-
Imaginem que vivemos na pré-história.
-
Agora pensem no seguinte:
-
Como anotaríamos a passagem
do tempo sem um relógio?
-
Todos os relógios se baseiam
num padrão repetitivo
-
que divide o tempo em partes iguais.
-
Para encontrar esses padrões repetitivos
-
olhamos para os céus.
-
O nascer e o pôr do Sol
em cada dia é o mais óbvio.
-
Contudo, para anotar a passagem
de períodos mais longos de tempo
-
temos de procurar ciclos mais longos.
-
Para isso observamos a Lua,
-
que parece crescer e diminuir
ao longo de vários dias.
-
Quando contamos o número
de dias entre duas luas cheias
-
notamos que são 29.
-
Foi assim que se "inventou" o mês.
-
No entanto, se tentarmos
dividir 29 em partes iguais
-
temos um problema: não é possível.
-
A única maneira de dividir 29 em partes iguais
-
é "parti-lo" nas suas unidades unitárias.
-
29 é um número primo.
-
Pensem nele como sendo inquebrável.
-
Se um número pode ser dividido
em partes iguais maiores que a unidade
-
chamamos-lhe número composto.
-
Nesta altura, se formos curiosos
poderemos perguntar-nos:
-
quantos números primos há
-
e qual é o maior deles?
-
Comecemos por separar todos
os números em duas categorias.
-
os números primos à esquerda,
-
e os números compostos à direita.
-
Ao princípio parecem
dançar para cá e para lá.
-
Não se nota um padrão óbvio, aqui.
-
Então vamos usar uma técnica moderna
-
para vermos o quadro geral.
-
O truque é usar a espiral Ulam.
-
Primeiro ordenamos todos
os números possíveis
-
numa espiral crescente.
-
Depois pintamos os números primos de azul.
-
Finalmente, olhámos de longe
para vermos milhões de números.
-
Este é o padrão dos números primos,
-
que continua ininterruptamente.
-
Inacreditàvelmente,
ainda não se conseguiu,
-
até hoje, conhecer toda a
estrutura deste padrão.
-
Estamos a chegar a alguma coisa.
-
Então saltemos até cerca do
-
ano 300 A.C., na Grécia Antiga.
-
Um filósofo conhecido como
Euclides de Alexandria
-
percebeu que todos os números
-
podiam ser separados
nestas duas categorias.
-
Começou por tomar consciência
de que qualquer número
-
pode ser dividido sucessivamente
-
até se chegar a um grupo de pequenos números.
-
E, por definição, esses pequenos números
-
são sempre números primos.
-
Ou seja: ele descobriu que todos
os números são, de algum modo,
-
formados a partir de
pequenos úmeros primos
-
Vamos esclarecer. Imagine um
universo de todos os números
-
E ignore os números primos.
-
Agora escolha um número
composto e decomponha-o
-
e vai acabar por ficar com números primos.
-
Portanto, Euclides sabia
que qualquer número
-
podia ser expresso usando um
grupo de pequenos números primos.
-
Pense neles como sendo tijolos.
-
Seja qual for o número que escolhamos
-
ele pode, sempre, ser construído com
um agrupamento de pequenos números primos
-
Esta é a raiz da descoberta
conhecida como
-
Teorema Fundamental da Aritmética.
-
Para continuar, tomemos um número,
por exemplo, 30
-
e encontremos os números primos
-
que o constituem.
-
É o que chamamos factorização.
-
Com isto vamos encontrar os factores primos,
-
Neste caso 2, 3 e 5 são os factores primos de 30.
-
Euclides descobriu que podemos multiplicar
-
estes factores primos de uma maneira específica
-
para construir o número original
-
Neste caso basta
-
multiplicar uma vez cada um
dos factores para obter 30:
-
2 vezes 3 vezes 5 é a factorização de 30.
-
Imaginemos que esse produto é uma
chave especial, ou uma combinação
-
Não há outra maneira de refazer 30
-
usando o produto de qualquer
-
outro grupo de números primos.
-
Portanto, qualquer número tem uma
-
única factorização em números primos.
-
Uma boa analogia é imaginar que cada número
-
Uma boa analogia é imaginar cada número
-
é um cadeado diferente.
-
como um cadeado diferente.
-
A única chave para este cadeado
-
A unica chave para cada cadeado
-
será a sua factorização.
-
seria sua fatorização prima
-
Não há dois cadeados
com a mesma chave
-
Nenhum cadeado divide uma chave com outro.
-
Não há dois números com
a mesma factorização.
-
E nenhum número divide sua fatorização prima.
