווקטורים בהדמיית

44
00:02:21,700 --> 00:02:23,510
מחשב, זאת הדרך בה הייתם עושים את זה:

45
00:02:23,510 --> 00:02:25,690
הייתם מפרקים אותם לרכיבים y, x ו- z שלהם,

46
00:02:25,690 --> 00:02:26,780
והייתם מחברים אותם.

47
00:02:26,780 --> 00:02:29,080
הייתם צריכים רק לחבר את הרכיבים המתאימים.

48
00:02:29,080 --> 00:02:31,210
מה היה קורה, אם הייתם צריכים להכפיל אותם

49
00:02:31,210 --> 00:02:32,780
במכפלה סקלרית או וקטורית?

50
00:02:32,780 --> 00:02:34,580
אני לא הולך להוכיח לכם את זה,

51
00:02:34,580 --> 00:02:36,430
אלא רק להראות לכם איך לעשות את זה.

52
00:02:36,430 --> 00:02:38,100
קל מאד לבצע את המכפלה הסקלרית,

53
00:02:38,100 --> 00:02:40,010
כשהווקטורים נתונים בכתיב ההנדסי.

54
00:02:40,010 --> 00:02:41,620
דרך נוספת להציג את הכתיב הזה,

55
00:02:41,620 --> 00:02:43,140
היא לפעמים בסימון של סוגריים.

56
00:02:43,140 --> 00:02:46,955
לפעמים כותבים את זה ב- מינוס 5, 6, 3.

57
00:02:46,955 --> 00:02:49,455
אלה הערכים המוחלטים של כווני y, x ו- z.

58
00:02:49,455 --> 00:02:53,170
אני מקווה שנוח לכם עם

59
00:02:53,170 --> 00:02:54,270
צורות ההצגה השונות.

60
00:02:54,270 --> 00:02:57,360
ניתן לכתוב את b כמינוס 2, 7, 4.

61
00:02:57,360 --> 00:02:58,380
אלה כולם אותם הדברים.

62
00:02:58,380 --> 00:03:01,300
אין לכם סיבה להירתע, אם אתם פוגשים את
אחת מהן.

63
00:03:01,300 --> 00:03:05,430
בכל מקרה, איך אני מחשב את המכפלה

64
00:03:05,430 --> 00:03:08,110
הסקלרית של a עם b?

65
00:03:08,110 --> 00:03:10,670
אתם תראו שזה מאד נחמד.

66
00:03:10,670 --> 00:03:15,410
כל מה שעליכם לעשות הוא, להכפיל את
רכיבי ה- i, לחבר את זה

67
00:03:15,410 --> 00:03:18,270
למכפלת רכיבי ה- j, ואז לחבר את

68
00:03:18,270 --> 00:03:20,210
זה למכפלת רכיבי ה- k.

69
00:03:20,210 --> 00:03:34,350
זה יהיה, 5 כפול מינוס 2, פלוס 6 כפול 7, פלוס

70
00:03:34,350 --> 00:03:45,260
3 כפול 4, וזה שווה למינוס 10, מינוס 42, פלוס 12.

71
00:03:45,260 --> 00:03:52,020
זה מינוס 52 פלוס 12, וזה שווה למינוס 42.

72
00:03:52,020 --> 00:03:52,820
זהו זה.

73
00:03:52,820 --> 00:03:54,840
זה רק מספר.

74
00:03:54,840 --> 00:03:57,090
אני סקרן לראות את זה בתוכנה גרפית

75
00:03:57,090 --> 00:04:00,980
תלת ממדית, כדי להבין למה זה מינוס.

76
00:04:00,980 --> 00:04:03,600
הם וודאי הולכים בכוונים הפוכים.

77
00:04:03,600 --> 00:04:06,250
ההיטלים של אחד על השני הולכים בכוונים הפוכים.

78
00:04:06,250 --> 00:04:08,440
זאת הסיבה שמקבלים מספר שלילי.

