有人要我解一下隐式微分
tan(x/y)=x+y
我们已经讲过几个隐式微分的视频
但这个对于第一年学微积分的同学来说
还是很让人头疼的
因此 我想再举个例子
多看几题没有坏处
因此 我们看看这个
因此 要用隐式微分法做这个题
我们只要在方程两边加上
微分算子d/dx
这个对x求导
左边对x求导 相当于
右边对x求导
右边非常简单
左边有点复杂
因此 我们在这边看一下
把左边稍微换个写法
换个颜色
假设 a=tanb
假设b=x/y
然后 很明显 a就是这个
我的意思是把b带到这里
可以把这整个写成a
因此 如果对x求导
这是我们要做的
两边都对它求导
这个是da/dx
等于 x对x求导
这个非常简单 等于1
加上y对x求导
我这么写
导数算子
dy/dx
这就是我们做的
运用y的导数算子
我们不知道它等于多少 我们要求解它
但是 很明显 我不能这么放着
不能把da/dx就这么放着
我们刚刚算出a a等于这个 对吧？
a=tanb b=y/x
我这么写的原因是 我想让你们看看
当求这个的导数时
可以通过链式法则求解
这个不是什么新的知识
因此 导数…我把链式法则写在这儿
da/dx 等于
da/db 乘以
db/dx
这是链式法则 很容易记住
因为 这两个db抵消
就只剩下da/dx
如果把这个看成普通的分数的话
因此 da/db等于多少?
等于1除以(cosb)^2
如果你们不记得了
实际上不难证明
只要把这个写成sinb/cosb
但是这个是很多人都知道的
一个三角函数的导数
我们已经做过一个视频 证明过这个了
有的书也把这个写成（secb）^2
但是我们知道sec方相当于
（1/cos）^2
我喜欢把它化成基本三角函数
或正割函数 比如sec和csc
然后 db/dx等于多少？
这个很有意思
我把b重写一下 实际上
写成b=（xy）^-1
因此 db/dx
我们可以利用链式法则
可以说 我写一下
db/dx等于
（xy）^-1的导数
因此 x的导数等于1
乘以y^(-1) 加上 导数…
因此我写一下
加上d（y^-1)/dx
乘以第一项 乘以x
因此 这里
很显然 我还没完全化简
我还没算出这个等于多少
我只是简单地利用了乘积法则
把第一项求导
x的导数等于1 乘以第二项 加上
第二项的导数 乘以第一项
这是我们做的
因此 db/dx
就是这个
因此 它等于…用黄色 因此 乘以
我还是用蓝色吧 因为前面就是用的蓝色
这是蓝的
db/dx等于y^(-1)
或者1/y 加上d（1/y）dx 乘以x
我把它写下来
因此 我们刚刚算出 或者说差不多算出
da/dx等于多少
我们把它代进去
但是还没做完
1/y的对x求导等于多少
再利用链式法则
我讲清楚一点
我知道这个看起来有点复杂
但我想这是说的通的
我们令c=1/y
因此 dc/dx 利用链式法则
等于 dc/dy
乘以dy/dx
dc/dy等于多少？
它相当于
可以把这个写成y^(-1)
因此 等于-y^（-2）
就是这个
这个是这个
我们不知道dy/dx等于多少
这是我们要求解的
因此 等于它乘以dy/dx
这是从链式法则得到的
因此 这个
这是 这个对x的导数
也就相当于dc/dx
因此 可以把这个写在这儿
可以把这个写成-y^（-2）dy/dx
然后 当然要乘以x
然后加上（1/y）
这整个乘以1/（cosb）^2
现在我们化简得差不多了
希望链式法则不会把你们弄糊涂了
因为我真的想说 所有的
隐式微分 这些dy/dx不需要…
这个不需要记住
它们是从链式法则推导来的
因此我们解出da/dx 等于这个式子
我写一下 它等于1/（cosb）^2
b等于多少？它等于x/y
(cos(x/y))^2 乘以这些东西
乘以这整个
1/y加上 或者应该说减去
把这个整理一下 等于x/y^2 乘以dy/dx
然后 它等于右边
等于1加dy/dx
现在 我们要做的就是求解dy/dx
因此 我们回顾一下 怎么得到的这个
看看链式法则的每一步
但是 如果你们掌握了
你们可以直接到这一步
你们可以这么考虑…
右边你们知道
x的导数等于1 y对x求导
即dy/dx
左边
对这整个对x/y求导
因此 tan的导数等于1/cos^2
因此 等于1/(cos(x/y))^2
把它乘以x/y
对x的导数
x/y对x求导 就是…
有点复杂
这就是为什么我们要写在边上
x的导数 等于1 乘以1/y
也就是这一项 加上1/y对x的导数
即 -1/（y^2）乘以dy/dx
这是根据链式法则得来的 乘以dx
这就是为什么我们要写在边上
这样就不容易粗心 犯错
如果你们熟练之后
你们可以直接在脑子里面做 当然
它等于右边
因此 从这里开始只是单纯的代数了
只要解出dy/dx
因此 先把等式两边乘以
(cos（x/y）)^2
因此 很显然 这边变成1
左边变成1/y减去
x/(y^2) 乘以dy/dx 等于…
把方程两边都同时乘以
这里的分母
等于（cosx/y）^2 加上
(cosx/y)^2 乘以dy/dx
现在要怎么做
可以把方程两边
都减去（cosx/y）^2
得到1/y 减去（cosx/y）^2
我只是把方程两边都减去这个
从本质上说是把它移到了左边
我要做的是…
把dy/dx项从非dy/dx项中分离出来
因此 我要把dy/dx项移到右边
因此 把两边都加上x/(y^2)
然后这个等于x/y
把它用原来的颜色写
稍微有点不同的颜色
因此 等于x/(y^2) dy/dx用橙色
dy/dx 然后这一项
加上(cosx/y)^2 乘以dy/dx
我想差不多能算出来了
我们把右边的dy/dx分离出来
因此 这个等于dy/dx 乘以x/(y^2) 加上
(cosx/y)^2
它等于这里这个
等于1/y 减去（cosx/y）^2
现在解dy/dx 只要把方程两边都除以
这个式子
然后得到什么？
得到 如果两边都除以那个式子
得到1/y减去（cosx/y）^2 除以
这整个式子
x/(y^2) 加上(cosx/y)^2 等于dy/dx
然后就做完了
我们只要多次利用链式法则 就能
解出隐式微分 tan(y/x)等于x+y
实际上难的部分是得到这一步
这一步之后就只是单纯的代数了
只要解出dy/dx
然后 得到结果在这儿
不管怎样 希望这对你们有帮助