עד עכשיו, כשראינו את המכפלה הסקלרית
והווקטורית, נתתי לכם את ההגדרה כמכפלת
ההערכים המוחלטים, כפול הקוסינוס, או הסינוס,
של הזווית שבין הווקטורים.
מה קורה אם אנו לא יכולים לראות את הווקטורים?
מה קורה אם לא נתונה הזווית שביניהם?
איך מחשבים, במקרה זה, את המכפלה הסקלרית והווקטורית?
אני אחזור על ההגדרות
שכבר ראינו.
המכפלה הסקלרית של a עם b,
שווה לערך המוחלט של a, כפול הערך המוחלט של b, כפול
קוסינוס הזווית שביניהם.
המכפלה הווקטורית של a עם b, שווה לערך המוחלט של a, כפול
הערך המוחלט של b, כפול סינוס הזווית שביניהם -
ההיטלים המאונכים שלהם - כפול הווקטור
הנורמלי, המאונך לשניהם.
וקטור היחידה הנורמלי, שאת כוונו המדויק
קובעים בעזרת
כלל יד ימין.
מה קורה אם
אין לנו את הזווית שבין הווקטורים?
מה קורה, אם לדוגמה, אתן
לכם את הווקטורים בכתיב ההנדסי שלהם?
בכתיב ההנדסי, אנו בעצם
כותבים את הווקטור לפי רכיבי y, x ו- z שלו.
נגיד שווקטור a הוא 5i - כאשר i הוא וקטור היחידה
בכוון x, מינוס 6j, ועוד 3k.
הווקטורים j, i ו- k הם וקטורי היחידה בכוונים של x,
של y ושל z, בהתאמה.
המספר 5 מבטא מה גודלו של וקטור a בכוון x.
המינוס 6 מבטא את גולו של וקטור a בכוון y.
ו- 3 מבטא את גודלו של וקטור a בכוון z.
אתם יכולים לנסות לצייר את זה בגרף.
אני מנסה להשיג מחשבון גרפי
כדי לעשות את זה, כדי להראות לכם את זה בסירטונים,
כך שתבינו את זה יותר טוב.
נגיד שזה מה שנתון.
נגיד שווקטור b הוא
מינוס 2i - אנו מתעסקים כרגע בשלושה
ממדים - ועוד 7j, ועוד 4k.
אתם יכולים לצייר את זה.
אם הייתה נתונה לכם שאלה של חיבור וקטורים,
והייתם מנסים לצייר את הווקטורים בהדמיית
מחשב, זאת הדרך בה הייתם עושים את זה:
הייתם מפרקים אותם לרכיבים y, x ו- z שלהם,
והייתם מחברים אותם.
הייתם צריכים רק לחבר את הרכיבים המתאימים.
מה היה קורה, אם הייתם צריכים להכפיל אותם
במכפלה סקלרית או וקטורית?
אני לא הולך להוכיח לכם את זה,
אלא רק להראות לכם איך לעשות את זה.
קל מאד לבצע את המכפלה הסקלרית,
כשהווקטורים נתונים בכתיב ההנדסי.
דרך נוספת להציג את הכתיב הזה,
היא לפעמים בסימון של סוגריים.
לפעמים כותבים את זה ב- מינוס 5, 6, 3.
אלה הערכים המוחלטים של כווני y, x ו- z.
אני מקווה שנוח לכם עם
צורות ההצגה השונות.
ניתן לכתוב את b כמינוס 2, 7, 4.
אלה כולם אותם הדברים.
אין לכם סיבה להירתע, אם אתם פוגשים את אחת מהן.
בכל מקרה, איך אני מחשב את המכפלה
הסקלרית של a עם b?
אתם תראו שזה מאד נחמד.
כל מה שעליכם לעשות הוא, להכפיל את רכיבי ה- i, לחבר את זה
למכפלת רכיבי ה- j, ואז לחבר את
זה למכפלת רכיבי ה- k.
זה יהיה, 5 כפול מינוס 2, פלוס 6 כפול 7, פלוס
3 כפול 4, וזה שווה למינוס 10, מינוס 42, פלוס 12.
זה מינוס 52 פלוס 12, וזה שווה למינוס 42.
זהו זה.
זה רק מספר.
אני סקרן לראות את זה בתוכנה גרפית
תלת ממדית, כדי להבין למה זה מינוס.
הם וודאי הולכים בכוונים הפוכים.
ההיטלים של אחד על השני הולכים בכוונים הפוכים.
זאת הסיבה שמקבלים מספר שלילי.
אני לא רוצה להתעמק בנושא הזה. המטרה היא
להראות לכם איך לחשב את המכפלה
בצורה ישירה.
אתם מכפילים את רכיבי ה- x,
מחברים את זה למכפלת רכיבי ה- y, ואז
מחברים את זה למכפלת רכיבי ה- z.
כשתקבלו וקטורים בכתיב הנדסי, או
בכתיב סוגריים, ועליכם לחשב את המכפלה
הסקלרית, זה די ישיר, וקשה לטעות.
לעומת זאת, כפי שתראו עוד מעט, כשהווקטורים
נתונים בצורה הזאת, המכפלה הווקטורית אינה
כל כך פשוטה.
