0:00:00.000,0:00:00.430
有人要我解一下隐式微分

0:00:00.430,0:00:04.050
tan(x/y)=x+y

0:00:04.050,0:00:10.390
我们已经讲过几个隐式微分的视频

0:00:10.390,0:00:14.150
但这个对于第一年学微积分的同学来说

0:00:14.150,0:00:17.440
还是很让人头疼的

0:00:17.440,0:00:18.720
因此 我想再举个例子

0:00:18.720,0:00:21.040
多看几题没有坏处

0:00:21.040,0:00:22.860
因此 我们看看这个

0:00:22.860,0:00:24.290
因此 要用隐式微分法做这个题

0:00:24.290,0:00:26.680
我们只要在方程两边加上

0:00:26.680,0:00:29.363
微分算子d/dx

0:00:29.363,0:00:29.970
这个对x求导

0:00:29.970,0:00:33.290
左边对x求导 相当于

0:00:33.290,0:00:35.420
右边对x求导

0:00:35.420,0:00:40.580
右边非常简单

0:00:40.580,0:00:42.790
左边有点复杂

0:00:42.790,0:00:44.770
因此 我们在这边看一下

0:00:44.770,0:00:47.380
把左边稍微换个写法

0:00:47.380,0:00:52.020
换个颜色

0:00:52.020,0:00:52.990
假设 a=tanb

0:00:52.990,0:01:00.410
假设b=x/y

0:01:00.410,0:01:09.380
然后 很明显 a就是这个

0:01:09.380,0:01:11.620
我的意思是把b带到这里

0:01:11.620,0:01:14.860
可以把这整个写成a

0:01:14.860,0:01:18.090
因此 如果对x求导

0:01:18.090,0:01:20.930
这是我们要做的

0:01:20.930,0:01:23.740
两边都对它求导

0:01:23.740,0:01:26.570
这个是da/dx

0:01:26.570,0:01:36.500
等于 x对x求导

0:01:36.500,0:01:38.610
这个非常简单 等于1

0:01:38.610,0:01:41.210
加上y对x求导

0:01:41.210,0:01:44.390
我这么写

0:01:44.390,0:01:45.430
导数算子

0:01:45.430,0:01:48.820
dy/dx

0:01:48.820,0:01:53.770
这就是我们做的

0:01:53.770,0:01:54.350
运用y的导数算子

0:01:54.350,0:01:56.520
我们不知道它等于多少 我们要求解它

0:01:56.520,0:01:58.650
但是 很明显 我不能这么放着

0:01:58.650,0:02:01.180
不能把da/dx就这么放着

0:02:01.180,0:02:02.360
我们刚刚算出a a等于这个 对吧？

0:02:02.360,0:02:04.610
a=tanb b=y/x

0:02:04.610,0:02:05.930
我这么写的原因是 我想让你们看看

0:02:05.930,0:02:09.450
当求这个的导数时

0:02:09.450,0:02:11.730
可以通过链式法则求解

0:02:11.730,0:02:14.870
这个不是什么新的知识

0:02:14.870,0:02:16.500
因此 导数…我把链式法则写在这儿

0:02:16.500,0:02:18.840
da/dx 等于

0:02:18.840,0:02:20.090
da/db 乘以

0:02:20.090,0:02:22.200
db/dx

0:02:22.200,0:02:23.990
这是链式法则 很容易记住

0:02:23.990,0:02:30.930
因为 这两个db抵消

0:02:30.930,0:02:35.280
就只剩下da/dx

0:02:35.280,0:02:37.580
如果把这个看成普通的分数的话

0:02:37.580,0:02:39.720
因此 da/db等于多少?

