Imaginem que vivemos na pré-história.
Agora pensem no seguinte:
Como anotaríamos a passagem do tempo sem um relógio?
Todos os relógios se baseiam num padrão repetitivo
que divide o tempo em partes iguais.
Para encontrar esses padrões repetitivos
olhamos para os céus.
O nascer e o pôr do Sol em cada dia é o mais óbvio.
Contudo, para anotar a passagem de períodos mais longos de tempo
temos de procurar ciclos mais longos.
Para isso observamos a Lua,
que parece crescer e diminuir ao longo de vários dias.
Quando contamos o número de dias entre duas luas cheias
notamos que são 29.
Foi assim que se "inventou" o mês.
No entanto, se tentarmos dividir 29 em partes iguais
temos um problema: não é possível.
A única maneira de dividir 29 em partes iguais
é "parti-lo" nas suas unidades unitárias.
29 é um número primo.
Pensem nele como sendo inquebrável.
Se um número pode ser dividido em partes iguais maiores que a unidade
chamamos-lhe número composto.
Nesta altura, se formos curiosos poderemos perguntar-nos:
quantos números primos há
e qual é o maior deles?
Comecemos por separar todos os números em duas categorias.
os números primos à esquerda,
e os números compostos à direita.
Ao princípio parecem dançar para cá e para lá.
Não se nota um padrão óbvio, aqui.
Então vamos usar uma técnica moderna
para vermos o quadro geral.
O truque é usar a espiral Ulam.
Primeiro ordenamos todos os números possíveis
numa espiral crescente.
Depois pintamos os números primos de azul.
Finalmente, olhámos de longe para vermos milhões de números.
Este é o padrão dos números primos,
que continua ininterruptamente.
Inacreditàvelmente, ainda não se conseguiu,
até hoje, conhecer toda a estrutura deste padrão.
Estamos a chegar a alguma coisa.
Então saltemos até cerca do
ano 300 A.C., na Grécia Antiga.
Um filósofo conhecido como Euclides de Alexandria
percebeu que todos os números
podiam ser separados nestas duas categorias.
Começou por tomar consciência de que qualquer número
pode ser dividido sucessivamente
até se chegar a um grupo de pequenos números.
E, por definição, esses pequenos números
são sempre números primos.
Ou seja: ele descobriu que todos os números são, de algum modo,
formados a partir de pequenos úmeros primos
Vamos esclarecer. Imagine um universo de todos os números
E ignore os números primos.
Agora escolha um número composto e decomponha-o
e vai acabar por ficar com números primos.
Portanto, Euclides sabia que qualquer número
podia ser expresso usando um grupo de pequenos números primos.
Pense neles como sendo tijolos.
Seja qual for o número que escolhamos
ele pode, sempre, ser construído com um agrupamento de pequenos números primos
Esta é a raiz da descoberta conhecida como
Teorema Fundamental da Aritmética.
Para continuar, tomemos um número, por exemplo, 30
e encontremos os números primos
que o constituem.
É o que chamamos factorização.
Com isto vamos encontrar os factores primos,
Neste caso 2, 3 e 5 são os factores primos de 30.
Euclides descobriu que podemos multiplicar
estes factores primos de uma maneira específica
para construir o número original
Neste caso basta
multiplicar uma vez cada um dos factores para obter 30:
2 vezes 3 vezes 5 é a factorização de 30.
Imaginemos que esse produto é uma chave especial, ou uma combinação
Não há outra maneira de refazer 30
usando o produto de qualquer
outro grupo de números primos.
Portanto, qualquer número tem uma
única factorização em números primos.
Uma boa analogia é imaginar que cada número
é um cadeado diferente.
A única chave para este cadeado
será a sua factorização.
Não há dois cadeados com a mesma chave
Não há dois números com a mesma factorização.
Uma boa analogia é imaginar cada número
como um cadeado diferente.
A unica chave para cada cadeado
seria sua fatorização prima
Nenhum cadeado divide uma chave com outro.
E nenhum número divide sua fatorização prima.