0:00:04.420,0:00:07.221
Imaginem que vivemos na pré-história.

0:00:07.221,0:00:09.468
Agora pensem no seguinte:

0:00:09.468,0:00:12.721
Como anotaríamos a passagem[br]do tempo sem um relógio?

0:00:12.721,0:00:15.315
Todos os relógios se baseiam[br]num padrão repetitivo

0:00:15.315,0:00:18.890
que divide o tempo em partes iguais.

0:00:18.890,0:00:20.688
Para encontrar esses padrões repetitivos

0:00:20.688,0:00:22.918
olhamos para os céus.

0:00:22.918,0:00:24.902
O nascer e o pôr do Sol[br]em cada dia é o mais óbvio.

0:00:26.184,0:00:28.760
Contudo, para anotar a passagem[br]de períodos mais longos de tempo

0:00:28.760,0:00:30.811
temos de procurar ciclos mais longos.

0:00:30.811,0:00:32.512
Para isso observamos a Lua,

0:00:32.512,0:00:33.853
que parece crescer e diminuir[br]ao longo de vários dias.

0:00:36.578,0:00:37.894
Quando contamos o número[br]de dias entre duas luas cheias

0:00:38.978,0:00:40.910
notamos que são 29.

0:00:40.910,0:00:42.833
Foi assim que se "inventou" o mês.

0:00:42.833,0:00:45.873
No entanto, se tentarmos[br]dividir 29 em partes iguais

0:00:45.873,0:00:49.227
temos um problema: não é possível.

0:00:49.227,0:00:51.676
A única maneira de dividir 29 em partes iguais

0:00:51.676,0:00:54.819
é "parti-lo" nas suas unidades unitárias.

0:00:54.819,0:00:57.102
29 é um número primo.

0:00:57.102,0:00:59.061
Pensem nele como sendo inquebrável.

0:00:59.061,0:01:00.879
Se um número pode ser dividido[br]em partes iguais maiores que a unidade

0:01:02.814,0:01:04.621
chamamos-lhe número composto.

0:01:04.621,0:01:06.608
Nesta altura, se formos curiosos[br]poderemos perguntar-nos:

0:01:06.608,0:01:08.450
quantos números primos há

0:01:08.450,0:01:10.398
e qual é o maior deles?

0:01:10.398,0:01:13.744
Comecemos por separar todos[br]os números em duas categorias.

0:01:13.744,0:01:15.611
os números primos à esquerda,

0:01:15.611,0:01:17.648
e os números compostos à direita.

0:01:17.648,0:01:20.379
Ao princípio parecem[br]dançar para cá e para lá.

0:01:20.379,0:01:23.017
Não se nota um padrão óbvio, aqui.

0:01:23.017,0:01:24.439
Então vamos usar uma técnica moderna

0:01:24.439,0:01:26.077
para vermos o quadro geral.

0:01:26.077,0:01:29.047
O truque é usar a espiral Ulam.

0:01:29.047,0:01:32.011
Primeiro ordenamos todos[br]os números possíveis

0:01:32.011,0:01:34.043
numa espiral crescente.

0:01:34.043,0:01:37.164
Depois pintamos os números primos de azul.

0:01:37.164,0:01:41.290
Finalmente, olhámos de longe[br]para vermos milhões de números.

0:01:41.290,0:01:42.860
Este é o padrão dos números primos,

0:01:42.860,0:01:45.365
que continua ininterruptamente.

0:01:45.365,0:01:47.967
Inacreditàvelmente,[br]ainda não se conseguiu,

0:01:47.967,0:01:50.314
até hoje, conhecer toda a[br]estrutura deste padrão.

0:01:50.314,0:01:51.843
Estamos a chegar a alguma coisa.

0:01:51.843,0:01:52.987
Então saltemos até cerca do

0:01:52.987,0:01:55.526
ano 300 A.C., na Grécia Antiga.

0:01:55.526,0:01:58.183
Um filósofo conhecido como[br]Euclides de Alexandria

0:01:58.183,0:01:59.411
percebeu que todos os números

0:01:59.411,0:02:02.607
podiam ser separados[br]nestas duas categorias.

