0:00:00.760,0:00:03.130
עד עכשיו, כשראינו את המכפלה הסקלרית

0:00:03.130,0:00:06.440
והווקטורית, נתתי לכם את ההגדרה כמכפלת

0:00:06.440,0:00:08.710
ההערכים המוחלטים, כפול הקוסינוס, או הסינוס,

0:00:08.710,0:00:10.220
של הזווית שבין הווקטורים.

0:00:10.220,0:00:12.430
מה קורה אם אנו לא יכולים לראות את הווקטורים?

0:00:12.430,0:00:14.210
מה קורה אם לא נתונה הזווית שביניהם?

0:00:14.210,0:00:17.240
איך מחשבים, במקרה זה, את המכפלה הסקלרית[br]והווקטורית?

0:00:17.240,0:00:19.160
אני אחזור על ההגדרות

0:00:19.160,0:00:20.000
שכבר ראינו.

0:00:20.000,0:00:26.710
המכפלה הסקלרית של a עם b,

0:00:26.710,0:00:31.610
שווה לערך המוחלט של a, כפול הערך[br]המוחלט של b, כפול

0:00:31.610,0:00:34.200
קוסינוס הזווית שביניהם.

0:00:34.200,0:00:39.730
המכפלה הווקטורית של a עם b, שווה לערך[br]המוחלט של a, כפול

0:00:39.730,0:00:44.670
הערך המוחלט של b, כפול סינוס הזווית שביניהם -

0:00:44.670,0:00:48.360
ההיטלים המאונכים שלהם - כפול הווקטור

0:00:48.360,0:00:50.130
הנורמלי, המאונך לשניהם.

0:00:50.130,0:00:53.750
וקטור היחידה הנורמלי, שאת כוונו המדויק

0:00:53.750,0:00:55.500
קובעים בעזרת

0:00:55.500,0:00:56.620
כלל יד ימין.

0:00:56.620,0:01:00.170
מה קורה אם

0:01:00.170,0:01:02.090
אין לנו את הזווית שבין הווקטורים?

0:01:02.090,0:01:04.760
מה קורה, אם לדוגמה, אתן

0:01:04.760,0:01:09.990
לכם את הווקטורים בכתיב ההנדסי שלהם?

0:01:09.990,0:01:12.090
בכתיב ההנדסי, אנו בעצם

0:01:12.090,0:01:16.270
כותבים את הווקטור לפי רכיבי y, x ו- z שלו.

0:01:16.270,0:01:23.580
נגיד שווקטור a הוא 5i - כאשר i הוא וקטור היחידה

0:01:23.580,0:01:31.890
בכוון x, מינוס 6j, ועוד 3k.

0:01:34.240,0:01:37.230
הווקטורים j, i ו- k הם וקטורי היחידה בכוונים של x,

0:01:37.230,0:01:38.760
של y ושל z, בהתאמה.

0:01:38.760,0:01:41.120
המספר 5 מבטא מה גודלו של וקטור a בכוון x.

0:01:41.120,0:01:43.400
המינוס 6 מבטא את גולו של וקטור a בכוון y.

0:01:43.400,0:01:45.600
ו- 3 מבטא את גודלו של וקטור a בכוון z.

0:01:45.600,0:01:47.470
אתם יכולים לנסות לצייר את זה בגרף.

0:01:47.470,0:01:48.960
אני מנסה להשיג מחשבון גרפי

0:01:48.960,0:01:51.370
כדי לעשות את זה, כדי להראות לכם את זה[br]בסירטונים,

0:01:51.370,0:01:52.800
כך שתבינו את זה יותר טוב.

0:01:52.800,0:01:54.090
נגיד שזה מה שנתון.

0:01:54.090,0:02:00.100
נגיד שווקטור b הוא

0:02:00.100,0:02:04.170
מינוס 2i - אנו מתעסקים כרגע בשלושה

0:02:04.170,0:02:14.480
ממדים - ועוד 7j, ועוד 4k.

0:02:14.480,0:02:15.970
אתם יכולים לצייר את זה.

0:02:15.970,0:02:19.030
אם הייתה נתונה לכם שאלה של חיבור וקטורים,

0:02:19.030,0:02:21.700
והייתם מנסים לצייר את הווקטורים בהדמיית

0:02:21.700,0:02:23.510
מחשב, זאת הדרך בה הייתם עושים את זה:

0:02:23.510,0:02:25.690
הייתם מפרקים אותם לרכיבים y, x ו- z שלהם,

0:02:25.690,0:02:26.780
והייתם מחברים אותם.

