AP Calculus BC Exams: 2008 1 a

Eu recebi a sugestão para que fizesse
problemas antigos do exame AP,

e procurando na internet vejam só!

no site do college board,
em collegeboard.com

você pode - eu não encontrei as
questões de múltipla escolha,

mas encontra-se questão
com resposta livre, então

essa questão é a primeira questão
com resposta livre

que está em Cálculo BC e

foi aplicada recentemente,
em 2008.

Vamos resolver esse problema.

Mas sério, se você sabe resolver
todos os problemas livres

você deve se sair muito bem nos
problemas de múltipla escolha

porque as questões parecem
ser mais desafiadores

especialmente a última parte

das questões livres.

Bem, vamos fazer este aqui.

Vou ler porque não quero escrever
o problema todo aqui, mas

esta é a mesma figura do problema.

Eu copiei e colei a partir do PDF

que eles fornecem em collegeboard.com.

Que r - isso é r - seja a região limitada

pelo gráfico de y igual a
seno do pi vezes x.

Vou escrever essa parte.

Esse gráfico de cima é
y igual a sen (pi*x)

Deixe-me colocar entre parêntesis.

E o gráfico de baixo é y igual
a x ao cubo menos quatro x.

Então, este fica y = x^3 - 4x.

E como eu sei qual é o gráfico de baixo?

Sabemos que este é seno de pi x, certo?

Pois seno parece com isso.

Mas não se parece com isto aqui, né?

Quando seno de pi é zero,
seno de zero é zero

e sendo de dois pi é zero.

Já sabíamos que é seno de pi x.

Eles querem - essa é a região
entre essas duas funções

e a parte A desse problema - essa
é a pergunta café com leite

para garantir que sabem fazer
integrais definidas, e diz

encontre a área de r.

E como fazemos isso?

Você sabe que usaremos a
integral definida.

Vamos lá.

Então vamos calcular a integral definida

digamos que a área é igual a
- eu não sei se -

espero estar escrevendo num tamanho bom.

A área será igual a integral definida de

Quais são os valores de x?

Nós saímos de x igual a zero

à x igual a dois.

Então vai de zero a dois.

E o que é isso?

Em qualquer valor de x,
o que será a mais alta

estamos calculando a área,

ou seja, vários retângulos com
largura igual a dx, certo?

Isso não está bem escuro, não acho
que vocês conseguem ver

bem aqui está um dos meus retângulos.

Whoops.

Digamos que um destes retângulos aqui

que vou somar um ou outro.

Tenha largura igual a dx.

Qual a sua altura?

A altura é igual a função do topo menos

a função do fundo.

Assim, nós vamos calcular a soma
de todos esses retângulos.

e suas alturas serão iguais a -
vou escolher as cores

a altura é igual a função do topo

menos a função do fundo.

Seno de pi x, entre parêntesis,

menos a função do fundo.

Portanto menos x ao cubo mais quatro x.

Como estamos subtraindo, eu
troquei ambos os sinais.

E tudo isso vezes a largura de cada
um desses pequenos retângulos

que são infinitesimalmente pequenos - dx.

Nós somaremos todos eles desde

x igual a zero à x igual a dois.

Isto deve ser bem simples para vocês.

E como calculamos isso?

Tomamos a integral disso e

calculamos ela para dois
e então para zero.

Qual a anti-derivada de seno de pi x?

Será a função cuja derivada é seno de x.

Cosseno de x - vejamos.

Se vamos tomar a derivada de cosseno

digamos a derivada de cosseno de pi x.

Isso deve ser algo familiar para vocês.

Cosseno de pi x, se eu fosse
calcular a derivada disso

o que eu teria?

Isso é igual a pi.

Essa é a derivada do que
está dentro, né?

Pela regra da cadeia.

Então é pi vezes a derivada de tudo isso.

A derivada de cosseno de x
é menos seno de x

logo a derivada disso será
vezes menos seno de pi x

ou pode-se dizer que isso é igual
a menos pi seno de pi x.

Assim a derivada de cosseno
de pi x é quase isso

apenas tem o menos pi aqui, certo?

Vamos reescrever isso para que pareça como

a derivada de cosseno pi x.

E vou trocar para magenta.

Quero ter espaço suficiente

para o problema inteiro.

Vou escrever -1/pi vezes menos pi.

Tudo que se faz ao avaliar isso,
isto é igual a um

então posso fazer isto vezes seno de pi x,

e isso é menos x ao cubo mais quatro x
e então tudo isso vezes a largura dx.

Pronto, agora está feito.

Sabemos que a integral disso
é cosseno de pi x, certo?

E isso é só uma constante.

E qual é a integral de tudo isso?

E vou mudar as cores novamente.

A integral é cosseno de pi x.

Temos -1/pi cosseno de pi x,

lembre-se que posso levar isso,
pois é apenas uma constante

esta integral é isso aqui.

E agora estas são mais diretas.

Menos a integral de x ao cubo

é x elevado a quatro sobre quatro
mais a integral disto que é

quatro x ao quadrado sobre dois,
ou apenas dois x ao quadrado

e vamos calcular isso em dois e em zero

vamos fazer isso.

Isso é igual a cosseno de dois pi
e teremos um sinal de menos

menos cosseno de dois pi
sobre pi, menos...

o que é dois elevado a quatro?
Vejamos.

Dois ao cubo é oito, dois a quarta
potência é dezesseis

dezesseis sobre quatro é quatro,
logo menos quatro

dois ao quadrado é quatro, vezes dois é
oito, logo mais oito

então essa é a integral calculada
em dois, e agora

vamos subtrair isso calculado em zero.

Isso será menos cosseno de zero sobre pi

isso fica igual a zero - menos
zero, mais zero.

Logo esses termos não acrescentam nada

quando avaliados para zero.

E com o que nós ficamos?

O que é cosseno de dois pi?

Cosseno de dois pi é a mesma
coisa que cosseno de zero

o que é igual a um.

Qual o valor de x no círculo unitário
em dois pi ou em zero?

Isso é igual a um.

Logo isso é igual a menos um sobre pi
menos quatro mais oito

esses dois negativos, se tornam positivo,
cosseno de zero também é um

logo um positivo sobre pi, e
esse menos um sobre pi

e esse mais um sobre pi se anulam e
ficamos com menos quatro mais oito

e isso é igual a quatro.

Portanto, esta foi a primeira parte,
parte A do problema número um

das questões com respostas livres de 2008.

Foi preciso um vídeo inteiro
para essa parte.

No próximo, faço a parte B, e
seguirei fazendo isso

e tentarei fazer esses problemas
todos os dias.

Até breve.

Legendado por: [ Marcos Pereira ]
Revisado por: [Tatiana F. D'Addio]