שימו לב, שדרך אחרת לבצע את המכפלה
הווקטורית, היא לחשב את הערכים המוחלטים של
כל אחד מהווקטורים, ולמצוא דרך חישובים
טריגונומטריים מתוחכמים, את הזווית שביניהם,
ולהשתמש בנוסחה הזאת.
אני מניח שאתם תעריכו את העובדה שהדרך
הזאת הרבה יותר פשוטה.
כיף לחשב את המכפלה סקלרית.
בואו נראה מה לעשות עם המכפלה הווקטורית.
אני לא הולך להוכיח את זה.
אני רק אראה לכם איך לעשות את זה.
אוכיח את זה באחד
הסירטונים בעתיד.
המכפלה הווקטורית יותר מסובכת.
אני לא כל כך שמח לבצע את המכפלה
הווקטורית של שני וקטורים בכתיב הנדסי.
המכפלה הווקטורית של a עם b.
שווה.
זה יישום של חשבון מטריצות.
לוקחים את הדטרמיננטה - אצייר קו
ארוך לדטרמיננטה - בשורה הראשונה של הדטרמיננטה.
אני מנסה להראות לכם דרך
קלה לזכור.
זה לא משפר את ההבנה, אבל מה
שחשוב הוא להבין את ההגדרה:
בכמה הווקטורים מאונכים זה לזה,
להכפיל את הערכים המוחלטים האלה,
ולמצוא את הכוון בעזרת
כלל יד ימין.
כשהווקטורים נתונים בכתיב ההנדסי,
כותבים את וקטורי היחידה, k, j, i, בשורה הראשונה
הווקטורים k, j, i.
רשומים את הווקטור הראשון בשורה השנייה,
כי הסדר משנה.
זה 5, מינוס 6, 3.
אז, רושמים את הווקטור השני, b, בשורה השלישית,
מינוס 2, 7, 4.
לוקחים את הדטרמיננטה של המטריצה הזאת, שהיא 3 על 3.
איך עושים את זה?
זה שווה לתת הדטרמיננטה של i.
תת הדטרמיננטה של i: מתעלמים מהעמודה הזאת,
ומהשורה הזאת, הדטרמיננטה הנשארת היא
מינוס 6, 3, 7, 4, כפול i - אולי כדאי שתעשו חזרה
בנושא דטרמיננטות אם אתם לא זוכרים איך
לעשות את זה. קצת תירגול ישפר את הזכרון שלכם.
זכרו, זה פלוס, מינוס, פלוס.
עכשיו, מינוס תת הדטרמיננטה של j.
מהי תת הדטרמיננטה של j?
מתעלמים מהשורה ומהעמודה של j.
יש לנו 5, 3, מינוס 2, 4.
התעלמנו מהשורה ומהעמודה של j.
מה שנשאר, אלה המספרים המופיעים
בתת הדטרמיננטה שלו.
ככה אני קורא לזה.
כפול j. אני רוצה לרשום את כולם באותו קו, כדי
שזה יהיה קצת יותר ברור.
פלוס תת הדטרמיננטה של k.
מתעלמים מהשורה ומהעמודה של k.
נשאר לנו 5, מינוס 6, מינוס 2 ו- 7, כפול k.
בואו נחשב את זה.
אני רוצה למחוק קצת,
כי כתבתי גדול מדי.
אנו לא צריכים את זה יותר.
מה מקבלים?
ניקח את זה לכאן, למעלה.
הדטרמיננטות האלה, 2 על 2, הן די קלות.
זה מינוס 6 כפול 4, מינוס 7 כפול 3.
אני תמיד טועה כאן, בגלל רשלנות.
מינוס 24 מינוס 21 כפול i, מינוס 5 כפול 4 זה 20,
מינוס מינוס 2 כפול 3, אז מינוס מינוס 6 j, ועוד 5 כפול 7, 35
מינוס מינוס 2 כפול מינוס 6.
זה מינוס 12 k.
ניתן לפשט את זה. זה שווה מינוס 24 מינוס 21.
זה מינוס 35 - אני לא צריך לשים סוגריים - i,
כמה זה 20 מינוס מינוס 6, זה 26.
זה 20 ועוד 6, 26.
יש לנו כאן מינוס.
זה מינוס 26j.
כמה זה 35 מינוס 12, זה 23.
ועוד 23k.
זאת המכפלה הווקטרוית.
אם הייתם משרטטים את זה בשלושה ממדים,
תראו - וזה מה שמעניין - תראו שהווקטור הזה,
אם החשבון שעשיתי נכון, מינוס 35i, מינוס 26j,
ועוד 23k, מאונך לשני הווקטורים המקוריים.
אני חושב שאפסיק כאן,
ונתראה בסירטון הבא.
אני מקווה שאוכל להשיג תוכנה גרפית לווקטורים.
אני חושב שזה יהיה נחמד לחשב את המכפלה
הסקלרית והווקטורית בשיטה הזאת,
ואז לשרטט את הגרפים.
זה יראה לכם שזה אכן עובד.
שהווקטור הזה הוא אכן מאונך לשני אלה,
ומצביע לכוון אותו ניתן לקבל בעזרת
כלל יד ימין.
להתראות בסירטון הבא.