0:02:26.780,0:02:29.080
הייתם צריכים רק לחבר את הרכיבים המתאימים.

0:02:29.080,0:02:31.210
מה היה קורה, אם הייתם צריכים להכפיל אותם

0:02:31.210,0:02:32.780
במכפלה סקלרית או וקטורית?

0:02:32.780,0:02:34.580
אני לא הולך להוכיח לכם את זה,

0:02:34.580,0:02:36.430
אלא רק להראות לכם איך לעשות את זה.

0:02:36.430,0:02:38.100
קל מאד לבצע את המכפלה הסקלרית,

0:02:38.100,0:02:40.010
כשהווקטורים נתונים בכתיב ההנדסי.

0:02:40.010,0:02:41.620
דרך נוספת להציג את הכתיב הזה,

0:02:41.620,0:02:43.140
היא לפעמים בסימון של סוגריים.

0:02:43.140,0:02:46.955
לפעמים כותבים את זה ב- מינוס 5, 6, 3.

0:02:46.955,0:02:49.455
אלה הערכים המוחלטים של כווני y, x ו- z.

0:02:49.455,0:02:53.170
אני מקווה שנוח לכם עם

0:02:53.170,0:02:54.270
צורות ההצגה השונות.

0:02:54.270,0:02:57.360
ניתן לכתוב את b כמינוס 2, 7, 4.

0:02:57.360,0:02:58.380
אלה כולם אותם הדברים.

0:02:58.380,0:03:01.300
אין לכם סיבה להירתע, אם אתם פוגשים את[br]אחת מהן.

0:03:01.300,0:03:05.430
בכל מקרה, איך אני מחשב את המכפלה

0:03:05.430,0:03:08.110
הסקלרית של a עם b?

0:03:08.110,0:03:10.670
אתם תראו שזה מאד נחמד.

0:03:10.670,0:03:15.410
כל מה שעליכם לעשות הוא, להכפיל את[br]רכיבי ה- i, לחבר את זה

0:03:15.410,0:03:18.270
למכפלת רכיבי ה- j, ואז לחבר את

0:03:18.270,0:03:20.210
זה למכפלת רכיבי ה- k.

0:03:20.210,0:03:34.350
זה יהיה, 5 כפול מינוס 2, פלוס 6 כפול 7, פלוס

0:03:34.350,0:03:45.260
3 כפול 4, וזה שווה למינוס 10, מינוס 42, פלוס 12.

0:03:45.260,0:03:52.020
זה מינוס 52 פלוס 12, וזה שווה למינוס 42.

0:03:52.020,0:03:52.820
זהו זה.

0:03:52.820,0:03:54.840
זה רק מספר.

0:03:54.840,0:03:57.090
אני סקרן לראות את זה בתוכנה גרפית

0:03:57.090,0:04:00.980
תלת ממדית, כדי להבין למה זה מינוס.

0:04:00.980,0:04:03.600
הם וודאי הולכים בכוונים הפוכים.

0:04:03.600,0:04:06.250
ההיטלים של אחד על השני הולכים בכוונים הפוכים.

0:04:06.250,0:04:08.440
זאת הסיבה שמקבלים מספר שלילי.

0:04:11.000,0:04:13.030
אני לא רוצה להתעמק בנושא הזה. המטרה היא

0:04:13.030,0:04:15.050
להראות לכם איך לחשב את המכפלה

0:04:15.050,0:04:15.900
בצורה ישירה.

0:04:15.900,0:04:18.930
אתם מכפילים את רכיבי ה- x,

0:04:18.930,0:04:22.029
מחברים את זה למכפלת רכיבי ה- y, ואז

0:04:22.029,0:04:23.900
מחברים את זה למכפלת רכיבי ה- z.

0:04:23.900,0:04:25.710
כשתקבלו וקטורים בכתיב הנדסי, או

0:04:25.710,0:04:28.470
בכתיב סוגריים, ועליכם לחשב את המכפלה

0:04:28.470,0:04:33.680
הסקלרית, זה די ישיר, וקשה לטעות.

0:04:33.680,0:04:37.390
לעומת זאת, כפי שתראו עוד מעט, כשהווקטורים

0:04:37.390,0:04:40.160
נתונים בצורה הזאת, המכפלה הווקטורית אינה

0:04:40.160,0:04:41.490
כל כך פשוטה.