79
00:04:11,000 --> 00:04:13,030
אני לא רוצה להתעמק בנושא הזה. המטרה היא

80
00:04:13,030 --> 00:04:15,050
להראות לכם איך לחשב את המכפלה

81
00:04:15,050 --> 00:04:15,900
בצורה ישירה.

82
00:04:15,900 --> 00:04:18,930
אתם מכפילים את רכיבי ה- x,

83
00:04:18,930 --> 00:04:22,029
מחברים את זה למכפלת רכיבי ה- y, ואז

84
00:04:22,029 --> 00:04:23,900
מחברים את זה למכפלת רכיבי ה- z.

85
00:04:23,900 --> 00:04:25,710
כשתקבלו וקטורים בכתיב הנדסי, או

86
00:04:25,710 --> 00:04:28,470
בכתיב סוגריים, ועליכם לחשב את המכפלה

87
00:04:28,470 --> 00:04:33,680
הסקלרית, זה די ישיר, וקשה לטעות.

88
00:04:33,680 --> 00:04:37,390
לעומת זאת, כפי שתראו עוד מעט, כשהווקטורים

89
00:04:37,390 --> 00:04:40,160
נתונים בצורה הזאת, המכפלה הווקטורית אינה

90
00:04:40,160 --> 00:04:41,490
כל כך פשוטה.

91
00:04:41,490 --> 00:04:43,540
שימו לב, שדרך אחרת לבצע את המכפלה

92
00:04:43,540 --> 00:04:46,020
הווקטורית, היא לחשב את הערכים המוחלטים של

93
00:04:46,020 --> 00:04:49,470
כל אחד מהווקטורים, ולמצוא דרך חישובים

94
00:04:49,470 --> 00:04:51,770
טריגונומטריים מתוחכמים, את הזווית שביניהם,

95
00:04:51,770 --> 00:04:53,280
ולהשתמש בנוסחה הזאת.

96
00:04:53,280 --> 00:04:56,230
אני מניח שאתם תעריכו את העובדה שהדרך

97
00:04:56,230 --> 00:04:57,350
הזאת הרבה יותר פשוטה.

98
00:04:57,350 --> 00:04:59,140
כיף לחשב את המכפלה סקלרית.

99
00:04:59,140 --> 00:05:02,570
בואו נראה מה לעשות עם המכפלה הווקטורית.

100
00:05:02,570 --> 00:05:04,450
אני לא הולך להוכיח את זה.

101
00:05:04,450 --> 00:05:06,230
אני רק אראה לכם איך לעשות את זה.

102
00:05:06,230 --> 00:05:09,370
אוכיח את זה באחד

103
00:05:09,370 --> 00:05:11,710
הסירטונים בעתיד.

104
00:05:11,710 --> 00:05:15,270
המכפלה הווקטורית יותר מסובכת.

105
00:05:15,270 --> 00:05:18,210
אני לא כל כך שמח לבצע את המכפלה

106
00:05:18,210 --> 00:05:20,290
הווקטורית של שני וקטורים בכתיב הנדסי.

107
00:05:20,290 --> 00:05:22,700
המכפלה הווקטורית של a עם b.

108
00:05:22,700 --> 00:05:23,760
שווה.

109
00:05:23,760 --> 00:05:27,530
זה יישום של חשבון מטריצות.

110
00:05:27,530 --> 00:05:31,850
לוקחים את הדטרמיננטה - אצייר קו

111
00:05:31,850 --> 00:05:34,120
ארוך לדטרמיננטה - בשורה הראשונה של
הדטרמיננטה.

112
00:05:34,120 --> 00:05:35,660
אני מנסה להראות לכם דרך

113
00:05:35,660 --> 00:05:37,090
קלה לזכור.

