有人要我解一下隐式微分 tan(x/y)=x+y 我们已经讲过几个隐式微分的视频 但这个对于第一年学微积分的同学来说 还是很让人头疼的 因此 我想再举个例子 多看几题没有坏处 因此 我们看看这个 因此 要用隐式微分法做这个题 我们只要在方程两边加上 微分算子d/dx 这个对x求导 左边对x求导 相当于 右边对x求导 右边非常简单 左边有点复杂 因此 我们在这边看一下 把左边稍微换个写法 换个颜色 假设 a=tanb 假设b=x/y 然后 很明显 a就是这个 我的意思是把b带到这里 可以把这整个写成a 因此 如果对x求导 这是我们要做的 两边都对它求导 这个是da/dx 等于 x对x求导 这个非常简单 等于1 加上y对x求导 我这么写 导数算子 dy/dx 这就是我们做的 运用y的导数算子 我们不知道它等于多少 我们要求解它 但是 很明显 我不能这么放着 不能把da/dx就这么放着 我们刚刚算出a a等于这个 对吧？ a=tanb b=y/x 我这么写的原因是 我想让你们看看 当求这个的导数时 可以通过链式法则求解 这个不是什么新的知识 因此 导数…我把链式法则写在这儿 da/dx 等于 da/db 乘以 db/dx 这是链式法则 很容易记住 因为 这两个db抵消 就只剩下da/dx 如果把这个看成普通的分数的话 因此 da/db等于多少? 等于1除以(cosb)^2 如果你们不记得了 实际上不难证明 只要把这个写成sinb/cosb 但是这个是很多人都知道的 一个三角函数的导数 我们已经做过一个视频 证明过这个了 有的书也把这个写成（secb）^2 但是我们知道sec方相当于 （1/cos）^2 我喜欢把它化成基本三角函数 或正割函数 比如sec和csc 然后 db/dx等于多少？ 这个很有意思 我把b重写一下 实际上 写成b=（xy）^-1 因此 db/dx 我们可以利用链式法则 可以说 我写一下 db/dx等于 （xy）^-1的导数 因此 x的导数等于1 乘以y^(-1) 加上 导数… 因此我写一下 加上d（y^-1)/dx 乘以第一项 乘以x 因此 这里 很显然 我还没完全化简 我还没算出这个等于多少 我只是简单地利用了乘积法则 把第一项求导 x的导数等于1 乘以第二项 加上 第二项的导数 乘以第一项 这是我们做的 因此 db/dx 就是这个 因此 它等于…用黄色 因此 乘以 我还是用蓝色吧 因为前面就是用的蓝色 这是蓝的 db/dx等于y^(-1) 或者1/y 加上d（1/y）dx 乘以x 我把它写下来 因此 我们刚刚算出 或者说差不多算出 da/dx等于多少 我们把它代进去 但是还没做完 1/y的对x求导等于多少 再利用链式法则 我讲清楚一点 我知道这个看起来有点复杂 但我想这是说的通的 我们令c=1/y 因此 dc/dx 利用链式法则 等于 dc/dy 乘以dy/dx dc/dy等于多少？ 它相当于 可以把这个写成y^(-1) 因此 等于-y^（-2） 就是这个 这个是这个 我们不知道dy/dx等于多少 这是我们要求解的 因此 等于它乘以dy/dx 这是从链式法则得到的 因此 这个 这是 这个对x的导数 也就相当于dc/dx 因此 可以把这个写在这儿 可以把这个写成-y^（-2）dy/dx 然后 当然要乘以x 然后加上（1/y） 这整个乘以1/（cosb）^2 现在我们化简得差不多了 希望链式法则不会把你们弄糊涂了 因为我真的想说 所有的 隐式微分 这些dy/dx不需要… 这个不需要记住 它们是从链式法则推导来的 因此我们解出da/dx 等于这个式子 我写一下 它等于1/（cosb）^2 b等于多少？它等于x/y (cos(x/y))^2 乘以这些东西 乘以这整个 1/y加上 或者应该说减去 把这个整理一下 等于x/y^2 乘以dy/dx 然后 它等于右边 等于1加dy/dx 现在 我们要做的就是求解dy/dx 因此 我们回顾一下 怎么得到的这个 看看链式法则的每一步 但是 如果你们掌握了 你们可以直接到这一步 你们可以这么考虑… 右边你们知道 x的导数等于1 y对x求导 即dy/dx 左边 对这整个对x/y求导 因此 tan的导数等于1/cos^2 因此 等于1/(cos(x/y))^2 把它乘以x/y 对x的导数 x/y对x求导 就是… 有点复杂 这就是为什么我们要写在边上 x的导数 等于1 乘以1/y 也就是这一项 加上1/y对x的导数 即 -1/（y^2）乘以dy/dx 这是根据链式法则得来的 乘以dx 这就是为什么我们要写在边上 这样就不容易粗心 犯错 如果你们熟练之后 你们可以直接在脑子里面做 当然 它等于右边 因此 从这里开始只是单纯的代数了 只要解出dy/dx 因此 先把等式两边乘以 (cos（x/y）)^2 因此 很显然 这边变成1 左边变成1/y减去 x/(y^2) 乘以dy/dx 等于… 把方程两边都同时乘以 这里的分母 等于（cosx/y）^2 加上 (cosx/y)^2 乘以dy/dx 现在要怎么做 可以把方程两边 都减去（cosx/y）^2 得到1/y 减去（cosx/y）^2 我只是把方程两边都减去这个 从本质上说是把它移到了左边 我要做的是… 把dy/dx项从非dy/dx项中分离出来 因此 我要把dy/dx项移到右边 因此 把两边都加上x/(y^2) 然后这个等于x/y 把它用原来的颜色写 稍微有点不同的颜色 因此 等于x/(y^2) dy/dx用橙色 dy/dx 然后这一项 加上(cosx/y)^2 乘以dy/dx 我想差不多能算出来了 我们把右边的dy/dx分离出来 因此 这个等于dy/dx 乘以x/(y^2) 加上 (cosx/y)^2 它等于这里这个 等于1/y 减去（cosx/y）^2 现在解dy/dx 只要把方程两边都除以 这个式子 然后得到什么？ 得到 如果两边都除以那个式子 得到1/y减去（cosx/y）^2 除以 这整个式子 x/(y^2) 加上(cosx/y)^2 等于dy/dx 然后就做完了 我们只要多次利用链式法则 就能 解出隐式微分 tan(y/x)等于x+y 实际上难的部分是得到这一步 这一步之后就只是单纯的代数了 只要解出dy/dx 然后 得到结果在这儿 不管怎样 希望这对你们有帮助