0:04:41.490,0:04:43.540
שימו לב, שדרך אחרת לבצע את המכפלה

0:04:43.540,0:04:46.020
הווקטורית, היא לחשב את הערכים המוחלטים של

0:04:46.020,0:04:49.470
כל אחד מהווקטורים, ולמצוא דרך חישובים

0:04:49.470,0:04:51.770
טריגונומטריים מתוחכמים, את הזווית שביניהם,

0:04:51.770,0:04:53.280
ולהשתמש בנוסחה הזאת.

0:04:53.280,0:04:56.230
אני מניח שאתם תעריכו את העובדה שהדרך

0:04:56.230,0:04:57.350
הזאת הרבה יותר פשוטה.

0:04:57.350,0:04:59.140
כיף לחשב את המכפלה סקלרית.

0:04:59.140,0:05:02.570
בואו נראה מה לעשות עם המכפלה הווקטורית.

0:05:02.570,0:05:04.450
אני לא הולך להוכיח את זה.

0:05:04.450,0:05:06.230
אני רק אראה לכם איך לעשות את זה.

0:05:06.230,0:05:09.370
אוכיח את זה באחד

0:05:09.370,0:05:11.710
הסירטונים בעתיד.

0:05:11.710,0:05:15.270
המכפלה הווקטורית יותר מסובכת.

0:05:15.270,0:05:18.210
אני לא כל כך שמח לבצע את המכפלה

0:05:18.210,0:05:20.290
הווקטורית של שני וקטורים בכתיב הנדסי.

0:05:20.290,0:05:22.700
המכפלה הווקטורית של a עם b.

0:05:22.700,0:05:23.760
שווה.

0:05:23.760,0:05:27.530
זה יישום של חשבון מטריצות.

0:05:27.530,0:05:31.850
לוקחים את הדטרמיננטה - אצייר קו

0:05:31.850,0:05:34.120
ארוך לדטרמיננטה - בשורה הראשונה של[br]הדטרמיננטה.

0:05:34.120,0:05:35.660
אני מנסה להראות לכם דרך

0:05:35.660,0:05:37.090
קלה לזכור.

0:05:37.090,0:05:39.240
זה לא משפר את ההבנה, אבל מה

0:05:39.240,0:05:41.690
שחשוב הוא להבין את ההגדרה:

0:05:41.690,0:05:44.010
בכמה הווקטורים מאונכים זה לזה,

0:05:44.010,0:05:45.960
להכפיל את הערכים המוחלטים האלה,

0:05:45.960,0:05:47.210
ולמצוא את הכוון בעזרת

0:05:47.210,0:05:48.360
כלל יד ימין.

0:05:48.360,0:05:51.380
כשהווקטורים נתונים בכתיב ההנדסי,

0:05:51.380,0:05:55.763
כותבים את וקטורי היחידה, k, j, i, בשורה[br]הראשונה

0:05:55.763,0:06:00.080
הווקטורים k, j, i.

0:06:00.080,0:06:02.230
רשומים את הווקטור הראשון בשורה השנייה,

0:06:02.230,0:06:03.560
כי הסדר משנה.

0:06:03.560,0:06:09.550
זה 5, מינוס 6, 3.

0:06:09.550,0:06:12.320
אז, רושמים את הווקטור השני, b, בשורה השלישית,

0:06:12.320,0:06:16.970
מינוס 2, 7, 4.

0:06:16.970,0:06:19.880
לוקחים את הדטרמיננטה של המטריצה הזאת,[br]שהיא 3 על 3.

0:06:19.880,0:06:21.350
איך עושים את זה?

0:06:21.350,0:06:25.930
זה שווה לתת הדטרמיננטה של i.

0:06:25.930,0:06:28.460
תת הדטרמיננטה של i: מתעלמים[br]מהעמודה הזאת,

0:06:28.460,0:06:31.920
ומהשורה הזאת, הדטרמיננטה הנשארת היא

0:06:31.920,0:06:40.760
מינוס 6, 3, 7, 4, כפול i - אולי כדאי שתעשו חזרה

0:06:40.760,0:06:43.200
בנושא דטרמיננטות אם אתם לא זוכרים איך

0:06:43.200,0:06:47.770
לעשות את זה. קצת תירגול ישפר את הזכרון[br]שלכם.

0:06:47.770,0:06:50.590
זכרו, זה פלוס, מינוס, פלוס.

0:06:50.590,0:06:53.550
עכשיו, מינוס תת הדטרמיננטה של j.

0:06:53.550,0:06:55.500
מהי תת הדטרמיננטה של j?

0:06:55.500,0:06:57.470
מתעלמים מהשורה ומהעמודה של j.

