Trig Implicit Differentiation Example

Implicit differentiation example that involves the tangent function

有人要我解一下隐式微分

tan(x/y)=x+y

我们已经讲过几个隐式微分的视频

但这个对于第一年学微积分的同学来说

还是很让人头疼的

因此 我想再举个例子

多看几题没有坏处

因此 我们看看这个

因此 要用隐式微分法做这个题

我们只要在方程两边加上

微分算子d/dx

这个对x求导

左边对x求导 相当于

右边对x求导

右边非常简单

左边有点复杂

因此 我们在这边看一下

把左边稍微换个写法

换个颜色

假设 a=tanb

假设b=x/y

然后 很明显 a就是这个

我的意思是把b带到这里

可以把这整个写成a

因此 如果对x求导

这是我们要做的

两边都对它求导

这个是da/dx

等于 x对x求导

这个非常简单 等于1

加上y对x求导

我这么写

导数算子

dy/dx

这就是我们做的

运用y的导数算子

我们不知道它等于多少 我们要求解它

但是 很明显 我不能这么放着

不能把da/dx就这么放着

我们刚刚算出a a等于这个 对吧？

a=tanb b=y/x

我这么写的原因是 我想让你们看看

当求这个的导数时

可以通过链式法则求解

这个不是什么新的知识

因此 导数…我把链式法则写在这儿

da/dx 等于

da/db 乘以

db/dx

这是链式法则 很容易记住

因为 这两个db抵消

就只剩下da/dx

如果把这个看成普通的分数的话

因此 da/db等于多少?

等于1除以(cosb)^2

如果你们不记得了

实际上不难证明

只要把这个写成sinb/cosb

但是这个是很多人都知道的

一个三角函数的导数

我们已经做过一个视频 证明过这个了

有的书也把这个写成（secb）^2

但是我们知道sec方相当于

（1/cos）^2

我喜欢把它化成基本三角函数

或正割函数 比如sec和csc

然后 db/dx等于多少？

这个很有意思

我把b重写一下 实际上

写成b=（xy）^-1

因此 db/dx

我们可以利用链式法则

可以说 我写一下

db/dx等于

（xy）^-1的导数

因此 x的导数等于1

乘以y^(-1) 加上 导数…

因此我写一下

加上d（y^-1)/dx

乘以第一项 乘以x

因此 这里

很显然 我还没完全化简

我还没算出这个等于多少

我只是简单地利用了乘积法则

把第一项求导

x的导数等于1 乘以第二项 加上

第二项的导数 乘以第一项

这是我们做的

因此 db/dx

就是这个

因此 它等于…用黄色 因此 乘以

我还是用蓝色吧 因为前面就是用的蓝色

这是蓝的

db/dx等于y^(-1)

或者1/y 加上d（1/y）dx 乘以x

我把它写下来

因此 我们刚刚算出 或者说差不多算出

da/dx等于多少

我们把它代进去

但是还没做完

1/y的对x求导等于多少

再利用链式法则

我讲清楚一点

我知道这个看起来有点复杂

但我想这是说的通的

我们令c=1/y

因此 dc/dx 利用链式法则

等于 dc/dy

乘以dy/dx

dc/dy等于多少？

它相当于

可以把这个写成y^(-1)

因此 等于-y^（-2）

就是这个

这个是这个

我们不知道dy/dx等于多少

这是我们要求解的

因此 等于它乘以dy/dx

这是从链式法则得到的

因此 这个

这是 这个对x的导数

也就相当于dc/dx

因此 可以把这个写在这儿

可以把这个写成-y^（-2）dy/dx

然后 当然要乘以x

然后加上（1/y）

这整个乘以1/（cosb）^2

现在我们化简得差不多了

希望链式法则不会把你们弄糊涂了

因为我真的想说 所有的

隐式微分 这些dy/dx不需要…

这个不需要记住

它们是从链式法则推导来的

因此我们解出da/dx 等于这个式子

我写一下 它等于1/（cosb）^2

b等于多少？它等于x/y

(cos(x/y))^2 乘以这些东西

乘以这整个

1/y加上 或者应该说减去

把这个整理一下 等于x/y^2 乘以dy/dx

然后 它等于右边

等于1加dy/dx

现在 我们要做的就是求解dy/dx

因此 我们回顾一下 怎么得到的这个

看看链式法则的每一步

但是 如果你们掌握了

你们可以直接到这一步

你们可以这么考虑…

右边你们知道

x的导数等于1 y对x求导

即dy/dx

左边

对这整个对x/y求导

因此 tan的导数等于1/cos^2

因此 等于1/(cos(x/y))^2

把它乘以x/y

对x的导数

x/y对x求导 就是…

有点复杂

这就是为什么我们要写在边上

x的导数 等于1 乘以1/y

也就是这一项 加上1/y对x的导数

即 -1/（y^2）乘以dy/dx

这是根据链式法则得来的 乘以dx

这就是为什么我们要写在边上

这样就不容易粗心 犯错

如果你们熟练之后

你们可以直接在脑子里面做 当然

它等于右边

因此 从这里开始只是单纯的代数了

只要解出dy/dx

因此 先把等式两边乘以

(cos（x/y）)^2

因此 很显然 这边变成1

左边变成1/y减去

x/(y^2) 乘以dy/dx 等于…

把方程两边都同时乘以

这里的分母

等于（cosx/y）^2 加上

(cosx/y)^2 乘以dy/dx

现在要怎么做

可以把方程两边

都减去（cosx/y）^2

得到1/y 减去（cosx/y）^2

我只是把方程两边都减去这个

从本质上说是把它移到了左边

我要做的是…

把dy/dx项从非dy/dx项中分离出来

因此 我要把dy/dx项移到右边

因此 把两边都加上x/(y^2)

然后这个等于x/y

把它用原来的颜色写

稍微有点不同的颜色

因此 等于x/(y^2) dy/dx用橙色

dy/dx 然后这一项

加上(cosx/y)^2 乘以dy/dx

我想差不多能算出来了

我们把右边的dy/dx分离出来

因此 这个等于dy/dx 乘以x/(y^2) 加上

(cosx/y)^2

它等于这里这个

等于1/y 减去（cosx/y）^2

现在解dy/dx 只要把方程两边都除以

这个式子

然后得到什么？

得到 如果两边都除以那个式子

得到1/y减去（cosx/y）^2 除以

这整个式子

x/(y^2) 加上(cosx/y)^2 等于dy/dx

然后就做完了

我们只要多次利用链式法则 就能

解出隐式微分 tan(y/x)等于x+y

实际上难的部分是得到这一步

这一步之后就只是单纯的代数了

只要解出dy/dx

然后 得到结果在这儿

不管怎样 希望这对你们有帮助