114
00:05:37,090 --> 00:05:39,240
זה לא משפר את ההבנה, אבל מה

115
00:05:39,240 --> 00:05:41,690
שחשוב הוא להבין את ההגדרה:

116
00:05:41,690 --> 00:05:44,010
בכמה הווקטורים מאונכים זה לזה,

117
00:05:44,010 --> 00:05:45,960
להכפיל את הערכים המוחלטים האלה,

118
00:05:45,960 --> 00:05:47,210
ולמצוא את הכוון בעזרת

119
00:05:47,210 --> 00:05:48,360
כלל יד ימין.

120
00:05:48,360 --> 00:05:51,380
כשהווקטורים נתונים בכתיב ההנדסי,

121
00:05:51,380 --> 00:05:55,763
כותבים את וקטורי היחידה, k, j, i, בשורה
הראשונה

122
00:05:55,763 --> 00:06:00,080
הווקטורים k, j, i.

123
00:06:00,080 --> 00:06:02,230
רשומים את הווקטור הראשון בשורה השנייה,

124
00:06:02,230 --> 00:06:03,560
כי הסדר משנה.

125
00:06:03,560 --> 00:06:09,550
זה 5, מינוס 6, 3.

126
00:06:09,550 --> 00:06:12,320
אז, רושמים את הווקטור השני, b, בשורה השלישית,

127
00:06:12,320 --> 00:06:16,970
מינוס 2, 7, 4.

128
00:06:16,970 --> 00:06:19,880
לוקחים את הדטרמיננטה של המטריצה הזאת,
שהיא 3 על 3.

129
00:06:19,880 --> 00:06:21,350
איך עושים את זה?

130
00:06:21,350 --> 00:06:25,930
זה שווה לתת הדטרמיננטה של i.

131
00:06:25,930 --> 00:06:28,460
תת הדטרמיננטה של i: מתעלמים
מהעמודה הזאת,

132
00:06:28,460 --> 00:06:31,920
ומהשורה הזאת, הדטרמיננטה הנשארת היא

133
00:06:31,920 --> 00:06:40,760
מינוס 6, 3, 7, 4, כפול i - אולי כדאי שתעשו חזרה

134
00:06:40,760 --> 00:06:43,200
בנושא דטרמיננטות אם אתם לא זוכרים איך

135
00:06:43,200 --> 00:06:47,770
לעשות את זה. קצת תירגול ישפר את הזכרון
שלכם.

136
00:06:47,770 --> 00:06:50,590
זכרו, זה פלוס, מינוס, פלוס.

137
00:06:50,590 --> 00:06:53,550
עכשיו, מינוס תת הדטרמיננטה של j.

138
00:06:53,550 --> 00:06:55,500
מהי תת הדטרמיננטה של j?

139
00:06:55,500 --> 00:06:57,470
מתעלמים מהשורה ומהעמודה של j.

140
00:06:57,470 --> 00:07:01,065
יש לנו 5, 3, מינוס 2, 4.

141
00:07:05,030 --> 00:07:07,650
התעלמנו מהשורה ומהעמודה של j.

142
00:07:07,650 --> 00:07:09,770
מה שנשאר, אלה המספרים המופיעים

143
00:07:09,770 --> 00:07:11,470
בתת הדטרמיננטה שלו.

144
00:07:11,470 --> 00:07:13,420
ככה אני קורא לזה.

145
00:07:13,420 --> 00:07:18,136
כפול j. אני רוצה לרשום את כולם באותו קו, כדי

146
00:07:18,136 --> 00:07:19,870
שזה יהיה קצת יותר ברור.

147
00:07:19,870 --> 00:07:21,460
פלוס תת הדטרמיננטה של k.

148
00:07:21,460 --> 00:07:23,290
מתעלמים מהשורה ומהעמודה של k.

149
00:07:23,290 --> 00:07:35,010
נשאר לנו 5, מינוס 6, מינוס 2 ו- 7, כפול k.

150
00:07:35,010 --> 00:07:36,980
בואו נחשב את זה.