0:02:02.607,0:02:04.896
Começou por tomar consciência[br]de que qualquer número

0:02:04.896,0:02:07.078
pode ser dividido sucessivamente

0:02:07.078,0:02:10.599
até se chegar a um grupo de pequenos números.

0:02:10.599,0:02:12.921
E, por definição, esses pequenos números

0:02:12.921,0:02:15.760
são sempre números primos.

0:02:15.760,0:02:17.148
Ou seja: ele descobriu que todos[br]os números são, de algum modo,

0:02:17.148,0:02:20.542
formados a partir de[br]pequenos úmeros primos

0:02:20.542,0:02:23.317
Vamos esclarecer. Imagine um[br]universo de todos os números

0:02:23.317,0:02:25.674
E ignore os números primos.

0:02:25.674,0:02:28.037
Agora escolha um número[br]composto e decomponha-o

0:02:30.518,0:02:33.354
e vai acabar por ficar com números primos.

0:02:33.354,0:02:34.774
Portanto, Euclides sabia[br]que qualquer número

0:02:34.774,0:02:37.675
podia ser expresso usando um [br]grupo de pequenos números primos.

0:02:37.675,0:02:40.221
Pense neles como sendo tijolos.

0:02:40.221,0:02:41.996
Seja qual for o número que escolhamos

0:02:41.996,0:02:46.157
ele pode, sempre, ser construído com[br]um agrupamento de pequenos números primos

0:02:46.157,0:02:48.032
Esta é a raiz da descoberta[br]conhecida como

0:02:48.032,0:02:50.759
Teorema Fundamental da Aritmética.

0:02:50.759,0:02:52.013
Para continuar, tomemos um número,[br]por exemplo, 30

0:02:53.934,0:02:55.501
e encontremos os números primos

0:02:55.501,0:02:57.233
que o constituem.

0:02:57.233,0:02:59.763
É o que chamamos factorização.

0:02:59.763,0:03:01.624
Com isto vamos encontrar os factores primos,

0:03:01.624,0:03:05.811
Neste caso 2, 3 e 5 são os factores primos de 30.

0:03:05.811,0:03:07.906
Euclides descobriu que podemos multiplicar

0:03:07.906,0:03:10.714
estes factores primos de uma maneira específica

0:03:10.714,0:03:12.739
para construir o número original

0:03:12.739,0:03:13.780
Neste caso basta

0:03:13.780,0:03:16.178
multiplicar uma vez cada um[br]dos factores para obter 30:

0:03:16.178,0:03:20.158
2 vezes 3 vezes 5 é a factorização de 30.

0:03:20.158,0:03:23.153
Imaginemos que esse produto é uma[br]chave especial, ou uma combinação

0:03:23.153,0:03:24.887
Não há outra maneira de refazer 30

0:03:24.887,0:03:27.110
usando o produto de qualquer

0:03:27.110,0:03:28.792
outro grupo de números primos.

0:03:28.792,0:03:31.276
Portanto, qualquer número tem uma

0:03:31.276,0:03:34.046
única factorização em números primos.

0:03:34.046,0:03:36.299
Uma boa analogia é imaginar que cada número

0:03:36.299,0:03:38.017
é um cadeado diferente.

0:03:38.033,0:03:39.722
A única chave para este cadeado

0:03:39.722,0:03:42.054
será a sua factorização.

0:03:42.054,0:03:43.937
Não há dois cadeados[br]com a mesma chave

0:03:43.937,0:03:47.889
Não há dois números com[br]a mesma factorização.

0:03:34.046,0:03:36.299
Uma boa analogia é imaginar cada número

0:03:36.299,0:03:38.017
como um cadeado diferente.

0:03:38.033,0:03:39.722
A unica chave para cada cadeado

0:03:39.722,0:03:42.054
seria sua fatorização prima

0:03:42.054,0:03:43.937
Nenhum cadeado divide uma chave com outro.

0:03:43.937,0:03:47.889
E nenhum número divide sua fatorização prima.