0:02:39.720,0:02:43.040
等于1除以(cosb)^2

0:02:43.040,0:02:45.800
如果你们不记得了

0:02:45.800,0:02:47.470
实际上不难证明

0:02:47.470,0:02:50.275
只要把这个写成sinb/cosb

0:02:50.275,0:02:55.020
但是这个是很多人都知道的

0:02:55.020,0:03:01.570
一个三角函数的导数

0:03:01.570,0:03:03.570
我们已经做过一个视频 证明过这个了

0:03:03.570,0:03:07.400
有的书也把这个写成（secb）^2

0:03:07.400,0:03:10.670
但是我们知道sec方相当于

0:03:10.670,0:03:12.130
（1/cos）^2

0:03:12.130,0:03:14.230
我喜欢把它化成基本三角函数

0:03:14.230,0:03:16.840
或正割函数 比如sec和csc

0:03:16.840,0:03:19.070
然后 db/dx等于多少？

0:03:19.070,0:03:20.340
这个很有意思

0:03:20.340,0:03:25.320
我把b重写一下 实际上

0:03:25.320,0:03:27.360
写成b=（xy）^-1

0:03:27.360,0:03:28.490
因此 db/dx

0:03:28.490,0:03:31.090
我们可以利用链式法则

0:03:31.090,0:03:37.030
可以说 我写一下

0:03:37.030,0:03:38.260
db/dx等于

0:03:38.260,0:03:39.710
（xy）^-1的导数

0:03:39.710,0:03:45.730
因此 x的导数等于1

0:03:45.730,0:03:48.520
乘以y^(-1) 加上 导数…

0:03:48.520,0:03:50.470
因此我写一下

0:03:50.470,0:03:53.680
加上d（y^-1)/dx

0:03:53.680,0:03:57.530
乘以第一项 乘以x

0:03:57.530,0:03:58.790
因此 这里

0:03:58.790,0:04:01.300
很显然 我还没完全化简

0:04:01.300,0:04:07.360
我还没算出这个等于多少

0:04:07.360,0:04:08.030
我只是简单地利用了乘积法则

0:04:08.030,0:04:12.320
把第一项求导

0:04:12.320,0:04:17.930
x的导数等于1 乘以第二项 加上

0:04:17.930,0:04:20.470
第二项的导数 乘以第一项

0:04:20.470,0:04:21.190
这是我们做的

0:04:21.190,0:04:22.890
因此 db/dx

0:04:22.890,0:04:25.010
就是这个

0:04:25.010,0:04:27.990
因此 它等于…用黄色 因此 乘以

0:04:27.990,0:04:30.380
我还是用蓝色吧 因为前面就是用的蓝色

0:04:30.380,0:04:31.310
这是蓝的

0:04:31.310,0:04:32.700
db/dx等于y^(-1)

0:04:32.700,0:04:35.170
或者1/y 加上d（1/y）dx 乘以x

0:04:35.170,0:04:36.560
我把它写下来

0:04:36.560,0:04:42.290
因此 我们刚刚算出 或者说差不多算出

0:04:42.290,0:04:43.520
da/dx等于多少

0:04:43.520,0:04:47.290
我们把它代进去

0:04:47.290,0:04:52.580
但是还没做完

0:04:52.580,0:04:59.590
1/y的对x求导等于多少

0:04:59.590,0:05:01.180
再利用链式法则

0:05:01.180,0:05:04.330
我讲清楚一点

0:05:04.330,0:05:07.400
我知道这个看起来有点复杂

0:05:07.400,0:05:08.450
但我想这是说的通的

0:05:08.450,0:05:09.230
我们令c=1/y

0:05:09.230,0:05:12.280
因此 dc/dx 利用链式法则

0:05:12.280,0:05:14.990
等于 dc/dy

0:05:14.990,0:05:17.520
乘以dy/dx

0:05:17.520,0:05:18.830
dc/dy等于多少？

0:05:18.830,0:05:21.570
它相当于

0:05:21.570,0:05:24.020
可以把这个写成y^(-1)