151
00:07:36,980 --> 00:07:39,440
אני רוצה למחוק קצת,

152
00:07:39,440 --> 00:07:41,130
כי כתבתי גדול מדי.

153
00:07:41,130 --> 00:07:43,790
אנו לא צריכים את זה יותר.

154
00:07:43,790 --> 00:07:46,460
מה מקבלים?

155
00:07:46,460 --> 00:07:49,400
ניקח את זה לכאן, למעלה.

156
00:07:49,400 --> 00:07:51,680
הדטרמיננטות האלה, 2 על 2, הן די קלות.

157
00:07:51,680 --> 00:07:58,690
זה מינוס 6 כפול 4, מינוס 7 כפול 3.

158
00:07:58,690 --> 00:08:00,180
אני תמיד טועה כאן, בגלל רשלנות.

159
00:08:00,180 --> 00:08:10,770
מינוס 24 מינוס 21 כפול i, מינוס 5 כפול 4 זה 20,

160
00:08:10,770 --> 00:08:23,270
מינוס מינוס 2 כפול 3, אז מינוס מינוס 6 j, ועוד
5 כפול 7, 35

161
00:08:23,270 --> 00:08:25,640
מינוס מינוס 2 כפול מינוס 6.

162
00:08:25,640 --> 00:08:29,330
זה מינוס 12 k.

163
00:08:29,330 --> 00:08:34,330
ניתן לפשט את זה. זה שווה מינוס 24 מינוס 21.

164
00:08:34,330 --> 00:08:40,830
זה מינוס 35 - אני לא צריך לשים סוגריים - i,

165
00:08:40,830 --> 00:08:43,720
כמה זה 20 מינוס מינוס 6, זה 26.

166
00:08:43,720 --> 00:08:46,600
זה 20 ועוד 6, 26.

167
00:08:46,600 --> 00:08:47,590
יש לנו כאן מינוס.

168
00:08:47,590 --> 00:08:51,640
זה מינוס 26j.

169
00:08:51,640 --> 00:08:54,340
כמה זה 35 מינוס 12, זה 23.

170
00:08:54,340 --> 00:08:57,190
ועוד 23k.

171
00:08:57,190 --> 00:08:58,690
זאת המכפלה הווקטרוית.

172
00:08:58,690 --> 00:09:01,150
אם הייתם משרטטים את זה בשלושה ממדים,

173
00:09:01,150 --> 00:09:03,710
תראו - וזה מה שמעניין - תראו שהווקטור הזה,

174
00:09:03,710 --> 00:09:09,410
אם החשבון שעשיתי נכון, מינוס 35i, מינוס 26j,

175
00:09:09,410 --> 00:09:15,750
ועוד 23k, מאונך לשני הווקטורים המקוריים.

176
00:09:15,750 --> 00:09:18,620
אני חושב שאפסיק כאן,

177
00:09:18,620 --> 00:09:20,050
ונתראה בסירטון הבא.

178
00:09:20,050 --> 00:09:22,620
אני מקווה שאוכל להשיג תוכנה גרפית לווקטורים.

179
00:09:22,620 --> 00:09:25,880
אני חושב שזה יהיה נחמד לחשב את המכפלה

180
00:09:25,880 --> 00:09:29,130
הסקלרית והווקטורית בשיטה הזאת,

181
00:09:29,130 --> 00:09:30,580
ואז לשרטט את הגרפים.

182
00:09:30,580 --> 00:09:32,350
זה יראה לכם שזה אכן עובד.

183
00:09:32,350 --> 00:09:36,930
שהווקטור הזה הוא אכן מאונך לשני אלה,

184
00:09:36,930 --> 00:09:40,820
ומצביע לכוון אותו ניתן לקבל בעזרת

185
00:09:40,820 --> 00:09:42,520
כלל יד ימין.

186
00:09:42,520 --> 00:09:43,990
להתראות בסירטון הבא.