0:06:57.470,0:07:01.065
יש לנו 5, 3, מינוס 2, 4.

0:07:05.030,0:07:07.650
התעלמנו מהשורה ומהעמודה של j.

0:07:07.650,0:07:09.770
מה שנשאר, אלה המספרים המופיעים

0:07:09.770,0:07:11.470
בתת הדטרמיננטה שלו.

0:07:11.470,0:07:13.420
ככה אני קורא לזה.

0:07:13.420,0:07:18.136
כפול j. אני רוצה לרשום את כולם באותו קו, כדי

0:07:18.136,0:07:19.870
שזה יהיה קצת יותר ברור.

0:07:19.870,0:07:21.460
פלוס תת הדטרמיננטה של k.

0:07:21.460,0:07:23.290
מתעלמים מהשורה ומהעמודה של k.

0:07:23.290,0:07:35.010
נשאר לנו 5, מינוס 6, מינוס 2 ו- 7, כפול k.

0:07:35.010,0:07:36.980
בואו נחשב את זה.

0:07:36.980,0:07:39.440
אני רוצה למחוק קצת,

0:07:39.440,0:07:41.130
כי כתבתי גדול מדי.

0:07:41.130,0:07:43.790
אנו לא צריכים את זה יותר.

0:07:43.790,0:07:46.460
מה מקבלים?

0:07:46.460,0:07:49.400
ניקח את זה לכאן, למעלה.

0:07:49.400,0:07:51.680
הדטרמיננטות האלה, 2 על 2, הן די קלות.

0:07:51.680,0:07:58.690
זה מינוס 6 כפול 4, מינוס 7 כפול 3.

0:07:58.690,0:08:00.180
אני תמיד טועה כאן, בגלל רשלנות.

0:08:00.180,0:08:10.770
מינוס 24 מינוס 21 כפול i, מינוס 5 כפול 4 זה 20,

0:08:10.770,0:08:23.270
מינוס מינוס 2 כפול 3, אז מינוס מינוס 6 j, ועוד[br]5 כפול 7, 35

0:08:23.270,0:08:25.640
מינוס מינוס 2 כפול מינוס 6.

0:08:25.640,0:08:29.330
זה מינוס 12 k.

0:08:29.330,0:08:34.330
ניתן לפשט את זה. זה שווה מינוס 24 מינוס 21.

0:08:34.330,0:08:40.830
זה מינוס 35 - אני לא צריך לשים סוגריים - i,

0:08:40.830,0:08:43.720
כמה זה 20 מינוס מינוס 6, זה 26.

0:08:43.720,0:08:46.600
זה 20 ועוד 6, 26.

0:08:46.600,0:08:47.590
יש לנו כאן מינוס.

0:08:47.590,0:08:51.640
זה מינוס 26j.

0:08:51.640,0:08:54.340
כמה זה 35 מינוס 12, זה 23.

0:08:54.340,0:08:57.190
ועוד 23k.

0:08:57.190,0:08:58.690
זאת המכפלה הווקטרוית.

0:08:58.690,0:09:01.150
אם הייתם משרטטים את זה בשלושה ממדים,

0:09:01.150,0:09:03.710
תראו - וזה מה שמעניין - תראו שהווקטור הזה,

0:09:03.710,0:09:09.410
אם החשבון שעשיתי נכון, מינוס 35i, מינוס 26j,

0:09:09.410,0:09:15.750
ועוד 23k, מאונך לשני הווקטורים המקוריים.

0:09:15.750,0:09:18.620
אני חושב שאפסיק כאן,

0:09:18.620,0:09:20.050
ונתראה בסירטון הבא.

0:09:20.050,0:09:22.620
אני מקווה שאוכל להשיג תוכנה גרפית לווקטורים.

0:09:22.620,0:09:25.880
אני חושב שזה יהיה נחמד לחשב את המכפלה

0:09:25.880,0:09:29.130
הסקלרית והווקטורית בשיטה הזאת,

0:09:29.130,0:09:30.580
ואז לשרטט את הגרפים.

0:09:30.580,0:09:32.350
זה יראה לכם שזה אכן עובד.

0:09:32.350,0:09:36.930
שהווקטור הזה הוא אכן מאונך לשני אלה,

0:09:36.930,0:09:40.820
ומצביע לכוון אותו ניתן לקבל בעזרת

0:09:40.820,0:09:42.520
כלל יד ימין.

0:09:42.520,0:09:43.990
להתראות בסירטון הבא.