0:05:24.020,0:05:28.390
因此 等于-y^（-2）

0:05:28.390,0:05:32.550
就是这个

0:05:32.550,0:05:35.580
这个是这个

0:05:35.580,0:05:40.090
我们不知道dy/dx等于多少

0:05:40.090,0:05:43.140
这是我们要求解的

0:05:43.140,0:05:44.930
因此 等于它乘以dy/dx

0:05:44.930,0:05:46.350
这是从链式法则得到的

0:05:46.350,0:05:51.160
因此 这个

0:05:51.160,0:05:52.910
这是 这个对x的导数

0:05:52.910,0:05:55.740
也就相当于dc/dx

0:05:55.740,0:05:57.220
因此 可以把这个写在这儿

0:05:57.220,0:05:58.020
可以把这个写成-y^（-2）dy/dx

0:05:58.020,0:05:59.690
然后 当然要乘以x

0:05:59.690,0:06:02.390
然后加上（1/y）

0:06:02.390,0:06:03.540
这整个乘以1/（cosb）^2

0:06:03.540,0:06:05.340
现在我们化简得差不多了

0:06:05.340,0:06:11.400
希望链式法则不会把你们弄糊涂了

0:06:11.400,0:06:13.830
因为我真的想说 所有的

0:06:13.830,0:06:15.770
隐式微分 这些dy/dx不需要…

0:06:15.770,0:06:19.210
这个不需要记住

0:06:19.210,0:06:25.240
它们是从链式法则推导来的

0:06:25.240,0:06:28.910
因此我们解出da/dx 等于这个式子

0:06:28.910,0:06:33.910
我写一下 它等于1/（cosb）^2

0:06:33.910,0:06:38.050
b等于多少？它等于x/y

0:06:38.050,0:06:40.660
(cos(x/y))^2 乘以这些东西

0:06:40.660,0:06:42.840
乘以这整个

0:06:42.840,0:06:45.020
1/y加上 或者应该说减去

0:06:45.020,0:06:48.320
把这个整理一下 等于x/y^2 乘以dy/dx

0:06:48.320,0:06:50.570
然后 它等于右边

0:06:50.570,0:06:52.890
等于1加dy/dx

0:06:52.890,0:06:56.930
现在 我们要做的就是求解dy/dx

0:06:56.930,0:06:59.230
因此 我们回顾一下 怎么得到的这个

0:06:59.230,0:07:07.130
看看链式法则的每一步

0:07:07.130,0:07:07.880
但是 如果你们掌握了

0:07:07.880,0:07:10.640
你们可以直接到这一步

0:07:10.640,0:07:16.920
你们可以这么考虑…

0:07:16.920,0:07:19.840
右边你们知道

0:07:19.840,0:07:25.670
x的导数等于1 y对x求导

0:07:25.670,0:07:32.486
即dy/dx

0:07:32.486,0:07:36.660
左边

0:07:36.660,0:07:39.000
对这整个对x/y求导

0:07:39.000,0:07:48.490
因此 tan的导数等于1/cos^2

0:07:48.490,0:07:51.420
因此 等于1/(cos(x/y))^2

0:07:51.420,0:07:53.990
把它乘以x/y

0:07:53.990,0:07:56.300
对x的导数

0:07:56.300,0:07:58.170
x/y对x求导 就是…

0:07:58.170,0:07:59.360
有点复杂

0:07:59.360,0:08:01.380
这就是为什么我们要写在边上

0:08:01.380,0:08:02.033
x的导数 等于1 乘以1/y

0:08:02.033,0:08:04.380
也就是这一项 加上1/y对x的导数

0:08:04.380,0:08:06.560
即 -1/（y^2）乘以dy/dx

0:08:06.560,0:08:09.010
这是根据链式法则得来的 乘以dx

0:08:09.010,0:08:11.630
这就是为什么我们要写在边上

0:08:11.630,0:08:14.100
这样就不容易粗心 犯错

0:08:14.100,0:08:15.020
如果你们熟练之后

0:08:15.020,0:08:18.620
你们可以直接在脑子里面做 当然

0:08:18.620,0:08:23.530
它等于右边

0:08:23.530,0:08:26.770
因此 从这里开始只是单纯的代数了

0:08:26.770,0:08:28.970
只要解出dy/dx

0:08:28.970,0:08:31.590
因此 先把等式两边乘以

0:08:31.590,0:08:34.150
(cos（x/y）)^2

0:08:34.150,0:08:39.680
因此 很显然 这边变成1

0:08:39.680,0:08:44.200
左边变成1/y减去

0:08:44.200,0:08:46.620
x/(y^2) 乘以dy/dx 等于…

0:08:46.620,0:08:48.140
把方程两边都同时乘以

0:08:48.140,0:08:49.360
这里的分母

0:08:49.360,0:08:51.410
等于（cosx/y）^2 加上

0:08:51.410,0:08:53.980
(cosx/y)^2 乘以dy/dx

0:08:53.980,0:08:56.520
现在要怎么做

0:08:56.520,0:08:59.140
可以把方程两边

0:08:59.140,0:09:01.490
都减去（cosx/y）^2

0:09:01.490,0:09:04.910
得到1/y 减去（cosx/y）^2

0:09:04.910,0:09:07.420
我只是把方程两边都减去这个

0:09:07.420,0:09:14.970
从本质上说是把它移到了左边

0:09:14.970,0:09:23.690
我要做的是…

0:09:23.690,0:09:26.730
把dy/dx项从非dy/dx项中分离出来

0:09:26.730,0:09:32.530
因此 我要把dy/dx项移到右边

0:09:32.530,0:09:35.190
因此 把两边都加上x/(y^2)

0:09:35.190,0:09:39.420
然后这个等于x/y

0:09:39.420,0:09:40.190
把它用原来的颜色写

0:09:40.190,0:09:44.210
稍微有点不同的颜色

0:09:44.210,0:09:52.110
因此 等于x/(y^2) dy/dx用橙色

0:09:52.110,0:09:53.710
dy/dx 然后这一项

0:09:53.710,0:09:55.780
加上(cosx/y)^2 乘以dy/dx

0:09:55.780,0:09:57.590
我想差不多能算出来了

0:09:57.590,0:09:59.040
我们把右边的dy/dx分离出来

0:09:59.040,0:10:01.040
因此 这个等于dy/dx 乘以x/(y^2) 加上

0:10:01.040,0:10:04.810
(cosx/y)^2

0:10:04.810,0:10:06.750
它等于这里这个

0:10:06.750,0:10:07.950
等于1/y 减去（cosx/y）^2

0:10:07.950,0:10:11.550
现在解dy/dx 只要把方程两边都除以

0:10:11.550,0:10:17.260
这个式子

0:10:17.260,0:10:21.070
然后得到什么？

0:10:21.070,0:10:21.470
得到 如果两边都除以那个式子

0:10:21.470,0:10:27.110
得到1/y减去（cosx/y）^2 除以

0:10:27.110,0:10:34.120
这整个式子

0:10:34.120,0:10:36.880
x/(y^2) 加上(cosx/y)^2 等于dy/dx

0:10:36.880,0:10:40.950
然后就做完了

0:10:40.950,0:10:43.000
我们只要多次利用链式法则 就能

0:10:43.000,0:10:46.410
解出隐式微分 tan(y/x)等于x+y

0:10:46.410,0:10:56.770
实际上难的部分是得到这一步

0:10:56.770,0:11:01.220
这一步之后就只是单纯的代数了

0:11:01.220,0:11:04.180
只要解出dy/dx

0:11:04.180,0:11:09.250
然后 得到结果在这儿

0:11:09.250,0:11:12.240
不管怎样 希望这对你们有帮助